DEFINICJA 1.21.
W iloczynie kartezjańskim \( \displaystyle \mathbb{R}^2:=\mathbb{R}\times \mathbb{R} \) definiujemy sumę oraz iloczyn par \( \displaystyle z_1=(x_1 , y_1) \) oraz \( \displaystyle z_2=(x_2 , y_2) \) następująco
\( \displaystyle \begin{align*} z_1 + z_2 & =(x_1 +x_2 ,\ y_1 + y_2) \\ z_1 z_2 & =(x_1 x_2 -y_1 y_2,\ x_1 y_2 + x_2 y_1). \end{align*} \)
DEFINICJA 1.22.
Zbiór par liczb rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem określonym w powyższej definicji, nazywamy zbiorem liczb zespolonych i oznaczamy literą \( \displaystyle \mathbb{C}. \)
Uwaga 1.23.
a) Suma i iloczyn liczb zespolonych jest liczbą zespoloną.
b) Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami łącznymi i przemiennymi, tzn.
\( \displaystyle \begin{align*} z+w & = w+z \\ z w & = w z \\ z+(u+w) & = (z+u)+w \\ z(uw) & = (zu)w \end{align*} \)
dla dowolnych liczb zespolonych \( \displaystyle z, u, w. \)
c) Mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne względem dodawania, tzn.
\( \displaystyle z (u+w) \ =\ z u +z w \)
dla dowolnych liczb zespolonych \( \displaystyle z,u \) oraz \( \displaystyle w. \)
DEFINICJA 1.24.
Jeśli \( \displaystyle z=(x,y) \) jest liczbą zespoloną, to pierwszy element \( \displaystyle x \) pary \( \displaystyle (x,y) \) nazywamy częścią rzeczywistą liczby \( \displaystyle z \) i oznaczamy symbolem \( \displaystyle \Re z \) (lub \( \displaystyle \textrm{Re} z \)), a drugi element tej pary - częścią urojoną liczby \( \displaystyle z \) i oznaczamy \( \displaystyle \Im z \) (lub \( \displaystyle \textrm{Im} z \)).
Zauważmy, że każdej liczbie zespolonej \( \displaystyle z \) odpowiada dokładnie jeden punkt \( \displaystyle (\Re z, \Im z) \) w prostokątnym układzie współrzędnych. Tradycyjnie mówimy więc o płaszczyźnie zespolonej \( \displaystyle \mathbb{C}. \) Oś odciętych na płaszczyźnie \( \displaystyle \mathbb{C} \) nazywamy osią rzeczywistą, a oś rzędnych osią urojoną.
DEFINICJA 1.25.
Jednostką urojoną nazywamy liczbę zespoloną \( \displaystyle i=(0,1) \).
Uwaga 1.26.
a) Każdą liczbę zespoloną \( \displaystyle z \) można zapisać w postaci sumy \( \displaystyle z=\Re z + \Im z i. \)
b) Kwadrat jednostki urojonej wynosi \( \displaystyle -1 \), gdyż \( \displaystyle i^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1+0i=-1. \)
c) Jeśli \( \displaystyle z_1=x_1 + y_1 i \) oraz \( \displaystyle z_2=x_2+ y_2 i \), to sumę i iloczyn liczb \( \displaystyle z_1, z_2 \) możemy wyznaczyć tak, jak zwykliśmy przekształcać wyrażenia algebraiczne, traktując jednostkę urojoną \( \displaystyle i \) jak parametr i pamiętać, że \( \displaystyle i^2=-1 \). Mamy więc
\( \displaystyle \begin{align*} z_1+z_2 & =(x_1 + y_1 i)+( x_2+ y_2 i) \\ & =(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i \\ & =(x_1+x_2,\ y_1+y_2) \end{align*} \)
oraz
\( \displaystyle \begin{align*} z_1 z_2 & =(x_1 + y_1 i)( x_2+ y_2 i) \\ & =x_1 x_2+(x_1 y_2 +x_2 y_1)i +y_1 y_2 i^2 \\ & =(x_1 x_2 - y_1 y_2)+ (x_1y_2 +x_2 y_1)i \\ & =( x_1 x_2 - y_1 y_2, \ x_1 y_2 +x_2y_1).\end{align*} \)
Uwaga 1.27.
Dowolną liczbę zespoloną \( \displaystyle z=x+i y \) możemy przedstawić w postaci trygonometrycznej \( \displaystyle z=r(\cos\varphi, \sin\varphi)=r(\cos \varphi +i\sin\varphi) \), gdzie \( \displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2} \), a \( \displaystyle \varphi \) jest dowolnym kątem takim, że
\(\left\{\begin{array}{l l} x=r\cos\varphi \\ y=r\sin\varphi\\ \end{array} \right.\)
Wiemy, że kątów takich jest nieskończenie wiele.
Liczba zespolona \( z \) oraz jej sprzeżenie \( \overline{z} \)
DEFINICJA 1.28.
Jeśli \( \displaystyle z=x+i y=r(\cos\varphi+i \sin\varphi) \), to liczbę \( \displaystyle r:= \sqrt{x^2+y^2} \) nazywamy modułem liczby zespolonej \( \displaystyle z \) i oznaczamy \( \displaystyle |z| \), a każdy z kątów \( \displaystyle \varphi \) takich, że zachodzą równości \( \displaystyle x=r\cos\varphi=r\sin\varphi \), nazywamy argumentem liczby \( \displaystyle z \) i oznaczamy \( \displaystyle \textrm{arg} z \). Najmniejszy nieujemny argument liczby zespolonej \( \displaystyle z \) nazywamy argumentem głównym tej liczby i oznaczamy \( \displaystyle \textrm{Arg} z \).
Wyrażenie \( \displaystyle \cos\varphi+ i \sin\varphi \) będziemy
krótko notować w postaci wykładniczej \( \displaystyle e^{i\varphi} \) lub \( \displaystyle \exp (i\varphi), \) pomijając na razie zasadność użycia symbolu funkcji wykładniczej w tej notacji.
Odtąd liczbę zespoloną o module \( \displaystyle r \) i argumencie \( \displaystyle \varphi \) będziemy zapisywać w postaci trygonometrycznej \( \displaystyle z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi) \) lub wykładniczej \( \displaystyle z=re^{i\varphi}. \)
DEFINICJA 1.29.
Sprzężeniem liczby zespolonej \( \displaystyle z=x+iy \) nazywamy liczbę \( \displaystyle \overline{z}=x-iy \).
Uwaga 1.30.
a) Liczba \( \displaystyle \bar z =x-iy \) jest obrazem liczby \( \displaystyle z =x+iy \) w symetrii względem osi rzeczywistej.
b) Dla dowolnej liczby \( \displaystyle z \) zachodzi równość: \( \displaystyle z\bar z=|z|^2. \)
c) Jeśli \( \displaystyle z=re^{i\varphi}, \) to \( \displaystyle \bar z=re^{i(-\varphi)}. \)
d) Jeśli \( \displaystyle z_1=r_1 e^{i\varphi_1} \) oraz \( \displaystyle z_2=r_2 e^{i\varphi_2}, \) to \( \displaystyle z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}, \) to znaczy moduł iloczynu liczb \( \displaystyle z_1, z_2 \) jest iloczynem modułów \( \displaystyle |z_1|=r_1 \) i \( \displaystyle |z_2|=r_2 \) tych liczb, a argument iloczynu liczb zespolonych jest sumą ich argumentów.
Dowód 1.30.
Uwagi a), b), c) wynikają bezpośrednio z definicji sprzężenia i interpretacji geometrycznej liczb zespolonych. Zauważmy, że
\( \displaystyle \begin{align*} r_1 e^{i\varphi_1} r_2 e^{i\varphi_2} & =r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1) r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2) \\ & =r_1 r_2[(\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin\varphi_2)+i(\sin\varphi_1\cos\varphi_2+\cos\varphi_1\sin\varphi_2)] \\ & = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)) \\ & =r_1 r_2 e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}.\end{align*} \)
Z punktu d) powyższej uwagi wynika następujące twierdzenie.
Twierdzenie 1.31. [wzór de Moivre'a]
Dla dowolnej liczby zespolonej \( \displaystyle z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi) \) i dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle n=1, 2, 3, \ldots \) zachodzi równość:
\( \displaystyle z^n \ =\ r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi), \)
którą można również wyrazić w postaci wykładniczej:
\( \displaystyle (re^{i\varphi})^n \ =\ r^n e^{i n \varphi}. \)
Zanotujmy jeszcze nastepujący
Wniosek 1.32.
Jeśli \( \displaystyle w=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\neq 0 \) jest dowolną liczbą zespoloną różną od zera, zaś \( \displaystyle n=1, 2, 3, \ldots \) -- dowolną liczbą naturalną, to równanie \( \displaystyle z^n=w \) spełnia dokładnie \( \displaystyle n \) liczb zespolonych \( \displaystyle z_0, z_1, z_2, \ldots , z_{n-1} \)
\( \displaystyle z_k \ =\ \root{k}\of{r}\bigg(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\bigg), \)
gdzie \( \displaystyle k\in\{0, 1, 2, \ldots , n-1\} \).
Dowód 1.32.
[Szkic] Korzystając ze wzoru de Moivre'a, stwierdzamy, że \( \displaystyle z_k ^n =w, \) a więc każda z liczb \( \displaystyle z_k \) spełnia dane równanie. Zauważmy ponadto, że gdybyśmy nie ograniczyli zakresu parametru \( \displaystyle k \) do zbioru liczb całkowitych nieujemnych od \( \displaystyle 0 \) do \( \displaystyle n-1 \), to i tak nie otrzymalibyśmy więcej pierwiastków danego równania, gdyż \( \displaystyle z_k=z_{k+n} \) ze względu na okresowość funkcji sinus i cosinus.
Uwaga 1.33
Każdy z pierwiastków równania \( \displaystyle z^n=w \) leży na okręgu o środku w punkcie \( \displaystyle 0 \) i promieniu \( \displaystyle \root{n}\of{|w|}. \) Argument pierwiastka \( \displaystyle z_0 \) jest
\( \displaystyle n \)-tą częścią argumentu liczby \( \displaystyle w \), a każdy kolejny pierwiastek ma argument o \( \displaystyle \frac{2\pi}{n} \) większy od poprzedniego, tzn.
\( \displaystyle \begin{align*} \textrm{Arg} z_0 & =\frac{1}{n}\textrm{Arg} w \\ \textrm{Arg} z_{k+1} & =\textrm{Arg} z_{k}+\frac{2\pi}{n}, \textrm{ dla } k=0,1,2,\ldots , n-2.\end{align*} \)
DEFINICJA 1.34.
Każdy z pierwiastków równania \( \displaystyle z^n=w \) nazywamy pierwiastkiem algebraicznym stopnia \( \displaystyle n \) z liczby \( \displaystyle w. \)
PRZYKŁAD 1.35.
Każda z liczb
\( \displaystyle \begin{align*} z_0 & = e^{i\frac{\pi}{4}} & = & \cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4} & = & +\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \\ z_1 & = e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2})} & = & \cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4} & = & -\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \\ z_2 & = e^{i(\frac{\pi}{4}+2\frac{\pi}{2})} & = & \cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4} & = & -\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2} \\ z_3 & = e^{i(\frac{\pi}{4}+3\frac{\pi}{2})} & = & \cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4} & = & +\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\end{align*} \)
jest pierwiastkiem równania \( \displaystyle z^4+1=0. \)
PRZYKŁAD 1.36.
Zastosujmy twierdzenie de Moivre'a do wyznaczenia sum
\( \displaystyle \begin{align*} 1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\ldots +\cos n\varphi \\ 0+\sin\varphi+\sin 2\varphi+\ldots +\sin n\varphi.\end{align*} \)
Niech
\( \displaystyle z \ =\ e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi. \)
Zauważmy, że - na mocy twierdzenia de Moivre'a - mamy
\( \displaystyle \Re z^k \ =\ \cos k \varphi \quad \ \) oraz \( \quad \Im z^k \ =\ \sin k \varphi \quad\ \) dla dowolnej liczby \( \ k=1, 2, 3,\ldots . \)
Stąd
\( \displaystyle \begin{align*} & 1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\ldots +\cos n\varphi & = & \Re(1+z+z^2+\ldots +z^n) \\ & 0+\sin\varphi+\sin 2\varphi+\ldots +\sin n\varphi & = & \Im(1+z+z^2+\ldots +z^n). \end{align*} \)
Dla \( \displaystyle z=e^{i\varphi}\neq 0 \) mamy
\( \displaystyle \begin{align*} 1+z+z^2+\ldots +z^n & =\frac{z^{n+1}-1}{z-1} =\frac{e^{i(n+1)\varphi}-1}{e^{i\varphi}-1}= \frac{e^{i(n+1)\varphi}-1}{e^{i\varphi}-1}\cdot\frac{e^{-i\varphi}-1}{e^{-i\varphi}-1} \\ & =\frac{e^{in\varphi}-e^{i(n+1)\varphi}-e^{-i\varphi}+1}{2-e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}} \\ & =\frac{\cos n\varphi-\cos(n+1)\varphi-\cos\varphi+1}{2(1-\cos{\varphi})}+i\frac{\sin n\varphi-\sin(n+1)\varphi+\sin\varphi+0}{2(1-\cos{\varphi})}\end{align*} \)
Stąd - korzystając ze znanych wzorów na różnicę sinusów, odpowiednio: cosinusów - dostajemy
\( \displaystyle \begin{align*} 1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\ldots +\cos n\varphi & =\frac{\big(\cos n\varphi-\cos(n+1)\varphi\big)+(-\cos\varphi+1)}{2(1-\cos{\varphi})} \\ & =\frac{-2\sin\frac{2n\varphi+\varphi}{2}\sin\frac{n\varphi-n\varphi-\varphi}{2}+2\sin^2\frac{\varphi}{2}}{4\sin^2\frac{\varphi}{2}} \\ & =\frac{\sin(n+\frac{1}{2})\varphi+\sin\frac{\varphi}{2}}{2\sin\frac{\varphi}{2}}, \textrm{ o ile } \sin\frac{\varphi}{2}\neq 0,\end{align*} \)
oraz
\( \displaystyle \begin{align*} 0+\sin\varphi+\sin 2\varphi+\ldots +\sin n\varphi & =\frac{\big(\sin n\varphi-\sin(n+1)\varphi\big)+\sin\varphi}{2(1-\cos{\varphi})} \\ & =\frac{2\cos\frac{2n\varphi+\varphi}{2}\sin\frac{n\varphi-n\varphi-\varphi}{2}+2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}}{4\sin^2\frac{\varphi}{2}} \\ & =\frac{-\cos(n+\frac{1}{2})\varphi+\cos\frac{\varphi}{2}}{2\sin\frac{\varphi}{2}}, \textrm{ o ile } \sin\frac{\varphi}{2}\neq 0.\end{align*} \)
Ponieważ dla dowolnej liczby rzeczywistej \( \displaystyle t \) zachodzi nierówność: \( \displaystyle |\cos t|\leq 1 \), \( \displaystyle |\sin t|\leq 1 \), więc
\( \displaystyle \begin{align*} & \Bigg|\sin(n+\frac{1}{2})\varphi+\sin\frac{\varphi}{2}\Bigg|\leq 2 \\ & \Bigg|\cos(n+\frac{1}{2})\varphi-\sin\frac{\varphi}{2}\Bigg|\leq 2. \end{align*} \)
Wykazaliśmy w ten sposób
Wniosek 1.37.
Dla dowolnej liczby naturalnej \( \displaystyle n \) i dowolnych liczb rzeczywistych \( \displaystyle 0 < \varphi < 2\pi \) mamy następujące ograniczenie sum
\( \displaystyle \begin{align*} & |1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\ldots +\cos n\varphi| & \leq \frac{1}{|\sin\frac{\varphi}{2}|} \\ & | 0+\sin\varphi+\sin 2\varphi+\ldots +\sin n\varphi| & \leq \frac{1}{|\sin\frac{\varphi}{2}|}.\end{align*} \)
Zauważmy, że wartość ułamka \( \displaystyle \frac{1}{|\sin\frac{\varphi}{2}|} \) nie zależy od liczby \( \displaystyle n \) składników wchodzących w skład powyższych sum cosinusów i sinusów, co stanowi istotę tego oszacowania. Wykorzystamy tę informację, badając zbieżność szeregów w ramach kolejnych modułów.