Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Definicja 2.20

Niech $\displaystyle a>0$ będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą. Funkcję $\displaystyle x\mapsto a^x$ określoną na zbiorze liczb rzeczywistych nazywamy funkcją wykładniczą o podstawie $\displaystyle a$.

Uwaga 2.21.

• Jeśli $\displaystyle a>0,\ a\neq 1$, funkcja wykładnicza $\displaystyle x\mapsto a^x$ jest bijekcją zbioru $\displaystyle \mathbb{R}$ na przedział $\displaystyle (0, \infty)$. Nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny.
• Jeśli $\displaystyle a>1$, funkcja $\displaystyle x\mapsto a^x$ jest ściśle rosnąca, jeśli zaś $\displaystyle 0 < a < 1$, jest ściśle malejąca.

• Jeśli $\displaystyle a=1$, funkcja $\displaystyle x\mapsto a^x$ jest stała.

wykresy

Definicja 2.22.

Niech $\displaystyle a\in (0,1)\cup (1, \infty)$ będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią, różną od jedności. Funkcję odwrotną do funkcji $\displaystyle x\mapsto a^x$ nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie $\displaystyle a$ i oznaczamy $\displaystyle x\mapsto \log_{a} x$.

Na ogół pomija się indeks $\displaystyle a$ w oznaczeniu logarytmu liczby $\displaystyle x$ i pisze się krótko $\displaystyle \log x$. Zwróćmy jednak uwagę na fakt, że w zależności od dziedziny nauki czy techniki, symbol ten może oznaczać logarytmy o różnych podstawach. I tak informatycy na ogół posługują się tym symbolem, mając na myśli logarytm o podstawie 2, tzn. $\displaystyle \log x=\log_2 x$. Z kolei w naukach technicznych symbol $\displaystyle \log x=\log_{10}x$ oznacza przeważnie logarytm dziesiętny. Natomiast matematycy posługują się najczęściej logarytmem o podstawie $\displaystyle e=2,71828182846...$ (do definicji i własności tej ważnej stałej powrócimy w następnych modułach). Stąd często w pracach matematycznych symbol $\displaystyle \log x=\log_{e}x$ oznacza właśnie logarytm o podstawie $\displaystyle e$. My jednak, aby uniknąć nieporozumień, logarytm o podstawie $\displaystyle e$ będziemy oznaczać osobnym symbolem $\displaystyle \ln x$.

Definicja 2.23.

Symbolem $\displaystyle \exp x$ będziemy oznaczać potęgę $\displaystyle e^x$.

wykres

Definicja 2.24.

Logarytmem naturalnym z liczby dodatniej $\displaystyle x$ nazywamy liczbę $\displaystyle \ln x=\log_{e}x$.

Uwaga 2.25.

• Jeśli $\displaystyle a>0, \ a\neq 1$, funkcja logarytmiczna $\displaystyle x\mapsto \log_{a}x$ jest bijekcją przedziału $\displaystyle (0, \infty)$ na zbiór $\displaystyle \mathbb{R}$.
• Jeśli $\displaystyle a>1$, funkcja $\displaystyle x\mapsto \log_{a}x$ jest ściśle rosnąca, jeśli zaś $\displaystyle 0 < a < 1$, jest ściśle malejąca.

• Jedynym miejscem zerowym funkcji logarytmicznej $\displaystyle x\mapsto\log_{a}x$ jest punkt $\displaystyle x=1$.

• Jeśli $\displaystyle a>1$, to logarytm $\displaystyle \log_a x$ jest dodatni w przedziale $\displaystyle (1, \infty)$ i jest ujemny w przedziale $\displaystyle (0,1)$. Jeśli zaś $\displaystyle 0 < a < 1$, to logarytm $\displaystyle \log_a x$ jest ujemny w przedziale $\displaystyle (1, \infty)$ i jest dodatni w przedziale $\displaystyle (0,1)$.

Przypomnijmy jeszcze parę tożsamości, z których często będziemy korzystać.

Uwaga 2.26.

• Dla $\displaystyle a>0$, $\displaystyle x, y\in\mathbb{R}$ zachodzą równości

$\displaystyle (a^x)^y=a^{xy}$ oraz $a^x a^y=a^{x+y}.$

• Dla dodatnich liczb $\displaystyle a,b,c$, $\displaystyle a\neq 1$, $\displaystyle c\neq 1$ prawdziwy jest wzór na zmianę podstawy logarytmu

$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a},$

w szczególności, gdy $\displaystyle c=e$, mamy równość

$\displaystyle \log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}.$

• Dla dowolnej liczby $\displaystyle b\in \mathbb{R}$ i dodatnich $\displaystyle a>0$, $\displaystyle c>0$ zachodzi równość

$\displaystyle a^b=c^{b\log_{c} a},$

która w szczególnym przypadku, gdy $\displaystyle c=e$, ma postać

$\displaystyle a^b=\exp(b \ln a).$