Informatyka MIMUW

Funkcja pierwotna

Definicja 13.1.

Niech $\displaystyle D\subseteq \mathbb{R}$ będzie przedziałem oraz niech $\displaystyle f\colon D\longrightarrow\mathbb{R}$ będzie funkcją.

Funkcję $\displaystyle F\colon D\longrightarrow\mathbb{R}$ nazywamy pierwotną funkcji $\displaystyle f,$ jeśli $\displaystyle F$ jest różniczkowalna i $\displaystyle F'=f.$

Twierdzenie 13.2.

Dwie dowolne pierwotne funkcji $\displaystyle f\colon \mathbb{R}\supseteq D\longrightarrow\mathbb{R}$ różnią się o stałą, to znaczy

(1) Jeśli $\displaystyle F$ i $\displaystyle G$ są pierwotnymi funkcji $\displaystyle f,$ to $\displaystyle F-G=c$ dla pewnego $\displaystyle c\in\mathbb{R}.$

(2) Jeśli $\displaystyle F$ jest pierwotną funkcji $\displaystyle f$ oraz $\displaystyle F-G=c$ dla pewnego $\displaystyle c\in\mathbb{R},$ to $\displaystyle G$ też jest pierwotną funkcji $\displaystyle f.$

Dowód 13.2.

(Ad (1)) Jeśli $\displaystyle F$ i $\displaystyle G$ są pierwotnymi funkcji $\displaystyle f,$ to mamy $\displaystyle (F-G)'=F'-G'=f-f=0.$ Ponieważ pochodna różnicy $\displaystyle F-G$ wynosi $\displaystyle 0,$ więc różnica ta musi być stała. Zatem istnieje $\displaystyle c\in\mathbb{R}$ takie, że $\displaystyle F-G=c.$

(Ad (2)) Załóżmy, że $\displaystyle F$ jest pierwotną funkcji $\displaystyle f$ oraz funkcje $\displaystyle F$ i $\displaystyle G$ różnią się o stałą, to znaczy $\displaystyle G=F+c$ dla pewnej stałej $\displaystyle c\in\mathbb{R}.$ Ponieważ $\displaystyle F$ jest różniczkowalna (jako pierwotna) oraz funkcja stała jest różniczkowalna, więc także funkcja $\displaystyle G$ jest różniczkowalna. Licząc pochodną sumy, dostajemy

$\displaystyle G' \ =\ (F+c)'=F' \ =\ f,$

zatem $\displaystyle G$ jest także pierwotną funkcji $\displaystyle f.$

Definicja 13.3. [całka nieoznaczona, całkowanie]

Całką nieoznaczoną funkcji $\displaystyle f$ nazywamy zbiór jego pierwotnych i oznaczamy

$\displaystyle \int f(x)\,dx$ lub $int f\,dx.$

Całkowaniem nazywamy wyznaczanie całki.

Oczywiście, jeśli zmienna funkcji $\displaystyle f$ nazywa się $\displaystyle t,$ to piszemy $\displaystyle \int f(t)\,dt$ lub $\displaystyle \int f\,dt$, a jeśli zmienna funkcji $\displaystyle f$ nazywa się na przykład $\displaystyle \xi,$ to piszemy $\displaystyle \int f(\xi)\,d\xi$ lub $\displaystyle \int f\,d\xi$.

Wniosek 13.4.

Jeśli $\displaystyle F$ jest pierwotną funkcji $\displaystyle f,$ to

$\displaystyle \int f(x)\,dx \ =\ F(x)+c.$

Uwaga 13.5.

Jeśli $\displaystyle F$ jest jedną z pierwotnych funkcji $\displaystyle f$ oraz $\displaystyle (x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2,$ to pierwotna $\displaystyle G$ funkcji $\displaystyle f$ spełniająca $\displaystyle G(x_0)=y_0$ (to znaczy której wykres przechodzi przez punkt $\displaystyle (x_0,y_0)$) jest równa

$\displaystyle G(x) \ =\ F(x)+c,$

gdzie $\displaystyle C=y_0-F(x_0).$

Przykład 13.6.

Funkcja pierwotna nie zawsze istnieje.

Rozważmy następującą funkcję $\displaystyle f\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lll} 0 & \textrm{gdy} & x\ne 0, \\ 1 & \textrm{gdy} & x= 0. \end{array} . < br> \right.$

Pokażemy, że $\displaystyle f$ nie ma pierwotnej. Dla dowodu niewprost, przypuśćmy, że funkcja ta posiada pierwotną $\displaystyle F\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}.$ Wówczas $\displaystyle F'=f.$ Na przedziale $\displaystyle (-\infty,0),$ funkcja $\displaystyle f$ jest tożsamościowo równa $\displaystyle 0,$ zatem jej pierwotna jest stała, powiedzmy $\displaystyle F|_{(-\infty,0)}\equiv a.$ Podobnie na przedziale $\displaystyle (0,+\infty),$ powiedzmy $\displaystyle F|_{(0,+\infty)}\equiv b.$ Ponieważ funkcja pierwotna jest ciągła (jako różniczkowalna), zatem

$\displaystyle a \ =\ \lim_{x\to 0^-}F(x) \ =\ \lim_{x\to 0^+}F(x) \ =\ b$

oraz $\displaystyle a=F(0)=b.$ Zatem pokazaliśmy, że $\displaystyle F\equiv a.$ Ale wówczas $\displaystyle F'=0\ne f,$ sprzeczność. Zatem tak zdefiniowana funkcja $\displaystyle f$ nie ma pierwotnej.

Zachodzi natomiast następujące twierdzenie (które podajemy tutaj bez dowodu).

Twierdzenie 13.7.

Każda funkcja ciągła ma pierwotną.