W tym wykładzie wprowadzamy pojęcia ciągu i szeregu funkcyjnego. Rozważamy dwa rodzaje zbieżności ciągów i szeregów funkcyjnych: zbieżność punktową i jednostajną. Dowodzimy twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. Podajemy kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego. Na zakończenie wprowadzamy szereg Taylora funkcji o środku w danym punkcie (i w szczególności szereg Maclaurina).
Ten wykład jest pierwszym z dwóch wykładów poświęconych ciągom iszeregom funkcyjnym. Z szeregami liczbowymi spotkaliśmy się już na wykładzie z Analizy Matematycznej 1. Przypomnijmy, że liczbę \( \displaystyle e \) możemy otrzymać jako sumę szeregu \( \displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} \). Okazuje się, że zachodzi ogólniejszy fakt
\( \displaystyle e^x \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \quad \) dla \( \displaystyle \ x\in\mathbb{R}. \)
Zapiszmy ten wzór tak
\( \displaystyle e^x \ =\ 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots. \)
Jeśli w powyższej sumie weźmiemy tylko skończoną ilość składników, to oczywiście nie dostaniemy dokładnie wartości \( \displaystyle e^x \), niemniej dostaniemy dobre jej przybliżenie. Pozwala to nam policzyć np. \( \displaystyle \displaystyle \sqrt{e}=e^{\frac{1}{2}} \) dość dokładnie jako sumę
\( \displaystyle 1+\frac{\frac{1}{2}}{1!}+\frac{\frac{1}{4}}{2!}+\frac{\frac{1}{8}}{3!}+\ldots +\frac{\frac{1}{2^n}}{n!} \)
(gdzie zwiększając liczbę składników, zwiększamy dokładność).
Na wykładzie zobaczymy, że wiele funkcji (przy odpowiednich założeniach) można zapisać jako sumę szeregu \( \displaystyle \displaystyle f(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \), gdzie funkcje \( \displaystyle f_n \) są na przykład jednomianami (czyli są postaci \( \displaystyle a_nx^n \) jak w powyższym przykładzie z \( \displaystyle e^x \)) albo są funkcjami trygonometrycznymi (patrz szeregi Fouriera). Da nam to możliwość przybliżania funkcji \( \displaystyle f \) przez sumę początkowych wyrazów szeregu.
Przy odpowiednich założeniach będziemy też mogli powiedzieć, czy funkcja \( \displaystyle f \) dana jako suma szeregu jest ciągła, różniczkowalna, czy też klasy \( \displaystyle C^{\infty} \).