Długość krzywej

---

Definicja 15.1.

Niech $\displaystyle -\infty < a < b < +\infty.$ Krzywą nazywamy zbiór punktów

$\displaystyle K \ =\ \big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x=\varphi(t),\ y=\psi(t),\ t\in[a,b]\big\},$

gdzie $\displaystyle \displaystyle\varphi,\psi\colon[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}$ są dwiema funkcjami ciągłymi. Piszemy:

$\displaystyle K=K(\varphi,\psi):\left \{ \begin{array} {l} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{array} . \right. \ \qquad t\in[a,b].$

Powyższe równanie nazywamy też równaniem parametrycznym krzywej.

wykres

Przykład 15.2.

Zapiszmy parametryczne równanie okręgu o promieniu $\displaystyle R>0$ w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2.$ Jeśli jako parametr $\displaystyle t$ przyjmiemy kąt jaki tworzy promień poprowadzony do punktu $\displaystyle \displaystyle (x,y)$ na okręgu, to widzimy (patrz rysunek), że $\displaystyle x=\cos t$ i $\displaystyle y=\sin t.$ Zatem następująca krzywa:

$\displaystyle K:\left \{ \begin{array} {l} x=R\cos t \\ y=R\sin t \end{array} . \right. \qquad t\in[0,2\pi]$ opisuje okrąg.

Definicja 15.3.

Mówimy, że punkt $\displaystyle \displaystyle (x,y)\in K$ jest punktem wielokrotnym krzywej $\displaystyle K,$ jeśli

$\displaystyle \exists t_1,t_2\in(a,b):\ t_1\ne t_2\quad\land\quad (x,y)=\big(\varphi(t_1),\psi(t_1)\big)=\big(\varphi(t_2),\psi(t_2)\big).$

Krzywą $\displaystyle K$ nazywamy zwyczajną, jeśli nie zawiera punktów wielokrotnych, to znaczy

$\begin{array}{ll} \displaystyle & \bigg[ \big(\varphi(t_1),\psi(t_1)\big)=\big(\varphi(t_2),\psi(t_2)\big),\ t_1\le t_2 \bigg] \\ \\ \Longrightarrow & \bigg[ \big(t_1= t_2\big)\quad\lor\quad \big(t_1=a\ \land\ t_2=b\big) \bigg].\end{array}$

wykres

Definicja 15.4.

Niech

$\displaystyle a \ =\ t_0 \ < \ t_1 \ < \ \ldots \ < \ t_n \ =\ b$

będzie podziałem przedziału $\displaystyle \displaystyle [a,b].$ Łamaną $\displaystyle p$ łączącą punkty:

$\displaystyle \big(\varphi(t_0),\psi(t_0)\big), \ \ldots,\ \big(\varphi(t_n),\psi(t_n)\big)$

nazywamy łamaną wpisaną w krzywą $\displaystyle K$. Przez $\displaystyle l(p)$ oznaczamy długość łamanej $\displaystyle p$ (to znaczy sumę długości odcinków wchodzących w skład łamanej).

Definicja 15.5.

Długością krzywej $\displaystyle K$ nazywamy liczbę:

$\displaystyle l(K) \ =\ \sup_p l(p),$

gdzie supremum jest brane po wszystkich łamanych wpisanych w $\displaystyle K.$

wykres

Definicja 15.6.

Jeśli $\displaystyle l(K) < +\infty$, to mówimy, że krzywa $\displaystyle K$ jest prostowalna. Twierdzenie 15.7.

Niech $\displaystyle \displaystyle\varphi,\psi\colon [a,b]\longrightarrow\mathbb{R}$ będą klasy $\displaystyle C^1$ oraz niech $\displaystyle K=K(\varphi,\psi)$ będzie krzywą zwyczajną.
Wówczas krzywa $\displaystyle K$ jest prostowalna.

wykres

Łamana wpisana w krzywą

Dowód 15.7. [nadobowiązkowy]

Niech $\displaystyle p$ będzie dowolną łamaną wpisaną w krzywą $\displaystyle K,$ to znaczy istnieje podział

$\displaystyle a \ =\ t_0 \ < \ t_1 \ < \ \ldots \ < \ t_n \ =\ b$

taki, że $\displaystyle p$ jest łamaną o wierzchołkach $\displaystyle \displaystyle (x_i,y_i)$ dla $\displaystyle i=0,\ldots,n,$ gdzie

$\displaystyle \left \{ \begin{array} {l} x_i\ =\ \varphi(t_i) \\ y_i\ =\ \psi(t_i) \end{array} . \right. \ \qquad i\in\{0,\ldots,n\}.$

Długość łamanej $\displaystyle p$ wyraża się wzorem:

$\displaystyle l(p) \ =\ \sum_{i=1}^n \sqrt{\big(x_i-x_{i-1}\big)^2+\big(y_i-y_{i-1}\big)^2}.$

Ponieważ $\displaystyle \displaystyle\varphi,\psi\in C^1\big([a,b];\mathbb{R}\big),$ więc z twierdzenia o wartości średniej (patrz twierdzenie 9.37.) mamy

$\displaystyle x_i-x_{i-1} \ =\ \varphi(t_i)-\varphi(t_{i-1}) \ =\ \varphi'(\tau_i)(t_i-t_{i-1}),$

$\displaystyle y_i-y_{i-1} \ =\ \psi(t_i)-\psi(t_{i-1}) \ =\ \psi'(\tau^*_i)(t_i-t_{i-1}),$

gdzie

$\tau_i\in (t_{i-1},t_i),\quad i=1,\ldots n,\quad \tau^*_i\in (t_{i-1},t_i),\quad i=1,\ldots n.$

Zatem

$\displaystyle l(p) \ =\ \sum_{i=1}^n \sqrt{\varphi'(\tau_i)^2+\psi'(\tau^*_i)^2}\cdot(t_i-t_{i-1}).$

Ponieważ $\displaystyle \displaystyle\varphi',\psi'\in C\big([a,b];\mathbb{R}\big)$ i przedział $\displaystyle \displaystyle [a,b]$ jest zwarty, więc funkcje $\displaystyle \displaystyle\varphi',\psi'$ są ograniczone.

Definiujemy

$\displaystyle M \ =\ \sup_{t\in[a,b]}\varphi'(t), \qquad M^* \ =\ \sup_{t\in[a,b]}\psi'(t),$

$\displaystyle m \ =\ \displaystyle\inf_{t\in[a,b]}\varphi'(t), \qquad m^* \ =\ \displaystyle\inf_{t\in[a,b]}\psi'(t).$

Zatem

$\displaystyle \sqrt{m^2+{m^*}^2}\cdot(b-a) \ \le\ l(p) \ \le\ \sqrt{M^2+{M^*}^2}\cdot(b-a).$

Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla dowolnej łamanej $\displaystyle p$ wpisanej w krzywą $\displaystyle K,$ więc przechodząc do supremum po wszystkich takich łamanych, dostajemy

$\displaystyle \sqrt{m^2+{m^*}^2}\cdot(b-a) \ \le\ l(K) \ \le\ \sqrt{M^2+{M^*}^2}\cdot(b-a),$

a zatem krzywa $\displaystyle K$ jest prostowalna.

Uwaga 15.8.

W powyższym twierdzeniu (jak i twierdzeniach następnych) zakładamy, że krzywa jest klasy $\displaystyle C^1.$ (to znaczy $\displaystyle \varphi,\psi$, są klasy $C^1$) W zastosowaniach okaże się jednak, że często będziemy mieli do czynienia z krzywymi, które są tylko ciągłe, zwyczajne oraz "kawałkami" klasy $\displaystyle C^1,$ to znaczy krzywą można otrzymać jako "sklejenie" kilku krzywych klasy $\displaystyle C^1$ (przy sklejaniu początek następnej krzywej jest końcem poprzedniej). Wszystkie wypowiadane tu twierdzenia dla krzywych klasy $\displaystyle C^1$ stosują się także do krzywych kawałkami klasy $\displaystyle C^1.$

wykres

Krzywa $K(t)$

Definicja 15.9.

Niech $\displaystyle K=K(\varphi,\psi)$ będzie krzywą. Zdefiniujmy:

$\displaystyle K(t) \ \ \stackrel{df}{=}\ \ \bigg\{\big(\varphi(\tau),\psi(\tau)\big):\ \tau\in[a,t]\bigg\},$

oraz

$\displaystyle s(t) \ \ \stackrel{df}{=}\ \ l\big(K(t)\big)\quad$ (długośćkrzywejK(t)) $\displaystyle .$

W szczególności $\displaystyle s(b)=l(K).$

Niech $\displaystyle \displaystyle\varphi,\psi\colon [a,b]\longrightarrow\mathbb{R}$ będą klasy $\displaystyle C^1$ oraz niech $\displaystyle K=K(\varphi,\psi)$ będzie krzywą zwyczajną.

Wówczas

$\displaystyle s'(t) \ =\ \sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2} \qquad\forall\ t\in[a,b].$

Dowód 15.10. [nadobowiązkowy]

Niech $\displaystyle t_0,t_0+h\in[a,b].$ Analogicznie do ostatniego oszacowania w dowodzie twierdzenia 15.7. dostajemy:

$\displaystyle \sqrt{m_h^2+{m_h^*}^2}\cdot h \ \le\ s(t_0+h)-s(t_0) \ \le\ \sqrt{M_h^2+{M_h^*}^2}\cdot h,$

gdzie

$\displaystyle M_h \ =\ \sup_{t\in[t_0,t_0+h]}\varphi'(t), \qquad M_h^* \ =\ \sup_{t\in[t_0,t_0+h]}\psi'(t),$

$\displaystyle m_h \ =\ \inf_{t\in[t_0,t_0+h]}\varphi'(t), \qquad m_h^* \ =\ \displaystyle\inf_{t\in[t_0,t_0+h]}\psi'(t).$

Dzielimy wszystkie strony powyższego oszacowania przez $\displaystyle h,$ dostając:

$\displaystyle \sqrt{m_h^2+{m_h^*}^2} \ \le\ \frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h} \ \le\ \sqrt{M_h^2+{M_h^*}^2}.$

Ponieważ funkcje $\displaystyle \displaystyle\varphi'$ i $\displaystyle \displaystyle\psi'$ są ciągłe, więc dostajemy

$\displaystyle \begin{align*} M_h & \xrightarrow[h \to 0]{} & \varphi'(t_0), \\ m_h & \xrightarrow[h \to 0]{} & \varphi'(t_0), \\ M_h^* & \xrightarrow[h \to 0]{} & \psi'(t_0), \\ m_h^* & \xrightarrow[h \to 0]{} & \psi'(t_0). \end{align*}$

Z powyższych oszacowań oraz z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy:

$\displaystyle s'(t_0) \ =\ \lim_{h \to 0}\frac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h} \ =\ \sqrt{\varphi'(t_0)^2+\psi'(t_0)^2}.$

Twierdzenie 15.11. [O długości krzywej]

Niech $\displaystyle \displaystyle\varphi,\psi\colon [a,b]\longrightarrow\mathbb{R}$ będą klasy $\displaystyle C^1$ oraz niech $\displaystyle K=K(\varphi,\psi)$ będzie krzywą zwyczajną. Wówczas długość krzywej wyraża się wzorem

$\displaystyle l(K) \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{\varphi'(\tau)^2+\psi'(\tau)^2}\,d\tau.$

W szczególności, jeśli krzywa zadana jest wykresem funkcji $\displaystyle y=f(x),$ dla $\displaystyle x\in[a,b],$ to

$\displaystyle l(K) \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(t)^2}\,dt.$

Dowód 15.11.

$\displaystyle l(K) \ =\ s(b) \ =\ s(b)-\underbrace{s(a)}_{=0} \ =\ \int\limits_a^b s'(\tau)\,d\tau \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{\varphi'(\tau)^2+\psi'(\tau)^2}\,d\tau.$

W drugim przypadku krzywą zadaną przez funkcję $\displaystyle f$ możemy zapisać w postaci parametrycznej

$\displaystyle \left \{ \begin{array} {l} x(t)=t \\ y(t)=f(t) \end{array} ., \right. \ \qquad t\in[a,b]$

i od razu otrzymujemy drugi ze wzorów.

Przykład 15.12.

Wyprowadzić wzór na długość krzywej zadanej w postaci biegunowej:

$\displaystyle r \ =\ g(\vartheta) \qquad \vartheta\in[\alpha,\beta].$

Przedstawmy tę krzywą w postaci parametrycznej:

$\displaystyle \left \{ \begin{array} {l} x\ = \ r\cos\vartheta\ =\ g(\vartheta)\cos\vartheta \\ y\ = \ r\sin\vartheta\ =\ g(\vartheta)\sin\vartheta. \end{array} . \right.$

Liczymy

$\begin{array}{lll}\displaystyle \quad x'(\vartheta)^2+y'(\vartheta)^2 & = & \big[g'(\vartheta)\cos\vartheta-g(\vartheta)\sin(\vartheta)\big]^2 + \big[g'(\vartheta)\sin\vartheta+g(\vartheta)\cos(\vartheta)\big]^2 \\ \\ & = & g'(\vartheta)^2\cos^2\vartheta -2g(\vartheta)g'(\vartheta)\sin\vartheta\cos\vartheta +g(\vartheta)^2\sin^2\vartheta \\ \\ & + & g'(\vartheta)^2\sin^2\vartheta +2g(\vartheta)g'(\vartheta)\sin\vartheta\cos\vartheta +g(\vartheta)^2\cos^2\vartheta \\ \\ & = & g'(\vartheta)^2 +g(\vartheta)^2, \end{array}$

Zatem

$\displaystyle l(K) \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \sqrt{g(\vartheta)^2+g'(\vartheta)^2}\,d\vartheta.$

wykres

Definicja 15.13.

Cykloidą nazywamy krzywą kreśloną

przez ustalony punkt $\displaystyle 0$ na okręgu toczącym się po prostej $\displaystyle l.$

wykres

Przykład 15.14.

Wyprowadzić wzór parametryczny cykloidy.

Oznaczenia:
$\displaystyle a$ - promień okręgu;
$\displaystyle O$ - początkowy punkt styczności okręgu i prostej $\displaystyle l$;
$\displaystyle N$ - nowy punkt styczności;
$\displaystyle M$ - nowe położenie punktu $\displaystyle O$;
$\displaystyle \displaystyle t=∢ NDM$ - parametr określający położenie punktu $\displaystyle M.$

Liczymy współrzędne punktu $\displaystyle M(x,y)$:

$\displaystyle x \ = \ OF \ =\ ON-FN \ =\ \widehat{NM}-MG \ =\ at-a\sin t,$

$\displaystyle y \ = \ FM \ =\ NG \ =\ ND-GD \ =\ a-a\cos t.$

Zatem

$\displaystyle \left \{ \begin{array} {l} x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t) \end{array} . \right. \ \qquad t\in [0,2\pi] \quad($ lub $\displaystyle \ t\in\mathbb{R}).$

Przykład 15.15.

Obliczyć długość łuku cykloidy:

$\displaystyle \left \{ \begin{array} {l} x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t) \end{array} . \right. \ \qquad t\in [0,2\pi].$

$\begin{array}{lll} \displaystyle \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} & = & \sqrt{a^2(1-\cos t)^2+a^2\sin^2 t} \ =\ \sqrt{a^2-2a^2\cos t+a^2\cos^2 t+a^2\sin^2 t} \\ & = & \displaystyle \sqrt{2a^2(1-\cos t)} \ =\ \sqrt{4a^2\sin^2\frac{t}{2}} \ =\ 2a\bigg|\sin\frac{t}{2}\bigg|.\end{array}$

Zatem

$\displaystyle \begin{array}{lll}l(K) & = & \displaystyle\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt \ =\ 2a\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\bigg|\sin\frac{t}{2}\,\bigg|dt \\ & = & 2a\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sin\frac{t}{2}\,dt \ =\ -4a\cos\frac{t}{2}\bigg|_0^{2\pi} \ =\ a. \end{array}$

Przykład 15.16.

Obliczyć długość łuku asteroidy:

$\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}} \ =\ a^{\frac{2}{3}}.$

Równanie parametryczne asteroidy, to:

$\displaystyle \left \{ \begin{array} {l} x=a\cos^3 t \\ y=a\sin^3 t \end{array} . \right. \ \qquad t\in [0,2\pi].$

Liczymy

$\displaystyle \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} \ =\ 3a\sin t\cos t \qquad\forall\ t\in[0,2\pi].$

Zatem

$\displaystyle l(K) \ =\ 4\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}3a\sin t\cos t\,dt \ =\ 6a.$

wykresy