Liczby zespolone

DEFINICJA 1.21.

W iloczynie kartezjańskim $\displaystyle \mathbb{R}^2:=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ definiujemy sumę oraz iloczyn par $\displaystyle z_1=(x_1 , y_1)$ oraz $\displaystyle z_2=(x_2 , y_2)$ następująco
$\displaystyle \begin{align*} z_1 + z_2 & =(x_1 +x_2 ,\ y_1 + y_2) \\ z_1 z_2 & =(x_1 x_2 -y_1 y_2,\ x_1 y_2 + x_2 y_1). \end{align*}$

DEFINICJA 1.22.

Zbiór par liczb rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem określonym w powyższej definicji, nazywamy zbiorem liczb zespolonych i oznaczamy literą $\displaystyle \mathbb{C}.$

Rysunek do definicji 1.24. i 1.25.

Uwaga 1.23.

a) Suma i iloczyn liczb zespolonych jest liczbą zespoloną.
b) Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami łącznymi i przemiennymi, tzn.

$\displaystyle \begin{align*} z+w & = w+z \\ z w & = w z \\ z+(u+w) & = (z+u)+w \\ z(uw) & = (zu)w \end{align*}$

dla dowolnych liczb zespolonych $\displaystyle z, u, w.$
c) Mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne względem dodawania, tzn.

$\displaystyle z (u+w) \ =\ z u +z w$

dla dowolnych liczb zespolonych $\displaystyle z,u$ oraz $\displaystyle w.$

DEFINICJA 1.24.

Jeśli $\displaystyle z=(x,y)$ jest liczbą zespoloną, to pierwszy element $\displaystyle x$ pary $\displaystyle (x,y)$ nazywamy częścią rzeczywistą liczby $\displaystyle z$ i oznaczamy symbolem $\displaystyle \Re z$ (lub $\displaystyle \textrm{Re} z$), a drugi element tej pary - częścią urojoną liczby $\displaystyle z$ i oznaczamy $\displaystyle \Im z$ (lub $\displaystyle \textrm{Im} z$).

Zauważmy, że każdej liczbie zespolonej $\displaystyle z$ odpowiada dokładnie jeden punkt $\displaystyle (\Re z, \Im z)$ w prostokątnym układzie współrzędnych. Tradycyjnie mówimy więc o płaszczyźnie zespolonej $\displaystyle \mathbb{C}.$ Oś odciętych na płaszczyźnie $\displaystyle \mathbb{C}$ nazywamy osią rzeczywistą, a oś rzędnych osią urojoną.

DEFINICJA 1.25.

Jednostką urojoną nazywamy liczbę zespoloną $\displaystyle i=(0,1)$.

Uwaga 1.26.

a) Każdą liczbę zespoloną $\displaystyle z$ można zapisać w postaci sumy $\displaystyle z=\Re z + \Im z i.$
b) Kwadrat jednostki urojonej wynosi $\displaystyle -1$, gdyż $\displaystyle i^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1+0i=-1.$
c) Jeśli $\displaystyle z_1=x_1 + y_1 i$ oraz $\displaystyle z_2=x_2+ y_2 i$, to sumę i iloczyn liczb $\displaystyle z_1, z_2$ możemy wyznaczyć tak, jak zwykliśmy przekształcać wyrażenia algebraiczne, traktując jednostkę urojoną $\displaystyle i$ jak parametr i pamiętać, że $\displaystyle i^2=-1$. Mamy więc

$\displaystyle \begin{align*} z_1+z_2 & =(x_1 + y_1 i)+( x_2+ y_2 i) \\ & =(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i \\ & =(x_1+x_2,\ y_1+y_2) \end{align*}$

oraz

$\displaystyle \begin{align*} z_1 z_2 & =(x_1 + y_1 i)( x_2+ y_2 i) \\ & =x_1 x_2+(x_1 y_2 +x_2 y_1)i +y_1 y_2 i^2 \\ & =(x_1 x_2 - y_1 y_2)+ (x_1y_2 +x_2 y_1)i \\ & =( x_1 x_2 - y_1 y_2, \ x_1 y_2 +x_2y_1).\end{align*}$

Uwaga 1.27.

Dowolną liczbę zespoloną $\displaystyle z=x+i y$ możemy przedstawić w postaci trygonometrycznej $\displaystyle z=r(\cos\varphi, \sin\varphi)=r(\cos \varphi +i\sin\varphi)$, gdzie $\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}$, a $\displaystyle \varphi$ jest dowolnym kątem takim, że

$\left\{\begin{array}{l l} x=r\cos\varphi \\ y=r\sin\varphi\\ \end{array} \right.$

Wiemy, że kątów takich jest nieskończenie wiele.

Liczba zespolona z oraz jej sprzeżenie \overline{z} Rycina

Liczba zespolona $z$ oraz jej sprzeżenie $\overline{z}$

DEFINICJA 1.28.

Jeśli $\displaystyle z=x+i y=r(\cos\varphi+i \sin\varphi)$, to liczbę $\displaystyle r:= \sqrt{x^2+y^2}$ nazywamy modułem liczby zespolonej $\displaystyle z$ i oznaczamy $\displaystyle |z|$, a każdy z kątów $\displaystyle \varphi$ takich, że zachodzą równości $\displaystyle x=r\cos\varphi=r\sin\varphi$, nazywamy argumentem liczby $\displaystyle z$ i oznaczamy $\displaystyle \textrm{arg} z$. Najmniejszy nieujemny argument liczby zespolonej $\displaystyle z$ nazywamy argumentem głównym tej liczby i oznaczamy $\displaystyle \textrm{Arg} z$.

Wyrażenie $\displaystyle \cos\varphi+ i \sin\varphi$ będziemy

krótko notować w postaci wykładniczej $\displaystyle e^{i\varphi}$ lub $\displaystyle \exp (i\varphi),$ pomijając na razie zasadność użycia symbolu funkcji wykładniczej w tej notacji.

Odtąd liczbę zespoloną o module $\displaystyle r$ i argumencie $\displaystyle \varphi$ będziemy zapisywać w postaci trygonometrycznej $\displaystyle z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ lub wykładniczej $\displaystyle z=re^{i\varphi}.$

DEFINICJA 1.29.

Sprzężeniem liczby zespolonej $\displaystyle z=x+iy$ nazywamy liczbę $\displaystyle \overline{z}=x-iy$.

Uwaga 1.30.

a) Liczba $\displaystyle \bar z =x-iy$ jest obrazem liczby $\displaystyle z =x+iy$ w symetrii względem osi rzeczywistej.
b) Dla dowolnej liczby $\displaystyle z$ zachodzi równość: $\displaystyle z\bar z=|z|^2.$
c) Jeśli $\displaystyle z=re^{i\varphi},$ to $\displaystyle \bar z=re^{i(-\varphi)}.$
d) Jeśli $\displaystyle z_1=r_1 e^{i\varphi_1}$ oraz $\displaystyle z_2=r_2 e^{i\varphi_2},$ to $\displaystyle z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1+\varphi_2)},$ to znaczy moduł iloczynu liczb $\displaystyle z_1, z_2$ jest iloczynem modułów $\displaystyle |z_1|=r_1$ i $\displaystyle |z_2|=r_2$ tych liczb, a argument iloczynu liczb zespolonych jest sumą ich argumentów.

Dowód 1.30.

Uwagi a), b), c) wynikają bezpośrednio z definicji sprzężenia i interpretacji geometrycznej liczb zespolonych. Zauważmy, że

$\displaystyle \begin{align*} r_1 e^{i\varphi_1} r_2 e^{i\varphi_2} & =r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1) r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2) \\ & =r_1 r_2[(\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin\varphi_2)+i(\sin\varphi_1\cos\varphi_2+\cos\varphi_1\sin\varphi_2)] \\ & = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)) \\ & =r_1 r_2 e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}.\end{align*}$

Z punktu d) powyższej uwagi wynika następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.31. [wzór de Moivre'a]

Dla dowolnej liczby zespolonej $\displaystyle z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ i dowolnej liczby naturalnej $\displaystyle n=1, 2, 3, \ldots$ zachodzi równość:

$\displaystyle z^n \ =\ r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi),$

którą można również wyrazić w postaci wykładniczej:

$\displaystyle (re^{i\varphi})^n \ =\ r^n e^{i n \varphi}.$

Zanotujmy jeszcze nastepujący

Wniosek 1.32.

Jeśli $\displaystyle w=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\neq 0$ jest dowolną liczbą zespoloną różną od zera, zaś $\displaystyle n=1, 2, 3, \ldots$ -- dowolną liczbą naturalną, to równanie $\displaystyle z^n=w$ spełnia dokładnie $\displaystyle n$ liczb zespolonych $\displaystyle z_0, z_1, z_2, \ldots , z_{n-1}$

$\displaystyle z_k \ =\ \root{k}\of{r}\bigg(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\bigg),$

gdzie $\displaystyle k\in\{0, 1, 2, \ldots , n-1\}$.

Dowód 1.32.

[Szkic] Korzystając ze wzoru de Moivre'a, stwierdzamy, że $\displaystyle z_k ^n =w,$ a więc każda z liczb $\displaystyle z_k$ spełnia dane równanie. Zauważmy ponadto, że gdybyśmy nie ograniczyli zakresu parametru $\displaystyle k$ do zbioru liczb całkowitych nieujemnych od $\displaystyle 0$ do $\displaystyle n-1$, to i tak nie otrzymalibyśmy więcej pierwiastków danego równania, gdyż $\displaystyle z_k=z_{k+n}$ ze względu na okresowość funkcji sinus i cosinus.

grafika

Uwaga 1.33

Każdy z pierwiastków równania $\displaystyle z^n=w$ leży na okręgu o środku w punkcie $\displaystyle 0$ i promieniu $\displaystyle \root{n}\of{|w|}.$ Argument pierwiastka $\displaystyle z_0$ jest
$\displaystyle n$-tą częścią argumentu liczby $\displaystyle w$, a każdy kolejny pierwiastek ma argument o $\displaystyle \frac{2\pi}{n}$ większy od poprzedniego, tzn.

$\displaystyle \begin{align*} \textrm{Arg} z_0 & =\frac{1}{n}\textrm{Arg} w \\ \textrm{Arg} z_{k+1} & =\textrm{Arg} z_{k}+\frac{2\pi}{n}, \textrm{ dla } k=0,1,2,\ldots , n-2.\end{align*}$

DEFINICJA 1.34.

Każdy z pierwiastków równania $\displaystyle z^n=w$ nazywamy pierwiastkiem algebraicznym stopnia $\displaystyle n$ z liczby $\displaystyle w.$

PRZYKŁAD 1.35.

Każda z liczb

$\displaystyle \begin{align*} z_0 & = e^{i\frac{\pi}{4}} & = & \cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4} & = & +\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \\ z_1 & = e^{i(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2})} & = & \cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4} & = & -\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \\ z_2 & = e^{i(\frac{\pi}{4}+2\frac{\pi}{2})} & = & \cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4} & = & -\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2} \\ z_3 & = e^{i(\frac{\pi}{4}+3\frac{\pi}{2})} & = & \cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4} & = & +\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}$

jest pierwiastkiem równania $\displaystyle z^4+1=0.$

PRZYKŁAD 1.36.

Zastosujmy twierdzenie de Moivre'a do wyznaczenia sum

$\displaystyle \begin{align*} 1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\ldots +\cos n\varphi \\ 0+\sin\varphi+\sin 2\varphi+\ldots +\sin n\varphi.\end{align*}$

Niech

$\displaystyle z \ =\ e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi.$

Zauważmy, że - na mocy twierdzenia de Moivre'a - mamy

$\displaystyle \Re z^k \ =\ \cos k \varphi \quad \ $ oraz $\quad \Im z^k \ =\ \sin k \varphi \quad\ $ dla dowolnej liczby $\ k=1, 2, 3,\ldots .$

Stąd

$\displaystyle \begin{align*} & 1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\ldots +\cos n\varphi & = & \Re(1+z+z^2+\ldots +z^n) \\ & 0+\sin\varphi+\sin 2\varphi+\ldots +\sin n\varphi & = & \Im(1+z+z^2+\ldots +z^n). \end{align*}$

Dla $\displaystyle z=e^{i\varphi}\neq 0$ mamy

$\displaystyle \begin{align*} 1+z+z^2+\ldots +z^n & =\frac{z^{n+1}-1}{z-1} =\frac{e^{i(n+1)\varphi}-1}{e^{i\varphi}-1}= \frac{e^{i(n+1)\varphi}-1}{e^{i\varphi}-1}\cdot\frac{e^{-i\varphi}-1}{e^{-i\varphi}-1} \\ & =\frac{e^{in\varphi}-e^{i(n+1)\varphi}-e^{-i\varphi}+1}{2-e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}} \\ & =\frac{\cos n\varphi-\cos(n+1)\varphi-\cos\varphi+1}{2(1-\cos{\varphi})}+i\frac{\sin n\varphi-\sin(n+1)\varphi+\sin\varphi+0}{2(1-\cos{\varphi})}\end{align*}$

Stąd - korzystając ze znanych wzorów na różnicę sinusów, odpowiednio: cosinusów - dostajemy

$\displaystyle \begin{align*} 1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\ldots +\cos n\varphi & =\frac{\big(\cos n\varphi-\cos(n+1)\varphi\big)+(-\cos\varphi+1)}{2(1-\cos{\varphi})} \\ & =\frac{-2\sin\frac{2n\varphi+\varphi}{2}\sin\frac{n\varphi-n\varphi-\varphi}{2}+2\sin^2\frac{\varphi}{2}}{4\sin^2\frac{\varphi}{2}} \\ & =\frac{\sin(n+\frac{1}{2})\varphi+\sin\frac{\varphi}{2}}{2\sin\frac{\varphi}{2}}, \textrm{ o ile } \sin\frac{\varphi}{2}\neq 0,\end{align*}$

oraz

$\displaystyle \begin{align*} 0+\sin\varphi+\sin 2\varphi+\ldots +\sin n\varphi & =\frac{\big(\sin n\varphi-\sin(n+1)\varphi\big)+\sin\varphi}{2(1-\cos{\varphi})} \\ & =\frac{2\cos\frac{2n\varphi+\varphi}{2}\sin\frac{n\varphi-n\varphi-\varphi}{2}+2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}}{4\sin^2\frac{\varphi}{2}} \\ & =\frac{-\cos(n+\frac{1}{2})\varphi+\cos\frac{\varphi}{2}}{2\sin\frac{\varphi}{2}}, \textrm{ o ile } \sin\frac{\varphi}{2}\neq 0.\end{align*}$

Ponieważ dla dowolnej liczby rzeczywistej $\displaystyle t$ zachodzi nierówność: $\displaystyle |\cos t|\leq 1$, $\displaystyle |\sin t|\leq 1$, więc

$\displaystyle \begin{align*} & \Bigg|\sin(n+\frac{1}{2})\varphi+\sin\frac{\varphi}{2}\Bigg|\leq 2 \\ & \Bigg|\cos(n+\frac{1}{2})\varphi-\sin\frac{\varphi}{2}\Bigg|\leq 2. \end{align*}$

Wykazaliśmy w ten sposób

Wniosek 1.37.

Dla dowolnej liczby naturalnej $\displaystyle n$ i dowolnych liczb rzeczywistych $\displaystyle 0 < \varphi < 2\pi$ mamy następujące ograniczenie sum

$\displaystyle \begin{align*} & |1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\ldots +\cos n\varphi| & \leq \frac{1}{|\sin\frac{\varphi}{2}|} \\ & | 0+\sin\varphi+\sin 2\varphi+\ldots +\sin n\varphi| & \leq \frac{1}{|\sin\frac{\varphi}{2}|}.\end{align*}$

Zauważmy, że wartość ułamka $\displaystyle \frac{1}{|\sin\frac{\varphi}{2}|}$ nie zależy od liczby $\displaystyle n$ składników wchodzących w skład powyższych sum cosinusów i sinusów, co stanowi istotę tego oszacowania. Wykorzystamy tę informację, badając zbieżność szeregów w ramach kolejnych modułów.