Informatyka MIMUW

Jeszcze jedno twierdzenie bardzo nam się przyda do liczenia całek wielowymiarowych. Jest to uogólnienie na więcej wymiarów znanego już z teorii całki jednej zmiennej twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie. W przypadku wielowymiarowym nosi ono nazwę twierdzenia o zmianie zmiennych.

Załóżmy, że mamy zbiory J-mierzalne $\displaystyle B$ i $\displaystyle D$ w $\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^n$ oraz odwzorowanie $\displaystyle \displaystyle\varphi : B\to D,$ które jest $\displaystyle {\cal C^1}$-dyfeomorfizmem (to znaczy, że $\displaystyle \displaystyle\varphi$ jest bijekcją klasy $\displaystyle {\cal C^1}$ i odwzorowanie odwrotne do $\displaystyle \displaystyle\varphi$ też jest tej klasy). Dla odwzorowania $\displaystyle \displaystyle\varphi(x)=(\varphi_1(x_1,\ldots,x_n),\ldots,\varphi_n(x_1,\ldots,x_n))$ możemy wypisać macierz Jacobiego, czyli macierz pochodnych cząstkowych (w punkcie $\displaystyle x\in B$):

Jac $\displaystyle _x\varphi \ =\ \left[ \begin{array} {ccc}\displaystyle \frac{\partial \varphi_1}{\partial x_1}(x) & \ldots & \displaystyle \frac{\partial\varphi_1}{\partial x_n}(x) \\ \vdots & \ldots & \vdots \\ \displaystyle \frac{\partial \varphi_n}{\partial x_1}(x) & \ldots & \displaystyle \frac{\partial\varphi_n}{\partial x_n}(x) \end{array} \right].$

Wyznacznik tej macierzy (w punkcie $\displaystyle x\in B$) nazywamy jakobianem $\displaystyle \displaystyle\varphi$ w punkcie $\displaystyle x$. Gdy $\displaystyle \displaystyle\varphi$ jest dyfeomorfizmem, to $\displaystyle \det$ Jac $\displaystyle _x\varphi\ne 0$.

Współrzędne w zbiorze $\displaystyle D$ oznaczmy przez $\displaystyle y=(y_1,\ldots,y_n).$

Twierdzenie o zmianie zmiennych brzmi następująco.

Twierdzenie 11.9. [Twierdzenie o zmianie zmiennych]

Przy oznaczeniach i założeniach jak wyżej, niech $\displaystyle f:D\to \mathbb{R}$ będzie funkcją ciągłą. Wtedy

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_Df(y)dy_1\ldots dy_n \ =\ \displaystyle\int\limits_Bf(\varphi(x))|\det$ Jac $\displaystyle _x\varphi|dx_1\ldots dx_n.$

Uwaga 11.10.

Zauważmy, że dla $\displaystyle n=1$ dostajemy znane twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie:

$\displaystyle \displaystyle\int\limits_Df(y)dy \ =\ \displaystyle\int\limits_Bf(\varphi(x))\varphi'(x)dx.$

Dowód twierdzenia 11.9. pomijamy. Przedstawimy natomiast kilka użytecznych przykładów.

Uwaga 11.11.

W powyższym twierdzeniu nie trzeba zakładać, że odwzorowanie $\displaystyle \displaystyle\varphi$ jest dyfeomorfizmem na całym zbiorze $\displaystyle B,$ wystarczy założyć, że istnieje podzbiór $\displaystyle B_0\subset B$ taki, że $\displaystyle m(B_0)=0$ oraz $\displaystyle \displaystyle\varphi: B\setminus B_0\to D$ jest dyfeomorfizmem.