Współrzędne sferyczne
Podobnie do współrzędnych biegunowych w R2 definiujemy współrzędne sferyczne wR3. Mamy:
{x=rsinβcosα,y=rsinβsinα,z=rcosβ,
gdzie r∈(0,+∞),α∈(0,2π),β∈(0,π).
Teraz r=√x2+y2+z2 jest odległością punktu (x,y,x) od początku układu współrzędnych, α jest kątem, jaki tworzy wektor [x,y,0] z dodatnią częścią osi Ox, a β jest kątem, jaki tworzy wektor [x,y,z] z dodatnią częścią osi Oz.
Jakobian tej zmiany zmiennych wynosi r2sinβ, a zatem jest dodatni, bo β∈(0,π).
Przykład 11.14.
Policz całkę
∭
gdzie \displaystyle D jest górną połową kuli o środku w \displaystyle \displaystyle (0,0,0) i promieniu \displaystyle R.
Kula opisana jest nierównością \displaystyle x^2+y^2+z^2\leq R^2, w takim razie \displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} zmienia się w przedziale \displaystyle \displaystyle [0,R]. Górną połowę kuli zadaje nierówność \displaystyle z>0, zatem musi być \displaystyle r\cos\beta>0, czyli \displaystyle \displaystyle\cos\beta>0, a zatem \displaystyle \displaystyle\beta\in (0,\frac{\pi}{2}). Na \displaystyle \displaystyle\alpha nie mamy żadnych dodatkowych warunków, więc \displaystyle \displaystyle\alpha\in[0,2\pi]. Zatem \displaystyle B=[0,R]\times [0,2\pi]\times(0,\frac{\pi}{2}). Tak więc
\displaystyle \begin{align*} \iiint\limits_D z^2 dxdydz & =\iiint\limits_{B} r^3 \sin\beta \cos\beta d\alpha d\beta dr = \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha \displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} d\beta \displaystyle\int\limits_0^R r^3 \sin\beta \cos\beta dr \\ & = \frac{R^4}{4} \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha \displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\beta \cos\beta d\beta \ =\ \frac{R^4}{4} \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\left(\frac{1}{2}\sin^2\beta\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}}\right) d\alpha \ =\ \frac{R^4}{4}\pi. \end{align*}