Ciągłość jednostajna [rozdział nadobowiązkowy]

Materiał tego rozdziału jest nadobowiązkowy, ale na twierdzenie 2.39. powołamy się w przyszłości, przy dowodzie twierdzenia Fubiniego.

Na zakończenie wykładu wprowadzimy jeszcze jeden ważny rodzaj ciągłości, a mianowicie ciągłość jednostajną.

Definicja 2.36. [Ciągłość jednostajna]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d_X),\displaystyle \displaystyle (Y,d_Y)$ będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech $\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y$ będzie funkcją.

Mówimy, że $\displaystyle f$ jest jednostajnie ciągła, jeśli

$\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x_1,x_2\in X\ \ \bigg[ d_X(x_1,x_2) < \delta \ \ \Longrightarrow\ \ d_Y\big(f(x_1),f(x_2)\big) < \varepsilon \bigg].$

Zauważmy, że ta definicja różni się od definicji ciągłości tylko kolejnością kwantyfikatorów. W definicji ciągłości $\displaystyle \displaystyle\delta$ dobrane do $\displaystyle \displaystyle\varepsilon$ może się zmieniać w zależności od punktu $\displaystyle x_0$, w którym badamy ciągłość. W definicji jednostajnej ciągłości $\displaystyle \displaystyle\delta$ dobrane do $\displaystyle \displaystyle\varepsilon$ jest już "dobre" dla wszystkich $\displaystyle x_0$ z dziedziny funkcji.

Nic dziwnego, że zachodzi następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.37.

Jeśli $\displaystyle \displaystyle (X,d_X),\displaystyle \displaystyle (Y,d_Y)$ są przestrzeniami metrycznymi, $\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y$ jest funkcją, to jeśli funkcja $\displaystyle f$ jest jednostajnie ciągła, to jest także ciągła.

wykres

Funkcja ciągła, która nie jest jednostajnie ciągła

Przykład 2.38.

Implikacja odwrotna do implikacji w powyższym twierdzeniu nie jest prawdziwa.

Np. funkcja $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}_+\ni x\longmapsto x^2\in\mathbb{R}$ jest ciągła, ale nie jednostajnie ciągła.

Sprawdzimy, że faktycznie funkcja $\displaystyle f(x)=x^2$ nie jest jednostajnie ciągła. Dla dowolnych dwóch punktów $\displaystyle x_1, x_2\in\mathbb{R}_+$ mamy $\displaystyle d_2(f(x_1),f(x_2))= |x_1^2-x_2|^2=|x_1-x_2|(x_1+x_2).$ Zatem, jeśli weźmiemy ustalone $\displaystyle \displaystyle\delta>0$ (dla jakiegoś $\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0$), to dla $\displaystyle x_2=x_1+\frac{\delta}{2}$ odległość $\displaystyle d_2(f(x_1),f(x_2))=\frac{\delta}{2}(x_1+x_2),$ co rośnie do nieskończoności, gdy zwiększamy $\displaystyle x_1.$ A zatem nie możemy dobrać $\displaystyle \displaystyle\delta$ niezależnego od wyboru punktu $\displaystyle x_1.$

Czasami jednak implikacja odwrotna do tej w twierdzeniu 2.37. zachodzi. Mówi o tym kolejne twierdzenie.

Twierdzenie 2.39.

Jeśli $\displaystyle \displaystyle (X,d_X),\displaystyle \displaystyle (Y,d_Y)$ są przestrzeniami metrycznymi, $\displaystyle A$ jest zbiorem zwartym w $\displaystyle X$ oraz $\displaystyle f\colon A\longrightarrow Y$ jest funkcją, to $\displaystyle f$ jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle f$ jest ciągła.

Wnioskiem z tego twierdzenia jest fakt, że jeśli mamy funkcję ciągłą na zbiorze zwartym (na przykład na przedziale domkniętym lub na iloczynie kartezjańskim przedziałów domkniętych), to dla danego $\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0$ możemy dobrać $\displaystyle \displaystyle\delta>0,$ które jest "dobre" dla wszystkich $\displaystyle x_0$ z naszego zbioru zwartego, czyli mamy

$\displaystyle d_X(x_0,x) \ < \ \delta \Longrightarrow d_Y(f(x_0), f(x)) \ < \ \varepsilon,$

niezależnie od tego, jakie $\displaystyle x_0\in X$ weźmiemy.