Informatyka MIMUW

Całkowanie przez części

Do liczenia całki nieoznaczonej z iloczynu przydatny jest następujący wzór, który w niektórych przypadkach sprowadza całkę z iloczynu (lub ilorazu) do postaci łatwiejszej do wyliczenia.

Twierdzenie 13.11. [Całkowanie przez części]

Jeśli $\displaystyle I\subseteq \mathbb{R}$ jest przedziałem, $\displaystyle f,g\colon I\longrightarrow\mathbb{R}$ są funkcjami różniczkowalnymi oraz istnieje całka nieoznaczona dla funkcji $\displaystyle f\cdot g',$ to istnieje także całka nieoznaczona dla funkcji $\displaystyle f'\cdot g$ oraz

$\displaystyle \int f'g\,dx \ =\ fg-\int fg'\,dx.$

Dowód 13.11.

Ponieważ funkcje $\displaystyle f$ i $\displaystyle g$ są różniczkowalne, więc różniczkowalny jest także iloczyn $\displaystyle f\cdot g$ oraz zachodzi wzór

$\displaystyle (f\cdot g)' \ =\ f'\cdot g+f\cdot g',$

zatem

$\displaystyle f'\cdot g \ =\ (f\cdot g)' - f\cdot g'.$

Ponieważ funkcja po prawej stronie jest całkowalna, więc funkcja po lewej stronie także jest całkowalna i mamy

$\begin{array}{lll} \displaystyle \int f'\cdot g\,dx & = & \displaystyle \int\big[(f\cdot g)'\,dx - f\cdot g'\big] \\ & = & \displaystyle \int(f\cdot g)'\,dx - \int f\cdot g'\,dx = f\cdot g-\int f\cdot g'\,dx. \end{array}$