Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Definicja 2.20

Niech \( \displaystyle a>0 \) będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą. Funkcję \( \displaystyle x\mapsto a^x \) określoną na zbiorze liczb rzeczywistych nazywamy funkcją wykładniczą o podstawie \( \displaystyle a \).

Uwaga 2.21.

• Jeśli \( \displaystyle a>0,\ a\neq 1 \), funkcja wykładnicza \( \displaystyle x\mapsto a^x \) jest bijekcją zbioru \( \displaystyle \mathbb{R} \) na przedział \( \displaystyle (0, \infty) \). Nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny.
• Jeśli \( \displaystyle a>1 \), funkcja \( \displaystyle x\mapsto a^x \) jest ściśle rosnąca, jeśli zaś \( \displaystyle 0 < a < 1 \), jest ściśle malejąca.

• Jeśli \( \displaystyle a=1 \), funkcja \( \displaystyle x\mapsto a^x \) jest stała.

wykresy

Definicja 2.22.

Niech \( \displaystyle a\in (0,1)\cup (1, \infty) \) będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią, różną od jedności. Funkcję odwrotną do funkcji \( \displaystyle x\mapsto a^x \) nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie \( \displaystyle a \) i oznaczamy \( \displaystyle x\mapsto \log_{a} x \).

Na ogół pomija się indeks \( \displaystyle a \) w oznaczeniu logarytmu liczby \( \displaystyle x \) i pisze się krótko \( \displaystyle \log x \). Zwróćmy jednak uwagę na fakt, że w zależności od dziedziny nauki czy techniki, symbol ten może oznaczać logarytmy o różnych podstawach. I tak informatycy na ogół posługują się tym symbolem, mając na myśli logarytm o podstawie 2, tzn. \( \displaystyle \log x=\log_2 x \). Z kolei w naukach technicznych symbol \( \displaystyle \log x=\log_{10}x \) oznacza przeważnie logarytm dziesiętny. Natomiast matematycy posługują się najczęściej logarytmem o podstawie \( \displaystyle e=2,71828182846... \) (do definicji i własności tej ważnej stałej powrócimy w następnych modułach). Stąd często w pracach matematycznych symbol \( \displaystyle \log x=\log_{e}x \) oznacza właśnie logarytm o podstawie \( \displaystyle e \). My jednak, aby uniknąć nieporozumień, logarytm o podstawie \( \displaystyle e \) będziemy oznaczać osobnym symbolem \( \displaystyle \ln x \).

Definicja 2.23.

Symbolem \( \displaystyle \exp x \) będziemy oznaczać potęgę \( \displaystyle e^x \).

wykres

Definicja 2.24.

Logarytmem naturalnym z liczby dodatniej \( \displaystyle x \) nazywamy liczbę \( \displaystyle \ln x=\log_{e}x \).

Uwaga 2.25.

• Jeśli \( \displaystyle a>0, \ a\neq 1 \), funkcja logarytmiczna \( \displaystyle x\mapsto \log_{a}x \) jest bijekcją przedziału \( \displaystyle (0, \infty) \) na zbiór \( \displaystyle \mathbb{R} \).
• Jeśli \( \displaystyle a>1 \), funkcja \( \displaystyle x\mapsto \log_{a}x \) jest ściśle rosnąca, jeśli zaś \( \displaystyle 0 < a < 1 \), jest ściśle malejąca.

• Jedynym miejscem zerowym funkcji logarytmicznej \( \displaystyle x\mapsto\log_{a}x \) jest punkt \( \displaystyle x=1 \).

• Jeśli \( \displaystyle a>1 \), to logarytm \( \displaystyle \log_a x \) jest dodatni w przedziale \( \displaystyle (1, \infty) \) i jest ujemny w przedziale \( \displaystyle (0,1) \). Jeśli zaś \( \displaystyle 0 < a < 1 \), to logarytm \( \displaystyle \log_a x \) jest ujemny w przedziale \( \displaystyle (1, \infty) \) i jest dodatni w przedziale \( \displaystyle (0,1) \).

Przypomnijmy jeszcze parę tożsamości, z których często będziemy korzystać.

Uwaga 2.26.

• Dla \( \displaystyle a>0 \), \( \displaystyle x, y\in\mathbb{R} \) zachodzą równości

\( \displaystyle (a^x)^y=a^{xy} \) oraz \( a^x a^y=a^{x+y}. \)

• Dla dodatnich liczb \( \displaystyle a,b,c \), \( \displaystyle a\neq 1 \), \( \displaystyle c\neq 1 \) prawdziwy jest wzór na zmianę podstawy logarytmu

\( \displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}, \)

w szczególności, gdy \( \displaystyle c=e \), mamy równość

\( \displaystyle \log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}. \)

• Dla dowolnej liczby \( \displaystyle b\in \mathbb{R} \) i dodatnich \( \displaystyle a>0 \), \( \displaystyle c>0 \) zachodzi równość

\( \displaystyle a^b=c^{b\log_{c} a}, \)

która w szczególnym przypadku, gdy \( \displaystyle c=e \), ma postać

\( \displaystyle a^b=\exp(b \ln a). \)