Całkowanie funkcji wymiernych
Zacznijmy od przypomnienia znanego ze szkoły twierdzenia.
Twierdzenie 13.15. [Podstawowe twierdzenie algebry (w wersji rzeczywistej)]
Dowolny wielomian można rozłożyć na czynniki nierozkładalne stopnia co najwyżej \( \displaystyle 2, \) to znaczy
\( \begin{array}{lll} \displaystyle Q(x) & = & c(x-A_1)^{k_1}(x-A_2)^{k_2}\ldots \\ & \ldots & \displaystyle (x-A_r)^{k_r} (x^2+B_1x+C_1)^{l_1}(x^2+B_2x+C_2)^{l_2}\ldots (x^2+B_sx+C_s)^{l_s}, \end{array} \)
gdzie stopień wielomianu \( \displaystyle Q \) wynosi
\( \displaystyle \deg Q\ =\ k_1+k_2+\ldots+k_r+2(l_1+l_2+\ldots+l_s) \)
oraz
\( B_i^2-4C_i < 0\ \) dla \( i=1,2,\ldots s. \)
Definicja 13.16. [ułamki proste]
Ułamkami prostymi nazywamy funkcje wymierne postaci:
\( \displaystyle \frac{a}{(x-A)^k} \) oraz \( \displaystyle \frac{bx+c}{(x^2+Bx+C)^s}, \)
gdzie \( \displaystyle a,b,c,A,B,C\in\mathbb{R},k,s\in\mathbb{N},B^2-4C < 0. \)
Podamy twierdzenie, które pozwoli na obliczanie całki z dowolnej funkcji wymiernej. Ponieważ twierdzenie to "wygląda" dość formalnie, proponujemy przestudiować najpierw poniższy przykład.
Przykład 13.17.
Obliczyć całkę z następującej funkcji wymiernej \( \displaystyle \int\frac{3x+5}{2x^2-5x-3}\,dx. \)
To, że funkcję wymierną w powyższym przykładzie udało się rozłożyć na prostsze ułamki nie jest przypadkiem.
Okazuje się, że funkcję wymierną można zawsze przedstawić jako sumę ułamków prostych. Jeśli zatem będziemy umieli scałkować ułamki proste, to dzięki liniowości całki będziemy potrafili scałkować dowolną funkcję wymierną (o ile jej mianownik efektywnie rozłożymy na czynniki stopnia co najwyżej drugiego). Kolejne twierdzenie o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste będzie więc bardzo przydatne w rachunkach.
Twierdzenie 13.18. [O rozkładzie na ułamki proste]
Niech \( \displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \) będzie funkcją wymierną, gdzie \( \displaystyle \deg P=m < n=\deg Q. \) Wówczas istnieje jedyny rozkład funkcji \( \displaystyle f \) na ułamki proste oraz jeśli
\( \displaystyle f(x) \ =\ \frac{P(x)}{(x-A_1)^{k_1}(x-A_2)^{k_2}\ldots (x-A_r)^{k_r} (x^2+B_1x+C_1)^{l_1}(x^2+B_2x+C_2)^{l_2}\ldots (x^2+B_sx+C_s)^{l_s}}, \)
gdzie
\( \displaystyle B_i^2-4C_i < 0 \) dla \( i=1,2,\ldots s, \)
to
\( \begin{array}{lll} \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} & = & \displaystyle \frac{a_1^1}{(x-A_1)}+ \frac{a_2^1}{(x-A_1)^2}+ \ldots + \frac{a_{k_1}^1}{(x-A_1)^{k_1}} \\ & + & \displaystyle \frac{a_1^2}{(x-A_2)}+ \frac{a_2^2}{(x-A_2)^2} + \ldots +\frac{a_{k_2}^2}{(x-A_2)^{k_2}} \\ & + & \displaystyle \ldots \\ & + & \displaystyle \frac{a_1^r}{(x-A_r)}+\frac{a_2^r}{(x-A_r)^2}+\ldots+\frac{a_{k_r}^r}{(x-A_r)^{k_r}} \\ & + & \displaystyle \frac{b_1^1x+c_1^1}{(x^2+B_1x+C_1)}+\frac{b_2^1x+c_2^1}{(x^2+B_1x+C_1)^2}+\ldots + \frac{b_{l_1}^1x+c_{l_1}^1}{(x^2+B_1x+C_1)^{l_1}} \\ & + & \displaystyle \frac{b_1^2x+c_1^2}{(x^2+B_2x+C_2)}+ \frac{b_2^2x+c_2^2}{(x^2+B_2x+C_2)^2}+\ldots + \frac{b_{l_2}^2x+c_{l_2}^2}{(x^2+B_2x+C_2)^{l_2}} \\ & + & \displaystyle \ldots \\ & + & \displaystyle \frac{b_1^sx+c_1^s}{(x^2+B_sx+C_s)}+\frac{b_2^sx+c_2^s}{(x^2+B_sx+C_s)^2}+\ldots+ \frac{b_{l_s}^sx+c_{l_s}^s}{(x^2+B_sx+C_s)^{l_s}} \\ & = & \displaystyle \sum_{i=1}^r\sum_{j_i=1}^{k_i}\frac{a^i_{j_i}}{(x-A_i)^{j_i}} +\sum_{i=1}^s\sum_{j_i=1}^{l_i}\frac{b^i_{j_i}x+c^i_{j_i}}{(x^2+B_ix+C_i)^{j_i}}. \end{array} \)
Przykład 13.19.
Rozłożyć funkcję wymierną \( \displaystyle f(x)= \frac{x^5+4x^3-x^2+13x-3}{x^4+2x^2+9} \) na ułamki proste.
Uwaga 13.20.
Korzystając z liniowości całki nieoznaczonej dla policzenia całki z funkcji wymiernej \( \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \), wystarczy umieć policzyć całki z ułamków prostych. Znamy już całki z ułamków:
\( \begin{array}{lll} \displaystyle \int\frac{A}{x-a}\,dx & = & \displaystyle A\ln (x-a)+c, \\ \int\frac{A}{(x-a)^k}\,dx & = & \displaystyle -\frac{A}{k-1}\cdot\frac{1}{(x-a)^{k-1}}+c, \quad\textrm{dla}\ k\ge 2. \end{array} \)
Całki z ułamków prostych postaci \( \displaystyle \frac{bx+c}{(x^2+Bx+C)^k} \) będą policzone na ćwiczeniach (patrz ćwiczenie 13.4.).