Współrzędne sferyczne
Podobnie do współrzędnych biegunowych w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2 \) definiujemy współrzędne sferyczne w\( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3. \) Mamy:
\( \displaystyle \left\{ \begin{array} {lll} x & = r\sin\beta\cos\alpha, \\ y & = r\sin\beta\sin\alpha, \\ z & = r\cos\beta, \end{array} \right. \)
gdzie \( \displaystyle r\in (0,+\infty), \alpha\in (0,2\pi), \beta\in (0,\pi). \)
Teraz \( \displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \) jest odległością punktu \( \displaystyle \displaystyle (x,y, x) \) od początku układu współrzędnych, \( \displaystyle \displaystyle\alpha \) jest kątem, jaki tworzy wektor \( \displaystyle \displaystyle [x,y,0] \) z dodatnią częścią osi \( \displaystyle Ox, \) a \( \displaystyle \displaystyle\beta \) jest kątem, jaki tworzy wektor \( \displaystyle \displaystyle [x,y,z] \) z dodatnią częścią osi \( \displaystyle Oz. \)
Jakobian tej zmiany zmiennych wynosi \( \displaystyle r^2 \sin\beta \), a zatem jest dodatni, bo \( \displaystyle \displaystyle\beta\in(0,\pi). \)
Przykład 11.14.
Policz całkę
\( \displaystyle \iiint\limits_D z^2 dxdydz, \)
gdzie \( \displaystyle D \) jest górną połową kuli o środku w \( \displaystyle \displaystyle (0,0,0) \) i promieniu \( \displaystyle R. \)
Kula opisana jest nierównością \( \displaystyle x^2+y^2+z^2\leq R^2, \) w takim razie \( \displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \) zmienia się w przedziale \( \displaystyle \displaystyle [0,R]. \) Górną połowę kuli zadaje nierówność \( \displaystyle z>0, \) zatem musi być \( \displaystyle r\cos\beta>0, \) czyli \( \displaystyle \displaystyle\cos\beta>0, \) a zatem \( \displaystyle \displaystyle\beta\in (0,\frac{\pi}{2}). \) Na \( \displaystyle \displaystyle\alpha \) nie mamy żadnych dodatkowych warunków, więc \( \displaystyle \displaystyle\alpha\in[0,2\pi]. \) Zatem \( \displaystyle B=[0,R]\times [0,2\pi]\times(0,\frac{\pi}{2}). \) Tak więc
\( \displaystyle \begin{align*} \iiint\limits_D z^2 dxdydz & =\iiint\limits_{B} r^3 \sin\beta \cos\beta d\alpha d\beta dr = \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha \displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} d\beta \displaystyle\int\limits_0^R r^3 \sin\beta \cos\beta dr \\ & = \frac{R^4}{4} \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha \displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\beta \cos\beta d\beta \ =\ \frac{R^4}{4} \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\left(\frac{1}{2}\sin^2\beta\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}}\right) d\alpha \ =\ \frac{R^4}{4}\pi. \end{align*} \)