Jeszcze jedno twierdzenie bardzo nam się przyda do liczenia całek wielowymiarowych. Jest to uogólnienie na więcej wymiarów znanego już z teorii całki jednej zmiennej twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie. W przypadku wielowymiarowym nosi ono nazwę twierdzenia o zmianie zmiennych.
Załóżmy, że mamy zbiory J-mierzalne \( \displaystyle B \) i \( \displaystyle D \) w \( \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^n \) oraz odwzorowanie \( \displaystyle \displaystyle\varphi : B\to D, \) które jest \( \displaystyle {\cal C^1} \)-dyfeomorfizmem (to znaczy, że \( \displaystyle \displaystyle\varphi \) jest bijekcją klasy \( \displaystyle {\cal C^1} \) i odwzorowanie odwrotne do \( \displaystyle \displaystyle\varphi \) też jest tej klasy). Dla odwzorowania \( \displaystyle \displaystyle\varphi(x)=(\varphi_1(x_1,\ldots,x_n),\ldots,\varphi_n(x_1,\ldots,x_n)) \) możemy wypisać macierz Jacobiego, czyli macierz pochodnych cząstkowych (w punkcie \( \displaystyle x\in B \)):
Jac \( \displaystyle _x\varphi \ =\ \left[ \begin{array} {ccc}\displaystyle \frac{\partial \varphi_1}{\partial x_1}(x) & \ldots & \displaystyle \frac{\partial\varphi_1}{\partial x_n}(x) \\ \vdots & \ldots & \vdots \\ \displaystyle \frac{\partial \varphi_n}{\partial x_1}(x) & \ldots & \displaystyle \frac{\partial\varphi_n}{\partial x_n}(x) \end{array} \right]. \)
Wyznacznik tej macierzy (w punkcie \( \displaystyle x\in B \)) nazywamy jakobianem \( \displaystyle \displaystyle\varphi \) w punkcie \( \displaystyle x \). Gdy \( \displaystyle \displaystyle\varphi \) jest dyfeomorfizmem, to \( \displaystyle \det \) Jac \( \displaystyle _x\varphi\ne 0 \).
Współrzędne w zbiorze \( \displaystyle D \) oznaczmy przez \( \displaystyle y=(y_1,\ldots,y_n). \)
Twierdzenie o zmianie zmiennych brzmi następująco.
Twierdzenie 11.9. [Twierdzenie o zmianie zmiennych]
Przy oznaczeniach i założeniach jak wyżej, niech \( \displaystyle f:D\to \mathbb{R} \) będzie funkcją ciągłą. Wtedy
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_Df(y)dy_1\ldots dy_n \ =\ \displaystyle\int\limits_Bf(\varphi(x))|\det \) Jac \( \displaystyle _x\varphi|dx_1\ldots dx_n. \)
Uwaga 11.10.
Zauważmy, że dla \( \displaystyle n=1 \) dostajemy znane twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie:
\( \displaystyle \displaystyle\int\limits_Df(y)dy \ =\ \displaystyle\int\limits_Bf(\varphi(x))\varphi'(x)dx. \)
Dowód twierdzenia 11.9. pomijamy. Przedstawimy natomiast kilka użytecznych przykładów.
Uwaga 11.11.
W powyższym twierdzeniu nie trzeba zakładać, że odwzorowanie \( \displaystyle \displaystyle\varphi \) jest dyfeomorfizmem na całym zbiorze \( \displaystyle B, \) wystarczy założyć, że istnieje podzbiór \( \displaystyle B_0\subset B \) taki, że \( \displaystyle m(B_0)=0 \) oraz \( \displaystyle \displaystyle\varphi: B\setminus B_0\to D \) jest dyfeomorfizmem.