Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych [rozdział nadobowiązkowy]

Jeśli $\displaystyle f$ jest funkcją między dwiema przestrzeniami metrycznymi (np z $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2$ do $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3$), to ponieważ możemy mierzyć odległości w tych przestrzeniach, więc możemy także mówić o granicy i ciągłości funkcji. Podobnie jak dla funkcji rzeczywistych, podamy dwie równoważne definicje granicy i ciągłości funkcji w punkcie.

Definicja 2.29. [Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d_X)$ oraz $\displaystyle \displaystyle (Y,d_Y)$ będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, niech $\displaystyle A\subseteq X,\displaystyle g\in Y,$ niech $\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y$ będzie funkcją oraz niech $\displaystyle x_0\in X$ będzie punktem skupienia zbioru $\displaystyle A.$
Mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ ma granicę $\displaystyle g$ w punkcie $\displaystyle x_0\in X,$ jeśli

$\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A\cap\big(K(x_0,\delta)\setminus\{x_0\}\big):\ \ f(x)\in K(g,\varepsilon)$

lub innymi słowy

$\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[d_X(x_0,x) < \delta \ \Longrightarrow\ d_Y\big(f(x),g\big) < \varepsilon\bigg].$

Piszemy wówczas

$\displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x) \ =\ g \quad$ lub $\displaystyle \quad f(x)\xrightarrow [x \to x_0]{} g.$

wykresy

Granica funkcji w punkcie

Definicja 2.30. [Heinego granicy funkcji w punkcie]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d_X)$ oraz $\displaystyle \displaystyle (Y,d_Y)$ będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, $\displaystyle A\subseteq X,\displaystyle g\in Y,$ niech $\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y$ będzie funkcją oraz niech $\displaystyle x_0\in X$ będzie punktem skupienia zbioru $\displaystyle A.$
Mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ ma granicę $\displaystyle g$ w punkcie $\displaystyle x_0\in X,$ jeśli

$\displaystyle \forall \{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[x_n\stackrel{d_X}{\longrightarrow}x_0 \ \Longrightarrow\ f(x_n)\stackrel{d_Y}{\longrightarrow}g\bigg].$

Piszemy wówczas

$\displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x) \ =\ g \quad$ lub $\displaystyle \quad f(x)\xrightarrow[x \to x_0]{} g.$

wykresy

Funkcja ciągła w punkcie

Funkcja ciągła w punkcie

Tak samo jak dla funkcji rzeczywistych, funkcje między przestrzeniami metrycznymi są ciągłe, gdy mają granicę równą wartości.

Definicja 2.31. [Cauchy'ego ciągłości funkcji w punkcie]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d_X)$ oraz $\displaystyle \displaystyle (Y,d_Y)$ będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, $\displaystyle A\subseteq X,$ niech $\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y$ będzie funkcją oraz niech $\displaystyle x_0\in A$ ($\displaystyle x_0$ nie musi być punktem skupienia zbioru $\displaystyle A$).
Mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ jest ciągła w punkcie $\displaystyle x_0\in X,$ jeśli

$\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A:\ \ \bigg[d_X(x,x_0) < \delta \ \Longrightarrow\ d_Y\big(f(x),f(x_0)\big) < \varepsilon\bigg].$

Definicja 2.32. [Heinego ciągłości funkcji w punkcie]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d_X)$ oraz $\displaystyle \displaystyle (Y,d_Y)$ będą dwiema przestrzeniami metrycznymi $\displaystyle A\subseteq X,$

niech $\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y$ będzie funkcją oraz niech $\displaystyle x_0\in A$ ($\displaystyle x_0$ nie musi być punktem skupienia zbioru $\displaystyle A$).

Mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ jest ciągła w punkcie $\displaystyle x_0\in X,$ jeśli

$\displaystyle \forall \{x_n\}\subseteq A:\ \ \bigg[x_n\stackrel{d_X}{\longrightarrow}x_0 \ \Longrightarrow\ f(x_n)\stackrel{d_Y}{\longrightarrow}f(x_0)\bigg].$

Mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie $\displaystyle x\in A.$

Udowodnimy teraz twierdzenie, które podaje warunek równoważny ciągłości funkcji między przestrzeniami metrycznymi. Zauważmy, że warunek na ciągłość, podany w twierdzeniu, wymaga jedynie pojęcia zbiorów otwartych.

Twierdzenie 2.33.

Jeśli $\displaystyle X$ i $\displaystyle Y$ są przestrzeniami metrycznymi, to funkcja $\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru otwartego $\displaystyle V$ w $\displaystyle Y,$ przeciwobraz $\displaystyle f^{-1}(V)$ jest otwarty w $\displaystyle X.$

Dowód 2.33.

"$\displaystyle \displaystyle\Longrightarrow$":

Niech $\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y$ będzie funkcją ciągłą. Niech $\displaystyle V$ będzie zbiorem otwartym w $\displaystyle Y.$ Należy pokazać, że zbiór $\displaystyle f^{-1}(V)$ jest otwarty w $\displaystyle X.$ W tym celu ustalmy dowolny punkt $\displaystyle x\in f^{-1}(V)$. Mamy wykazać, że jest on zawarty w $\displaystyle f^{-1}(V)$ wraz z pewną kulą o środku $\displaystyle x.$ Ponieważ zbiór $\displaystyle V$ jest otwarty oraz $\displaystyle f(x)\in V$ więc

$\displaystyle \exists \varepsilon>0:\ K_{Y}(f(x),\varepsilon)\subseteq V.$

Z drugiej strony, ponieważ funkcja $\displaystyle f$ jest ciągła w punkcie $\displaystyle x\in V,$ więc

$\displaystyle \exists \delta>0\ \forall z\in X:\ \big[ d_X(z,x) < \delta \Longrightarrow d_Y(f(z),f(x)) < \varepsilon\big].$

Zatem, jeśli $\displaystyle z\in K(x,\delta),$ to $\displaystyle z\in f^{-1}(V),$ czyli $\displaystyle K(x,\delta)\subseteq f^{-1}(V),$ co dowodzi otwartości zbioru $\displaystyle f^{-1}(V).$

"$\displaystyle \displaystyle\Longleftarrow$":

Załóżmy teraz, że dla dowolnego zbioru otwartego $\displaystyle V$ w $\displaystyle Y,$ zbiór $\displaystyle f^{-1}(V)$ jest otwarty w $\displaystyle X.$ Ustalmy dowolny $\displaystyle x\in X.$ Pokażemy, że funkcja $\displaystyle f$ jest ciągła w punkcie $\displaystyle x.$ W tym celu ustalmy dowolne $\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0$ i zdefiniujmy

$\displaystyle V=\{y\in Y:\ d_Y(y,f(x)) < \varepsilon\}.$

Wówczas zbiór $\displaystyle V$ jest otwarty w $\displaystyle Y$ (gdyż jest to kula; patrz twierdzenie 1.10. (1)), a zatem z założenia także zbiór $\displaystyle f^{-1}(V)$ jest otwarty w $\displaystyle X.$ A zatem, z otwartości $\displaystyle f^{-1}(V)$ wynika, że

$\displaystyle \exists \delta>0:\ K(x,\delta)\subseteq f^{-1}(V),$ co oznacza, że

$\displaystyle \exists \delta>0: \big[z\in K_X(x,\delta) \ \Longrightarrow\ z\in f^{-1}(V)\big].$

Ale jeśli $\displaystyle z\in f^{-1}(V),$ to $\displaystyle f(z)\in V.$ Zatem

$\displaystyle \exists \delta>0:\ \bigg[ z\in K(x,\delta) \ \Longrightarrow\ f(z)\in V\bigg],$

czyli z definicji $\displaystyle V$ także

$\displaystyle \exists \delta>0:\ \bigg[ d_X(z,x) < \delta \ \Longrightarrow\ d_Y(f(z),f(x)) < \varepsilon\bigg].$

Pokazaliśmy, że $\displaystyle f$ jest ciągła w punkcie $\displaystyle x.$

Przykład 2.34.

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d_d)$ będzie przestrzenią metryczną dyskretną oraz $\displaystyle \displaystyle (Y,d)$ dowolną przestrzenią metryczną. Wówczas dowolna funkcja $\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y$ jest ciągła. Faktycznie, przeciwobraz dowolnego zbioru $\displaystyle V\subseteq Y$ (także otwartego) jest zbiorem otwartym w $\displaystyle X$ (bo w przestrzeni metrycznej dyskretnej wszystkie zbiory są otwarte; patrz przykład 1.8.).

Twierdzenie 2.35. [Darboux]

Jeśli $\displaystyle X$ i $\displaystyle Y$ są przestrzeniami metrycznymi, $\displaystyle A$ jest zbiorem spójnym w $\displaystyle X$ oraz $\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y$ jest funkcją ciągłą,

to $\displaystyle f(A)$ jest zbiorem spójnym w $\displaystyle Y.$

wykres

Dowód 2.35.

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że $\displaystyle f(A)$ nie jest zbiorem spójnym. Zatem istnieją dwa otwarte i rozłączne zbiory $\displaystyle U$ i $\displaystyle V$ mające niepuste przecięcie z $\displaystyle f(A)$ i takie, że $\displaystyle f(A)\subseteq U\cup V.$ Ponieważ $\displaystyle f$ jest funkcją ciągłą, więc zbiory $\displaystyle f^{-1}(U)$ i $\displaystyle f^{-1}(V)$ są otwarte w $\displaystyle X$ (patrz twierdzenie 2.33.), są one oczywiście niepuste, rozłączne, a ich sumą jest $\displaystyle A.$ Ale jest to sprzeczne ze spójnością zbioru $\displaystyle A.$