Do liczenia całki nieoznaczonej z iloczynu przydatny jest następujący wzór, który w niektórych przypadkach sprowadza całkę z iloczynu (lub ilorazu) do postaci łatwiejszej do wyliczenia.
Twierdzenie 13.11. [Całkowanie przez części]
Jeśli \( \displaystyle I\subseteq \mathbb{R} \) jest przedziałem, \( \displaystyle f,g\colon I\longrightarrow\mathbb{R} \) są funkcjami różniczkowalnymi oraz istnieje całka nieoznaczona dla funkcji \( \displaystyle f\cdot g', \) to istnieje także całka nieoznaczona dla funkcji \( \displaystyle f'\cdot g \) oraz
\( \displaystyle \int f'g\,dx \ =\ fg-\int fg'\,dx. \)
Dowód 13.11.
Ponieważ funkcje \( \displaystyle f \) i \( \displaystyle g \) są różniczkowalne, więc różniczkowalny jest także iloczyn \( \displaystyle f\cdot g \) oraz zachodzi wzór
\( \displaystyle (f\cdot g)' \ =\ f'\cdot g+f\cdot g', \)
zatem
\( \displaystyle f'\cdot g \ =\ (f\cdot g)' - f\cdot g'. \)
Ponieważ funkcja po prawej stronie jest całkowalna, więc funkcja po lewej stronie także jest całkowalna i mamy
\( \begin{array}{lll} \displaystyle \int f'\cdot g\,dx & = & \displaystyle \int\big[(f\cdot g)'\,dx - f\cdot g'\big] \\ & = & \displaystyle \int(f\cdot g)'\,dx - \int f\cdot g'\,dx = f\cdot g-\int f\cdot g'\,dx. \end{array} \)