Informatyka MIMUW

W tym wykładzie wprowadzamy pojęcia ciągu i szeregu funkcyjnego. Rozważamy dwa rodzaje zbieżności ciągów i szeregów funkcyjnych: zbieżność punktową i jednostajną. Dowodzimy twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. Podajemy kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego. Na zakończenie wprowadzamy szereg Taylora funkcji o środku w danym punkcie (i w szczególności szereg Maclaurina).

Ten wykład jest pierwszym z dwóch wykładów poświęconych ciągom iszeregom funkcyjnym. Z szeregami liczbowymi spotkaliśmy się już na wykładzie z Analizy Matematycznej 1. Przypomnijmy, że liczbę $\displaystyle e$ możemy otrzymać jako sumę szeregu $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$. Okazuje się, że zachodzi ogólniejszy fakt

$\displaystyle e^x \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \quad$ dla $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}.$

Zapiszmy ten wzór tak

$\displaystyle e^x \ =\ 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots.$

Jeśli w powyższej sumie weźmiemy tylko skończoną ilość składników, to oczywiście nie dostaniemy dokładnie wartości $\displaystyle e^x$, niemniej dostaniemy dobre jej przybliżenie. Pozwala to nam policzyć np. $\displaystyle \displaystyle \sqrt{e}=e^{\frac{1}{2}}$ dość dokładnie jako sumę

$\displaystyle 1+\frac{\frac{1}{2}}{1!}+\frac{\frac{1}{4}}{2!}+\frac{\frac{1}{8}}{3!}+\ldots +\frac{\frac{1}{2^n}}{n!}$

(gdzie zwiększając liczbę składników, zwiększamy dokładność).

Na wykładzie zobaczymy, że wiele funkcji (przy odpowiednich założeniach) można zapisać jako sumę szeregu $\displaystyle \displaystyle f(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x)$, gdzie funkcje $\displaystyle f_n$ są na przykład jednomianami (czyli są postaci $\displaystyle a_nx^n$ jak w powyższym przykładzie z $\displaystyle e^x$) albo są funkcjami trygonometrycznymi (patrz szeregi Fouriera). Da nam to możliwość przybliżania funkcji $\displaystyle f$ przez sumę początkowych wyrazów szeregu.

Przy odpowiednich założeniach będziemy też mogli powiedzieć, czy funkcja $\displaystyle f$ dana jako suma szeregu jest ciągła, różniczkowalna, czy też klasy $\displaystyle C^{\infty}$.