Definicja 4.9.

Niech $\displaystyle A$ będzie dowolnym zbiorem oraz niech $\displaystyle f_n\colon A\longrightarrow\mathbb{R}$ będą funkcjami dla $\displaystyle n\in\mathbb{N}$.

Szeregiem $\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n$ (lub $\displaystyle f_1+f_2+\ldots$) nazywamy ciąg (tzw. ciąg sum częściowych) $\displaystyle \{F_n\}$, gdzie $\displaystyle F_n=\displaystyle \sum_{i=0}^n f_i$, to znaczy $\displaystyle F_n\colon A\longrightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle F_n(x)=\displaystyle \sum_{i=0}^n f_i(x)$ dla $\displaystyle x\in A$.

Mówimy, że szereg $\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n$ jest zbieżny (punktowo) na $\displaystyle A$ do sumy $\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R}$, jeśli

$\displaystyle F_n\ \longrightarrow\ f \quad($ punktowo, to znaczy $\displaystyle \ F_n(x)\longrightarrow f(x) \ $ dla $\displaystyle \ x\in A).$

Wówczas piszemy $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n=f$.

Mówimy, że szereg $\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n$ jest zbieżny jednostajnie na $\displaystyle A$ do sumy $\displaystyle f$, jeśli $\displaystyle F_n ⇉ f.$

Twierdzenie 4.10.

Jeśli $\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n$ jest szeregiem funkcyjnym, to

$\displaystyle \bigg[$ szereg $\displaystyle \ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n\ $ jestzbieżny $\displaystyle \bigg] \ \ \Longleftrightarrow\ \ \bigg[\forall x\in A:\ $ szeregliczbowy $\displaystyle \ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \ $ jestzbieżny $\displaystyle \bigg].$

Dowód 4.10.

Wynika to wprost z definicji zbieżności szeregu funkcyjnego.

Przypomnijmy, że zbieżność szeregu liczbowego jest równoważna temu, iżjego ciąg sum częściowych spełnia warunek Cauchy'ego (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.7.). Podobnie jest dla szeregów funkcyjnych.

Twierdzenie 4.11.

Jeśli $\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n$ jest szeregiem funkcyjnym, to szereg $\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n$ jest jednostajnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg spełnia warunek Cauchy'ego, to znaczy

$\begin{array}{l}\displaystyle & \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\in\mathbb{N}\ \forall x\in A: \\ & \displaystyle\bigg[ \big(m>n>N\big)\ \Longrightarrow\ \big(\big|f_{n+1}(x)+\ldots+f_m(x)\big| < \varepsilon\big) \bigg]. \end{array}$

Dowód 4.11.

"$\displaystyle \Longrightarrow$"

Załóżmy, że szereg $\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n$ jest jednostajnie zbieżny do funkcji $\displaystyle f$ i oznaczmy przez $\displaystyle F_n$ ciąg sum częściowych tego szeregu. Ustalmy dowolne $\displaystyle \varepsilon>0$. Z definicji jednostajnej zbieżności ciągu $\displaystyle \{F_n\}$ wynika, że

$\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N\ \forall x\in A:\ \big|F_n(x)-f(x)\big| \ < \ \frac{\varepsilon}{2}.$

Zatem dla $\displaystyle m>n>N$ mamy

$\begin{array}{lll} \displaystyle \big|F_m(x)-F_n(x)\big| & = & \displaystyle \big|F_m(x)-f(x)+f(x)-F_n(x)\big| \\ & \le & \displaystyle |F_m(x)-f(x)\big|+\big|F_n(x)-f(x)\big| < 2\cdot\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon. \end{array}$

A zatem szereg $\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n$ spełnia warunek Cauchy'ego.

"$\displaystyle \Longleftarrow$"

Załóżmy teraz, że szereg $\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n$ spełnia warunek Cauchy'ego. Po pierwsze zauważmy, że wówczas dla dowolnego $\displaystyle x\in A$ szereg liczbowy $\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ spełnia warunek Cauchy'ego dla szeregów liczbowych, a zatem jest zbieżny (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.7.) punktowo, powiedzmy do funkcji $\displaystyle f$, to znaczy $\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)=f(x)$ dla $\displaystyle x\in A$. Pokażemy, że szereg $\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n$ jest zbieżny do $\displaystyle f$ jednostajnie.

Niech $\displaystyle \{F_n\}$ ponownie oznacza ciąg sum częściowych tego szeregu. Ustalmy dowolne $\displaystyle \varepsilon>0$. Z warunku Cauchy'ego wiemy, że

$\begin{array}{lll} \displaystyle & \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\in\mathbb{N}\ \forall x\in A: \\ & \bigg[ \big(m>n>N\big)\ \Longrightarrow\ \big(\big|f_{n+1}(x)+\ldots+f_m(x)\big| < \varepsilon\big) \bigg], \end{array}$

a to oznacza, że dla $\displaystyle m>n>N$ oraz $\displaystyle x\in A$ mamy

$\displaystyle \big|F_m(x)-F_n(x)\big| \ < \ \varepsilon.$

Przejdźmy w powyższej nierówności do granicy z $\displaystyle m \to +\infty$ (przy ustalonych $\displaystyle x\in A$ i $\displaystyle n>N$). Dostajemy

$\displaystyle \forall x\in A\ \forall n>N:\ \big|f(x)-F_n(x)\big| \ \le\ \varepsilon.$

A zatem ciąg $\displaystyle F_n ⇉ f$, czyli szereg $\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n$ jest jednostajnie zbieżny do $\displaystyle f$, co należało dowieść.

Analogicznie jak w przypadku ciągów funkcyjnych, zbieżność jednostajna szeregów implikuje zbieżność punktową. Dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie.

Twierdzenie 4.12. [Zbieżność a jednostajna zbieżność]

Jeśli $\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n$ jest szeregiem funkcyjnym jednostajnie zbieżnym do sumy $\displaystyle f$, to $\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n=f$ (to znaczy szereg $\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n$ jest zbieżny (punktowo) do sumy $\displaystyle f$).

Analogicznie do twierdzenia dotyczącego ciągów, dla szeregów także mamy ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych.

Twierdzenie 4.13. [Ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych]

Jeśli $\displaystyle A\subseteq\mathbb{R}$, $\displaystyle x_0\in A$, $\displaystyle f_n\colon A\longrightarrow\mathbb{R}$ są funkcjami dla $\displaystyle n\in \mathbb{N}$ oraz szereg $\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n$ jest jednostajnie zbieżny do sumy $\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R}$, to

(1) jeśli funkcje $\displaystyle f_n$ są ciągłe w punkcie $\displaystyle x_0$ dla każdego $\displaystyle n\in\mathbb{N}$, to $\displaystyle f$ jest funkcją ciągłą w $\displaystyle x_0$;

(2) jeśli funkcje $\displaystyle f_n$ są ciągłe dla każdego $\displaystyle n\in\mathbb{N}$, to $\displaystyle f$ jest funkcją ciągłą.

Dowód 4.13.

(Ad (1)) Załóżmy, że funkcje $\displaystyle f_n$ są ciągłe w punkcie $\displaystyle x_0$ dla każdego $\displaystyle n\in\mathbb{N}$. Zatem także sumy częściowe $\displaystyle F_n=f_1+f_2+\ldots+f_n$ są ciągłe w punkcie $\displaystyle x_0$ (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 8.9.). Zatem z twierdzenia 4.6. wnioskujemy, że granica $\displaystyle f=\lim\limits_{n \to +\infty} F_n$ (która istnieje z założenia) jest funkcją ciągłą.

(Ad (2)) Wynika wprost z (1).

Dla szeregów zachodzi twierdzenie analogiczne do twierdzenia 4.8. Jeśli policzymy granicę sumy szeregu jednostajnie zbieżnego w punkcie, to otrzymamy to samo co licząc granice w punkcie dla poszczególnych wyrazów szeregu funkcyjnego, a następnie licząc sumę tak otrzymanego szeregu liczbowego. Innymi słowy, w szeregu jednostajnie zbieżnym $\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n$ można przejść do granicy w punkcie "wyraz po wyrazie", to znaczy

$\displaystyle \lim_{x \to a}\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x \to a} f_n(x).$

Dokładne sformułowanie podane jest poniżej. Twierdzenie to możemy łatwo wykazać opierając się na twierdzenia 4.8. zastosowanym do ciągu sum częściowych szeregu.

Twierdzenie 4.14.

Jeśli $\displaystyle A\subseteq\mathbb{R}$, $\displaystyle a$ jest punktem skupienia zbioru $\displaystyle A$, $\displaystyle f_n\colon A\longrightarrow\mathbb{R}$ są funkcjami dla $\displaystyle n\in\mathbb{N}$, szereg $\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n$ jest jednostajnie zbieżny oraz

$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ \exists \lim_{x \to a}f_n(x)\ =\ c_n\in\mathbb{R},$

to

(1) $\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_n$ jest szeregiem liczbowym zbieżnym;

(2) istnieje granica $\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$ oraz $\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_n$.

Dla szeregów funkcyjnych podamy jedno kryterium zbieżności. Jest ono odpowiednikiem kryterium porównawczego dla szeregów liczbowych. Mówi ono, że jeśli wyrazy szeregu funkcyjnego są wspólnie ograniczone przez wyrazy szeregu liczbowego zbieżnego, to szereg ten jest jednostajnie zbieżny. Zauważmy, że kryterium to ma dość silne założenie wspólnej ograniczoności, ale za to w tezie dostajemy nie tylko zbieżność (punktową), ale aż zbieżność jednostajną.

ryciny

Twierdzenie 4.15. [Kryterium Weierstrassa]

Jeśli $\displaystyle f_n\colon A\longrightarrow\mathbb{R}$ są funkcjami dla $\displaystyle n\in\mathbb{N}$, szereg $\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ jest zbieżny oraz $\displaystyle \forall n\in\mathbb{N},\ x\in A:\ \big|f_n(x)\big|\le a_n$, to szereg $\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n$ jest jednostajnie zbieżny na $\displaystyle A$.

Dowód 4.15.

Na mocy twierdzenia 4.11. wiemy, że wystarczy pokazać zachodzenie warunku Cauchy'ego dla szeregu funkcyjnego $\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n$. W tym celu ustalmy dowolne $\displaystyle \varepsilon>0$. Ponieważ szereg $\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ jest zbieżny, więc spełnia warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów liczbowych (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.7.), zatem

$\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall m>n>N:\ a_{n+1}+\ldots+a_m < \varepsilon.$

Zatem dla $\displaystyle m>n>N$ oraz dla dowolnego $\displaystyle x\in A$ mamy

$\displaystyle \big| f_{n+1}(x)+\ldots+f_m(x) \big| \ \le\ \big| f_{n+1}(x) \big| +\ldots+ \big| f_m(x) \big| \ \le\ a_{n+1}+\ldots+ a_m\ < \ \varepsilon.$

Zatem pokazaliśmy, że szereg $\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n$ spełnia warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów, a więcjest jednostajnie zbieżny.

W kolejnym przykładzie wykorzystamy kryterium Weierstrassa do zbadania zbieżności (jednostajnej) szeregu funkcyjnego.

Przykład 4.16.

Udowodnić zbieżność następującego szeregu funkcyjnego $\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx}{1+n^5 x^2}$. Pokazać, że suma jest funkcją ciągłą na $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}$.

Aby skorzystać z kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów, należy pokazać, że wyrazy szeregu $\displaystyle \displaystyle f_n(x)=\frac{nx}{1+n^5x^2}$ są ograniczone przez wyrazy pewnego zbieżnego szeregu liczbowego. Wyznaczmy ekstrema funkcji $\displaystyle f_n$. Obliczamy pochodne:

$\displaystyle f_n'(x) \ =\ \frac{n\cdot(1+n^5x^2)-nx\cdot 2n^5x}{(1+n^2x^2)^2} \ =\ \frac{n(1-n^5x^2)}{(1+n^2x^2)^2} \qquad\forall\ n\ge 1. < ;/math> < /center> Z warunku koniecznego istnienia ekstremum (zauważmy, że funkcje < math>\displaystyle f_n$ są klasy $\displaystyle C^{\infty}$) otrzymujemy

<center>$\displaystyle f_n'(x) \ =\ 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \ =\ \pm \frac{1}{n^{\frac{5}{2}}} \qquad\forall\ n\ge 1.$

Zauważając ponadto, że $\displaystyle \displaystyle\lim_{n \to \pm\infty} f_n(x)=0$, stwierdzamy, że funkcja $\displaystyle f_n$ ma ekstrema globalne w punktach $\displaystyle \displaystyle\pm\frac{1}{n^{\frac{5}{2}}}$. Zatem

$\displaystyle \sup_{x\in\mathbb{R}}\big|f_n(x)\big| \ \le\ |f_n(\pm\frac{1}{n^{\frac{5}{2}}})| \ =\ \frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}} \qquad\forall\ n\ge 1.$

Ponieważ szereg $\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}}$ jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem $\displaystyle \displaystyle\alpha=\frac{3}{2}>1$; patrz Analiza matematyczna 1 przykład 6.15.), zatem wyjściowy szereg funkcyjny jest zbieżny (i to bezwzględnie) dla każdego $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ oraz z kryterium Weierstrassa (patrz twierdzenie 4.15.) jest zbieżny jednostajnie w $\displaystyle \mathbb{R}$.

Korzystając z twierdzenia o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych (patrz twierdzenie 4.13.), otrzymujemy, że funkcja będąca sumą badanego szeregu jest ciągła.

wykresy

Kryterium Weierstrassa dostarcza warunku wystarczającego, ale nie koniecznego zbieżności szeregów funkcyjnych. Zostanie to pokazane w kolejnym przykładzie.

Przykład 4.17.

Pokazać jednostajną zbieżność szeregu $\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ na przedziale $\displaystyle [0,1]$, gdzie

$\displaystyle f_n(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 0 & \displaystyle \quad \textrm{dla} \displaystyle & \displaystyle x\in\left[0,\frac{1}{2^{n+1}}\right], \\ \\ \displaystyle \frac{1}{n}\sin^2\big(2^{n+1}\pi x\big) & \quad \textrm{dla} \displaystyle & \displaystyle x\in\left(\frac{1}{2^{n+1}},\frac{1}{2^n}\right), \\ \\ \displaystyle 0 & \quad \textrm{dla} \displaystyle & \displaystyle x\in\left[\frac{1}{2^n},1\right]. \\ \end{array} \right.$

Należy zauważyć, że nie są spełnione założenia kryterium Weierstrassa.

Oznaczmy przez $\displaystyle \{F_n\}$ ciąg sum częściowych szeregu $\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n$. Ponieważ przedziały $\displaystyle \displaystyle\bigg(\frac{1}{2^{n+1}},\frac{1}{2^n}\bigg)$ są parami rozłączne, więc

$\displaystyle F_n(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 0 & \displaystyle \quad \textrm{dla} \displaystyle & \displaystyle x\in\left[0,\frac{1}{2^{n+1}}\right], \\ \\ \displaystyle \frac{1}{k}\sin^2\big(2^{k+1}\pi x\big) & \quad \textrm{dla} \displaystyle & \displaystyle x\in\left(\frac{1}{2^{k+1}},\frac{1}{2^k}\right), \ k=1,\ldots,n, \\ \\ 0 & \quad \textrm{dla} \displaystyle & \displaystyle x\in\left[\frac{1}{2},1\right]. \\ \end{array} \right.$

Zatem

$\displaystyle F \ =\ \lim\limits_{n \to +\infty} F_n(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 0 & \quad \textrm{dla} \displaystyle & x=0, \\ \\ \displaystyle \frac{1}{k}\sin^2\big(2^{k+1}\pi x\big) & \quad \textrm{dla} \displaystyle & \displaystyle x\in\left(\frac{1}{2^{k+1}},\frac{1}{2^k}\right), \ k=1,2,\ldots, \\ \\ 0 & \displaystyle \quad \textrm{dla} \displaystyle & \displaystyle x\in\left[\frac{1}{2},1\right]. \\ \end{array} \right.$

Ponieważ funkcje $\displaystyle \displaystyle x\longmapsto \frac{1}{k}\sin^2\big(2^{k+1}\pi x\big)$ na przedziale $\displaystyle \displaystyle \bigg(\frac{1}{2^{k+1}},\frac{1}{2^k}\bigg)$ są dodatnie i przyjmują maximum w środku tego przedziału wynoszące $\displaystyle \displaystyle\frac{1}{k}$, zatem

$\displaystyle \sup_{x\in[0,1]} \big|F(x)-F_n(x)\big| \ =\ \frac{1}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0,$

więc $\displaystyle F_n ⇉ F$ na $\displaystyle [0,1]$, co należało pokazać.
Zauważmy ponadto, że

$\displaystyle \sup_{x\in[0,1]}\big|f_n(x)\big| \ =\ \frac{1}{n}$

oraz każdy szereg $\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_n$ taki, że $\displaystyle \displaystyle c_n\ge\frac{1}{n}$, jest rozbieżny z kryterium porównawczego (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.9.). Zatem założenia twierdzenia Weierstrassa nie są spełnione.