Poniższe twierdzenie podaje całki nieoznaczone pewnych funkcji elementarnych. Ponieważ wiemy już, ile wynoszą pochodne pewnych funkcji elementarnych, więc łatwo stąd odgadnąć pierwotne niżej podanych funkcji.
Twierdzenie 13.8. [Całki pewnych funkcji elementarnych]
(1) \( \displaystyle \int 0\,dx=c \);
(2) \( \displaystyle \int 1\,dx =x+c \);
(3) \( \displaystyle \int x^{\alpha}\,dx=\frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}+c \) dla \( \displaystyle \alpha\ne -1 \);
(4) \( \displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx = \ln |x|+c \);
(5) \( \displaystyle \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+c, \) dla \( \displaystyle a>0,a\ne 1, \) (w szczególności \( \displaystyle \int e^x\,dx=e^x+c); \)
(6) \( \displaystyle \int\sin x\,dx=-\cos x+c \);
(7) \( \displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x+c \);
(8) \( \displaystyle \int\frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\mathrm{tg}\, x+c \);
(9) \( \displaystyle \int\frac{1}{\sin^2 x}\,dx=-\mathrm{ctg}\, x+c \);
(10) \( \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx =\arcsin x+c \);
(11) \( \displaystyle \int\frac{1}{1+x^2}\,dx =\mathrm{arctg}\, x+c \);
(12) \( \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,dx ={\rm arsinh\, } x=\ln\big|x+\sqrt{x^2+1}\big| \);
(13) \( \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\,dx ={\rm arcosh\, } x=\ln\big|x+\sqrt{x^2-1}\big| \).
Poniższe twierdzenie pozwoli nam liczyć całkę z sumy i różnicy funkcji oraz z iloczynu funkcji przez stałą. Wynika ono natychmiast z twierdzenia o liniowości pochodnej.
Twierdzenie 13.9. [Liniowość całki]
Jeśli \( \displaystyle f,g\colon\mathbb{R}\supseteq D\longrightarrow\mathbb{R} \) są funkcjami, dla których istnieją całki nieoznaczone, \( \displaystyle \lambda\in\mathbb{R}, \) to
(1) \( \displaystyle \int(f\pm g)(x)\,dx= \int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx \);
(2) \( \displaystyle \int(\lambda f)(x)\,dx =\lambda\int f(x)\,dx. \)
W przypadku liczenia pochodnej funkcji mieliśmy także do dyspozycji wzór na pochodną iloczynu i ilorazu. Pozwalało to w praktyczny sposób policzyć pochodną dowolnej funkcji elementarnej.
W przypadku całki nieoznaczonej nie mamy do dyspozycji takiego narzędzia. Okazuje się nawet, że dla pewnych funkcji elementarnych nie istnieje funkcja pierwotna elementarna (mimo, że pierwotna na pewno istnieje, bo funkcja jest na przykład ciągła).
Uwaga 13.10. [o funkcjach elementarnych]
(1) Funkcje elementarne to funkcje, które można otrzymać z funkcji:
przez wykonywanie skończonej liczby operacji:
(2) Pochodna funkcji elementarnej jest zawsze funkcją elementarną. Wynika to ze wzorów na pochodną funkcji stałej, potęgowej, wykładniczej, trygonometrycznej oraz wzorów na pochodne sumy, iloczynu, ilorazu, złożenia i funkcji odwrotnej.
(3) Całka nieoznaczona funkcji elementarnej nie musi być funkcją elementarną. Przykłady funkcji, których pierwotne nie są funkcjami elementarnymi, to między innymi
\( \displaystyle \int\sqrt[3]{1+x^2}\,dx,\quad \int e^{-x^2}\,dx,\quad \int \sin x^2\,dx,\quad \int \cos x^2\,dx,\quad \int\frac{e^x}{x}\,dx, \)
\( \displaystyle \int\frac{\sin x}{x}\,dx,\quad \int\frac{\cos x}{x}\,dx\quad \int\frac{1}{\ln x}\,dx \)
oraz tak zwane całki eliptyczne:
\( \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-kx^2)}},\quad \int\frac{x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-kx^2)}}\quad \) dla \( k\in(0,1). \)