Na początek przypomnijmy twierdzenie o wzorze Taylora (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 10.9.).

Twierdzenie 4.18. [Wzór Taylora z resztą Lagrange'a]

Jeśli $\displaystyle I\subseteq \mathbb{R}$ jest przedziałem, $\displaystyle f\colon\ I\longrightarrow\mathbb{R}$ jest funkcją $\displaystyle (n+1)$-krotnie różniczkowalną, $\displaystyle a\in\mathrm{int}\, I$, to

$\displaystyle \% \forall x\in I\ \exists\vartheta\in(0,1):\ f(x)= f(a) +\frac{1}{1!}f'(a)(x-a) +\frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^2 +\ldots +\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n +R_n(x),$

gdzie

$\displaystyle R_n(x) \ =\ \frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}\big(a+\vartheta(x-a)\big)(x-a)^{(n+1)}.$

Niech $\displaystyle I\subseteq\mathbb{R}$ oraz niech $\displaystyle f\in C^{\infty}(I)$. Niech $\displaystyle a\in\mathrm{int}\, I$.
Możemy rozważać szereg

$\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n,$

zwany szeregiem Taylora funkcji $\displaystyle f$ o środku w punkcie $\displaystyle a$ (umowa $\displaystyle f^{(0)}(x)=f(x)$).
W szczególności dla $\displaystyle a=0\in\mathrm{int}\, I$ mamy

$\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} f^{(n)}(0)x^n,$

wykres i rycina

zwany szeregiem Maclaurina.

Z twierdzenia 4.18. (o wzorze Taylora) wynika, że warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by szereg Taylora był zbieżny, jest aby $\displaystyle R_n\longrightarrow 0$, gdzie $\displaystyle R_n$ oznacza resztę Lagrange'a we wzorze Taylora.

Twierdzenie 4.19.

Szeregi Maclaurina funkcji: $\displaystyle e^x$, $\displaystyle \sin x$ oraz $\displaystyle \cos x$ są zbieżne w $\displaystyle \mathbb{R}$, a ich sumy równe są tym funkcjom. Mówimy krótko, że funkcje te są "równe" swoim szeregom Maclaurina, czyli dla $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ mamy

$\displaystyle e^x \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!},$

$\displaystyle \sin x \ =\ \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\ldots \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},$

$\displaystyle \cos x \ =\ 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\ldots \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}.$

Dowód 4.19.

Ponieważ wszystkie pochodne funkcji $\displaystyle f(x)=e^x$ wynoszą $\displaystyle f^{(n)}(x)=e^x$ dla $\displaystyle n\in\mathbb{N}$, zatem wzór Maclaurina tej funkcji ma postać:

$\displaystyle e^x \ =\ \displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!} +R_n(x),$

gdzie $\displaystyle \displaystyle R_n(x)=\frac{e^y}{(n+1)!}y^{n+1}$ dla pewnego $\displaystyle y\in [0,x]$ (lub $\displaystyle y\in [x,0]$, gdy $\displaystyle x < 0$). Zatem

$\displaystyle \bigg|e^x - \displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\bigg| =\big| R_n(x) \big|.$

Aby pokazać zbieżność szeregu Maclaurina $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ do funkcji $\displaystyle f(x)=e^x$, należy wykazać, że ciąg reszt $\displaystyle \{R_n(x)\}$ zmierza do zera (dla dowolnego $\displaystyle x\in\mathbb{R}$). Mamy

$\displaystyle \big|R_n(x)\big| \ =\ \bigg| \frac{e^y}{(n+1)!}y^{n+1} \bigg| \ \le\ \frac{e^{|x|}}{(n+1)!}|x|^{n+1}.$

Ostatnie wyrażenie przy dowolnym ustalonym $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ zmierza do $\displaystyle 0$ gdy $\displaystyle narrow+\infty$. A zatem $\displaystyle \displaystyle e^x=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$

Dowód dla dwóch pozostałych funkcji jest analogiczny.

wykres

Uwaga 4.20.

Nie zawsze jednak suma szeregu Taylora funkcji klasy $\displaystyle C^{\infty}$ jest równa tej funkcji. Przykładem takiej funkcji jest

$\displaystyle f(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} e^{-\frac{1}{x^2}} & \textrm{dla} \displaystyle & x\ne 0, \\ 0 & \textrm{dla} \displaystyle & x=0, \end{array} \right.$

Aby to pokazać, należy obliczyć pochodne funkcji $\displaystyle f$ w $\displaystyle 0$ (z definicji). Przy liczeniu granicy ilorazu różnicowego wykorzystać regułę de l'Hospitala oraz indukcję matematyczną.

Funkcje, które w pewnym otoczeniu punktu $\displaystyle x_0$ są równe sumie swojego szereg Taylora o środku w $\displaystyle x_0$ nazywamy analitycznymi.