Większość pojęć i twierdzeń, którymi będziemy posługiwać się w tym module, poznaliśmy już przy okazji omawiania własności funkcji ciągłych w przestrzeniach metrycznych. Przypomnijmy parę z nich.

Niech $\displaystyle (X,d)$, $\displaystyle (Y,\rho)$ będą przestrzeniami metrycznymi. Będziemy zajmowali się badaniem funkcji

$\displaystyle f:X\mapsto Y.$

Większość praktycznych przykładów zastosowania teorii będzie dotyczyć funkcji określonych na zbiorze $\displaystyle \mathbb{R}^n$, $\displaystyle n=2,3,\dots$, z metryką $\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|$ zadaną przez pewną ustaloną normę $\displaystyle \|\cdot\|$ w $\displaystyle \mathbb{R}^n$, np.

$\displaystyle \begin{align*} \|x\|_p & =\big(|x_1|^p+|x_2|^p+\dots+|x_n|^p\big)^{\frac{1}{p}}, \text{ dla } 1\leq p < \infty \\ & \text{ w szczególności } \\ \|x\|_1 & =|x_1|+|x_2|+\dots+|x_n| \\ \|x\|_2 & =\sqrt{|x_1|^2 +|x_2|^2 +\dots+|x_n|^2} \\ & \text{ bądź też } \\ \|x\|_{\infty} & =\max\{|x_1|, \ |x_2|, \ \dots, \ |x_n| \}. \end{align*}$

Zbiorem wartości funkcji $\displaystyle f$ najczęściej będzie zbiór liczb rzeczywistych $\displaystyle \mathbb{R}$ z metryką zadaną przez wartość bezwzględną, tj. $\displaystyle \rho(a,b)=|a-b|$.

Definicja 6.1.

Mówimy, że $\displaystyle g\in Y$ jest granicą funkcji $\displaystyle f:X\mapsto Y$ w punkcie $\displaystyle x$ będącym punktem skupienia dziedziny funkcji $\displaystyle f$, jeśli

$\displaystyle \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 : \forall y: 0 < d(x,y) < \delta\Longrightarrow \rho(g,f(y)) < \epsilon.$

Definicja 6.2.

Mówimy, że funkcja $\displaystyle f:X\mapsto Y$ jest ciągła w punkcie x, jeśli

$\displaystyle \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 : \forall y: d(x,y) < \delta \Longrightarrow \rho(f(x),f(y)) < \epsilon.$

Pamiętamy również, że zachodzi następujące

Twierdzenie 6.3.

Niech $\displaystyle X, \ Y$ będą przestrzeniami metrycznymi i niech $\displaystyle f:X\mapsto Y$ będzie funkcją. Wówczas następujące warunki są równoważne:

1) funkcja $\displaystyle f$ jest ciągła w punkcie $\displaystyle a\in X$,

2) istnieje granica $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)$ i jest równa wartości funkcji $\displaystyle f(a)$.

Niech $\displaystyle X$, $\displaystyle Y$, $\displaystyle Z$ będą przestrzeniami metrycznymi.

Twierdzenie 6.4.

Złożenie $\displaystyle g\circ f: X\mapsto Z$ funkcji ciągłych $\displaystyle f:X\mapsto Y$ i $\displaystyle g: Y\mapsto Z$ jest funkcją ciągłą.

Twierdzenie 6.5.

Jeśli $\displaystyle f:X\mapsto \mathbb{R}$ oraz $\displaystyle g:X\mapsto \mathbb{R}$ są funkcjami ciągłymi, to suma $\displaystyle f+g$ oraz iloczyn $\displaystyle f\cdot g$ są funkcjami ciągłymi. Ponadto odwrotność $\displaystyle \displaystyle \frac{1}{g} :Z\ni x\mapsto \frac{1}{g(x)}\in\mathbb{R}$ oraz iloraz $\displaystyle \displaystyle \frac{f}{g}: Z\ni x\mapsto \frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb{R}$

są funkcjami ciągłymi na zbiorze $\displaystyle Z:=X\setminus\{x\in X: g(x)=0\}$. Przypomnijmy jeszcze następujące twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym.

Twierdzenie 6.6.

Jeśli $\displaystyle f:X\mapsto \mathbb{R}$ jest funkcją ciągłą określoną na przestrzeni zwartej $\displaystyle X$, to istnieją punkty $\displaystyle a, b\in X$, w których funkcja $\displaystyle f$ osiąga kresy: kres dolny $\displaystyle \inf\{f(x), x\in X\}=f(a)$ i kres górny $\displaystyle \sup\{f(x), x\in X\}=f(b)$.

Rozważmy przykład, który pokazuje, że zachowanie funkcji wielu zmiennych może wykraczać poza naszą intuicję ukształtowaną podczas badania funkcji jednej zmiennej.

Przykład 6.7.

Funkcja $\displaystyle \displaystyle f(x,y)=\frac{x y}{x^2 +y^2}$ określona jest we wszystkich punktach płaszczyzny $\displaystyle \mathbb{R}^2$ z wyjątkiem punktu $\displaystyle (0,0)$. Wyraźmy ją we współrzędnych biegunowych

$\displaystyle \Phi: (r,\varphi)\mapsto \left\{ \begin{align*} x(r,\varphi)=r\cos\varphi \\ y(r,\varphi)=r\sin\varphi \end{align*} \right.$

W punktach leżących poza początkiem układu współrzędnych, tj. gdy $\displaystyle r>0$, otrzymamy:

$\displaystyle (f\circ\Phi)(r, \varphi)=\frac{r^2\cos\varphi \sin\varphi }{r^2 (\cos^2 \varphi+\sin^2 \varphi)}=\frac{1}{2}\sin 2\varphi.$

Zauważmy, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział $\displaystyle [-\frac{1}{2},\frac{1}{2} ]$. Ponadto funkcja $\displaystyle (r, \varphi)\mapsto \frac{1}{2}\sin 2\varphi$ nie zależy od zmiennej $\displaystyle r$. Oznacza to, że zacieśnienie funkcji $\displaystyle f$ do którejkolwiek półprostej danej równaniem $\displaystyle \varphi=\varphi_0$ (tj. półprostej, która tworzy z dodatnią półosią osi rzędnych ustalony kąt $\displaystyle \varphi_0$) jest funkcją o stałej wartości $\displaystyle \frac{1}{2}\sin 2\varphi_0$, niezależnej od odległości $\displaystyle r$ punktu od początku układu współrzędnych. Każde z tych zacieśnień do prostej $\displaystyle \{\varphi=\varphi_0\}\cup \{\varphi=\varphi_0+\pi\}$ ma granicę przy $\displaystyle r\to 0$ równą $\displaystyle \frac{1}{2}\sin 2\varphi_0$. Jednak wartość ta zależy od wyboru kąta $\displaystyle \varphi_0$, stąd nie istnieje granica funkcji $\displaystyle (x,y)\mapsto f(x,y)$, gdy $\displaystyle (x,y)\to (0,0)$. Zauważmy, że gdy rozważymy osobno funkcje jednej zmiennej, ustalając drugą zmienną, tzn. $\displaystyle y$ lub odpowiednio $\displaystyle x$:

$\displaystyle \begin{align*} f_y & =f(\cdot , y): \mathbb{R} \ni x\mapsto \frac{xy}{x^2+y^2} \\ f_x & = (x , \cdot ): \mathbb{R} \ni y\mapsto \frac{xy}{x^2+y^2},\end{align*}$

to zarówno $\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to 0}f_y(x)=0$, jak też $\displaystyle \displaystyle \lim_{y\to 0}f_x(y) =0$, a więc w szczególności istnieją granice iterowane

$\displaystyle \begin{align*} \lim_{x\to 0}\big( \lim_{y\to 0} f(x,y) \big) =0, \\ \lim_{y\to 0} \big( \lim_{x\to 0} f(x,y)\big)=0 \end{align*}$

i są równe.

wykres a

Wykres funkcji $\displaystyle \displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{x^2 +y^2}$

Przykład pokazuje więc, że

Wniosek 6.8.

Z istnienia granic iterowanych

$\displaystyle \begin{align*} \lim_{x\to a}\big( \lim_{y\to b} f(x,y) \big) \\ \lim_{y\to b} \big( \lim_{x\to a} f(x,y)\big)\end{align*}$

i równości tych granic nie wynika istnienie granicy funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (a,b)$.

Prawdziwa natomiast jest implikacja:

Uwaga 6.9.

Jeśli funkcja $\displaystyle f: \mathbb{R}\times \mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$ ma granicę w punkcie $\displaystyle (a,b)$, to istnieją obie granice iterowane

$\displaystyle \begin{align*} \lim_{x\to a}\big( \lim_{y\to b} f(x,y) \big) \\ \lim_{y\to b} \big( \lim_{x\to a} f(x,y)\big)\end{align*}$

i są równe granicy funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (a,b)$.

Uwaga ta stanowi warunek konieczny istnienia granicy $\displaystyle \displaystyle\lim_{(x,y)\to (a, b)}f(x,y)$. Jeśli bowiem nie istnieje któraś z granic iterowanych, bądź nie są one równe, to funkcja $\displaystyle f$ nie ma granicy w punkcie $\displaystyle (a,b)$. Podkreślmy jeszcze raz fakt, że istnienie i równość obu granic iterowanych nie gwarantuje istnienia granicy funkcji.