DEFINICJA 1.38.
Niech n≥k będą dowolnymi nieujemnymi liczbami całkowitymi. Symbolem Newtona n po k nazywamy wyrażenie
\displaystyle {n \choose k} \ =\ \frac{n!}{(n-k)!k!},
gdzie symbolem \displaystyle n! oznaczamy silnię liczby \displaystyle n określoną rekurencyjnie: \displaystyle 0!=1 oraz \displaystyle n!=(n-1)! \, n dla \displaystyle n\geq 1 .
Przypomnijmy, że
a) Dla \displaystyle n=0, 1, 2, \ldots zachodzą równości: \displaystyle {n \choose 0}=1 oraz \displaystyle {n \choose 1}=n .
b) Dla \displaystyle n>k zachodzi równość \displaystyle {n \choose k}+ {n \choose k+1}= {n+1 \choose k+1} .
Równość ta pozwala na wyznaczać wartość \displaystyle {n \choose k} zgodnie z regułą nazywaną trójkątem Pascala:
\displaystyle {0 \choose 0}
\displaystyle {1 \choose 0}\quad {1 \choose 1}
\displaystyle {2 \choose 0}\quad {2 \choose 1}\quad {2 \choose 2}
\displaystyle {3 \choose 0}\quad {3 \choose 1}\quad {3 \choose 2}\quad {3 \choose 3}
\displaystyle {4 \choose 0}\quad {4 \choose 1}\quad {4 \choose 2}\quad {4 \choose 3}\quad {4 \choose 4}
\displaystyle {5 \choose 0}\quad {5 \choose 1}\quad {5 \choose 2}\quad {5 \choose 3}\quad {5 \choose 4}\quad {5 \choose 5}
\displaystyle {6 \choose 0}\quad {6 \choose 1}\quad {6 \choose 2}\quad {6 \choose 3}\quad {6 \choose 4}\quad {6 \choose 5} \quad {6 \choose 6}
\displaystyle {7 \choose 0}\quad {7 \choose 1}\quad {7 \choose 2}\quad {7 \choose 3}\quad {7 \choose 4}\quad {7 \choose 5}\quad {7 \choose 6}\quad {7 \choose 7}
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mianowicie - zgodnie z równością \displaystyle {n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1} wartość symbolu Newtona \displaystyle {n+1 \choose k+1} jest sumą dwóch symboli \displaystyle {n \choose k} oraz \displaystyle {n \choose k+1} , które znajdują się bezpośrednio nad symbolem \displaystyle {n+1 \choose k+1} w powyższym trójkącie. Reguła ta staje się bardziej czytelna, jeśli zastąpimy symbole \displaystyle {n \choose k} odpowiadającymi im liczbami naturalnymi. Tak jak to jest przedstawione na animacji obok.
Przypomnijmy, że symbole Newtona \displaystyle {n \choose k} stanowią współczynniki rozwinięcia wyrażenia \displaystyle (a+b)^n zgodnie ze wzorem dwumianowym Newtona.
Twierdzenie 1.40.
Dla dowolnej liczby naturalnej \displaystyle n=1,2,3,\ldots i dowolnych liczb \displaystyle a i \displaystyle b zachodzi równość
\displaystyle \begin{align*} (a+b)^n & =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k} \\ & =\binom{n}{0}a^{n}b^{0}+\binom{n}{1}a^{n-1}b^{1}+\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2}+\ldots +\binom{n}{n-1}a^{1}b^{n-1}\binom{n}{n}a^{0}b^{n}.\end{align*}
Zauważmy, że dla \displaystyle n=2,\ 3 wzór Newtona ma postać
\displaystyle \begin{align*} (a+b)^2 & =a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2 & =a^2-2ab+b^2 \\ (a+b)^3 & =a^3+3a^b+3ab^2+b^3 \\ (a-b)^3 & =a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.\end{align*}
Wzory te pamiętamy ze szkoły pod nazwą wzorów skróconego mnożenia.
PRZYKŁAD 1.41.
Trójkąt Pascala możemy na przykład wykorzystać do efektywnego wyznaczenia rozwinięcia sumy
\displaystyle \begin{align*}(a+b)^7= & \sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k}a^{7-k}b^k \\ = & \binom{7}{0}a^{7}b^0+\binom{7}{1}a^{7-1}b^1+\binom{7}{2}a^{7-2}b^2+\ldots +\binom{7}{6}a^{7-6}b^6+\binom{7}{7}a^{7-7}b^7 \\ = & a^7 +7a^6 b+21 a^5 b^2 +35 a^4 b^3 +35 a^3 b^4 +21a^2 b^5 +7 ab^6+b^7.\end{align*}