Informatyka MIMUW

Sposób I.

Wykorzystamy wzór na całkowanie przez części, przyjmując jako $\displaystyle f'(x)=\sin x$ (gdyż znamy już pierwotną funkcji $\displaystyle \sin$) oraz jako $\displaystyle g(x)=\cos x.$ W praktyce korzystając z tego wzoru, zapisujemy rachunki w następujący sposób:

$\displaystyle \begin{align*} \int \sin x\cos x\,dx & = & \Bigg| \begin{array} {ll} f'(x)=\sin x & f(x)=-\cos x \\ g(x)=\cos x & g'(x)=-\sin x \end{array} \Bigg| \ =\ -\cos x\cos x -\int(-\cos x)(-\sin x)\,dx \\ & = & -\cos ^2x-\int\sin x\cos x\,dx. \end{align*}$

Zauważmy, że po obu stronach wyrażenia występuje całka $\displaystyle \int \sin x\cos x\,dx$ lecz z innym znakiem. Wystarczy przenieść tę całkę na jedną stronę i wyliczyć, że:

$\displaystyle \int \sin x\cos x\,dx \ =\ -\frac{1}{2}\cos^2 x+c$

(na końcu dopisujemy "$\displaystyle +c$" aby zaznaczyć, że całką nieoznaczoną jest zbiór wszystkich pierwotnych, które jak wiadomo różnią się o stałą).

Sposób II.

Zauważmy, że wzór na całkowanie przez części można tutaj wykorzystać również w innej kolejności

$\displaystyle \int \sin x\cos x\,dx \ =\ \Bigg| \begin{array} {ll} f'(x)=\cos x & f(x)=\sin x \\ g(x)=\sin x & g'(x)=\cos x \end{array} \ \Bigg| \ =\ \sin x\sin x -\int \sin x\cos x\,dx \ =\ \sin ^2x-\int\sin x\cos x\,dx.$

Również w tym przypadku po obu stronach wyrażenia występuje całka $\displaystyle \int \sin x\cos x\,dx$ lecz z innym znakiem. Wystarczy przenieść tę całkę na jedną stronę i wyliczyć, że:

$\displaystyle \int \sin x\cos x\,dx \ =\ \frac{1}{2}\sin^2 x+c.$

Sposób III.
Przy obliczeniu tej całki możemy posłużyć się także wzorem na całkowanie przez podstawianie. Przyjmując $\displaystyle g(t)=t$ oraz $\displaystyle f(x)=\sin x$, zauważamy, że funkcja podcałkowa jest postaci $\displaystyle g(f(x))\cdot f'(x)=\sin x\cos x.$ Zatem możemy zastosować wzór całkowania przez podstawianie. W praktyce obliczenia zapisuje się w sposób przedstawiony poniżej (porównaj uwaga 13.13.), przy czym po wyborze dogodnego podstawienia (w tym wypadku) $\displaystyle \sin x=t$) oblicza się pochodną, dopisując odpowiednio $\displaystyle dx$ i $\displaystyle dt$ po obu stronach równości. Jest to dogodne z praktycznego punktu widzenia, ponieważ możemy wówczas patrzeć na wzór w uwadze 13.13. jak na formalne podstawienie wyrażeń zawierających symbole $\displaystyle dx$ i $\displaystyle dt.$ Piszemy zatem

$\displaystyle \int \sin x\cos x\,dx \ =\ \Bigg| \begin{array} {rcl} \sin x & = & t \\ \cos x\,dx & = & \,dt \end{array} \Bigg| \ =\ \int t\,dt \ =\ \frac{1}{2}t^2+c \ =\ \frac{1}{2}\sin^2x+c.$

Sposób IV.
W naszym przykładzie możemy także dokonać podstawienia $\displaystyle \cos x=t$, ponieważ funkcja podcałkowa jest postaci $\displaystyle \cos x\cdot (\cos x)'$ (z dokładnością do znaku). Zatem mamy

$\displaystyle \int \sin x\cos x\,dx \ =\ \Bigg| \begin{array} {rcl} \cos x & = & t \\ \sin x\,dx & = & -\,dt \end{array} \Bigg| \ =\ -\int t\,dt \ =\ -\frac{1}{2}t^2+c \ =\ -\frac{1}{2}\cos^2x+c.$

Sposób V.
Zauważmy w końcu, że całkę tę da się także obliczyć bez stosowania powyższych twierdzeń. Możemy bowiem skorzystać z tożsamości trygonometrycznej $\displaystyle \sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x.$ Mamy wówczas

$\displaystyle \int \sin x\cos x\,dx \ =\ \frac{1}{2}\int \sin 2x\,dx \ =\ \frac{1}{4}\cos 2x+c, < br>$

przy czym ostatnią całkę odgadujemy (gdyż znamy pochodną funkcji $\displaystyle \cos 2x,$ więc dobieramy tylko odpowiedni współczynnik), bądź też obliczamy, stosując podstawienie $\displaystyle 2x=t.$

Zauważmy teraz, że w powyższych rozwiązaniach jako pierwotne funkcji $\displaystyle \sin x\cos x$ otrzymaliśmy trzy różne funkcje:

$\displaystyle \frac{1}{2}\sin^2x, \quad -\frac{1}{2}\cos^2x, \quad -\frac{1}{4}\cos 2x.$

Funkcje te są "istotnie różne" (to znaczy nie jest to ta sama funkcja zapisana w innej postaci). Dlaczego tak się dzieje? Wszystko wyjaśni się, jeśli obliczymy różnicę dowolnych dwóch z powyższych funkcji, na przykład

$\displaystyle -\frac{1}{2}\cos^2x - \frac{1}{2}\sin^2x \ =\ -\frac{1}{2}(\cos^2x+\sin^2x) \ =\ -\frac{1}{2}$

oraz

$\displaystyle -\frac{1}{4}\cos 2x - \frac{1}{2}\sin^2x \ =\ -\frac{1}{4}(1-2\sin^2x) - \frac{1}{2}\sin^2x \ =\ -\frac{1}{4},$

zatem dowolne dwie z powyższych funkcji różnią się o stałą. Zatem całki nieoznaczone wyszły w każdym przypadku takie same z dokładnością do wyboru jednej pierwotnej.