wykres

Współrzędne biegunowe

Niech zbiorem $\displaystyle D$ będzie $\displaystyle \mathbb{R}^2\setminus \{(x,0) :x\geq 0\}.$ Określamy odwzorowanie $\displaystyle T$ prowadzące ze zbioru $\displaystyle B:=(0,+\infty)\times (0,2\pi)$ następująco:

$\displaystyle T (r,\alpha):=(r\cos\alpha,r\sin\alpha),$

gdzie $\displaystyle T(r,\alpha)$ najczęściej zapisujemy jako

$\displaystyle x\ =\ r\cos\alpha,\qquad y\ =\ r\sin\alpha.$

Tak więc $\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2},$ a zatem $\displaystyle r\geq 0$ jest odległością punktu $\displaystyle \displaystyle (x,y)$ od początku układu współrzędnych. Kąt $\displaystyle \displaystyle\alpha$ jest kątem, jaki tworzy wektor o początku w $\displaystyle \displaystyle (0,0)$ i końcu w $\displaystyle \displaystyle (x,y)$ z dodatnią częścią osi $\displaystyle Ox.$

Licząc jakobian tej zmiany zmiennych dostajemy $\displaystyle \det$ Jac $\displaystyle _{(r,\alpha)}T=r$ (trzeba policzyć pochodne cząstkowe $\displaystyle x$ i $\displaystyle y$ po $\displaystyle r$ i $\displaystyle \displaystyle\alpha,$ a następnie wyznacznik macierzy Jacobiego). Tak więc tu jakobian jest zawsze dodatni.
Tę zmianę zmiennych stosujemy najczęściej, gdy obszarem całkowania (zbiorem $\displaystyle D$) jest koło, pierścień lub ich wycinek. Jak wtedy wygląda zbiór $\displaystyle B$ obrazują przykłady poniżej.

W dalszych rozważaniach najczęściej nie będziemy rozróżniać pomiędzy $\displaystyle D$ i $\displaystyle D\setminus D_0,$ (lub $\displaystyle B$ i $\displaystyle B\setminus B_0,$) gdzie $\displaystyle m(D_0)=0$ ($\displaystyle m(B_0)=0$) i, choć nie jest to w pełni poprawne, będziemy pisać o zmianie zmiennych z $\displaystyle B$ do $\displaystyle D,$ a nie z $\displaystyle B\setminus B_0$ do $\displaystyle D\setminus D_0,$ ignorując fakt, że zmiana zmiennych może nie być dyfeomorfizmem na jakimś zbiorze miary zero.

Przykład 11.12.

Policzyć całkę

$\displaystyle \iint\limits_Dx^2+y^2 dxdy,$

gdzie $\displaystyle D$ jest kołem o promieniu $\displaystyle R$ i środku w punkcie $\displaystyle \displaystyle (0,0),$ zatem $\displaystyle D=\{(x,y):x^2+y^2\leq R^2\}.$

Skoro $\displaystyle x^2+y^2\leq R^2$ to promień $\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}$ zmienia się w przedziale $\displaystyle \displaystyle [0,r],$ a kąt $\displaystyle \displaystyle\alpha$ zmienia się w całym zakresie $\displaystyle \displaystyle [0,2\pi].$

Tak więc $\displaystyle B=[0,R]\times[0,2\pi],$ czyli mamy

$\displaystyle \iint\limits_Dx^2+y^2 dxdy=\iint\limits_B(r^2)rdrd\alpha \ =\ \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^R r^3 dr \ =\ \displaystyle\int\limits_0^{2 \pi} \frac{R^4}{4} d\alpha=2\pi R^4,$

gdzie pierwsza równość zachodzi na podstawie twierdzenia o zmianie

zmiennych, a druga na podstawie twierdzenia Fubiniego.

Przykład 11.13.

Policzyć całkę

$\displaystyle \iint\limits_Dx dxdy,$

gdzie $\displaystyle D$ jest ćwiartką koła o promieniu $\displaystyle R$ i środku w punkcie $\displaystyle \displaystyle (0,0),$ leżącą w drugiej ćwiartce płaszczyzny.

Stosujemy taką samą zmianę zmiennych. Tym razem $\displaystyle r$ zmienia się także od $\displaystyle 0$ do $\displaystyle R,$ natomiast $\displaystyle \displaystyle\alpha\ $ zmienia się od $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ do $\displaystyle\pi$. Tak więc $\displaystyle B=[0,R]\times \bigg[\frac{\pi}{2}, \pi\bigg]:$

$\begin{array}{lll} \displaystyle \iint\limits_Dx dxdy \ & = & \displaystyle \iint\limits_Br^2\cos\alpha drd\alpha=\displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^R r^2\cos\alpha dr \\ \ & = & \ \displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{R^3}{3}\cos\alpha d\alpha =\displaystyle \frac{R^3}{3}(-\sin\alpha)\bigg|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \ =\ \frac{R^3}{3}.\end{array}$

wykres