Współrzędne biegunowe
Niech zbiorem \( \displaystyle D \) będzie \( \displaystyle \mathbb{R}^2\setminus \{(x,0) :x\geq 0\}. \) Określamy odwzorowanie \( \displaystyle T \) prowadzące ze zbioru \( \displaystyle B:=(0,+\infty)\times (0,2\pi) \) następująco:
\( \displaystyle T (r,\alpha):=(r\cos\alpha,r\sin\alpha), \)
gdzie \( \displaystyle T(r,\alpha) \) najczęściej zapisujemy jako
\( \displaystyle x\ =\ r\cos\alpha,\qquad y\ =\ r\sin\alpha. \)
Tak więc \( \displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}, \) a zatem \( \displaystyle r\geq 0 \) jest odległością punktu \( \displaystyle \displaystyle (x,y) \) od początku układu współrzędnych. Kąt \( \displaystyle \displaystyle\alpha \) jest kątem, jaki tworzy wektor o początku w \( \displaystyle \displaystyle (0,0) \) i końcu w \( \displaystyle \displaystyle (x,y) \) z dodatnią częścią osi \( \displaystyle Ox. \)
Licząc jakobian tej zmiany zmiennych dostajemy \( \displaystyle \det \) Jac \( \displaystyle _{(r,\alpha)}T=r \) (trzeba policzyć pochodne cząstkowe \( \displaystyle x \) i \( \displaystyle y \) po \( \displaystyle r \) i \( \displaystyle \displaystyle\alpha, \) a następnie wyznacznik macierzy Jacobiego). Tak więc tu jakobian jest zawsze dodatni.
Tę zmianę zmiennych stosujemy najczęściej, gdy obszarem całkowania (zbiorem \( \displaystyle D \)) jest koło, pierścień lub ich wycinek. Jak wtedy wygląda zbiór \( \displaystyle B \) obrazują przykłady poniżej.
W dalszych rozważaniach najczęściej nie będziemy rozróżniać pomiędzy \( \displaystyle D \) i \( \displaystyle D\setminus D_0, \) (lub \( \displaystyle B \) i \( \displaystyle B\setminus B_0, \)) gdzie \( \displaystyle m(D_0)=0 \) (\( \displaystyle m(B_0)=0 \)) i, choć nie jest to w pełni poprawne, będziemy pisać o zmianie zmiennych z \( \displaystyle B \) do \( \displaystyle D, \) a nie z \( \displaystyle B\setminus B_0 \) do \( \displaystyle D\setminus D_0, \) ignorując fakt, że zmiana zmiennych może nie być dyfeomorfizmem na jakimś zbiorze miary zero.
Przykład 11.12.
Policzyć całkę
\( \displaystyle \iint\limits_Dx^2+y^2 dxdy, \)
gdzie \( \displaystyle D \) jest kołem o promieniu \( \displaystyle R \) i środku w punkcie \( \displaystyle \displaystyle (0,0), \) zatem \( \displaystyle D=\{(x,y):x^2+y^2\leq R^2\}. \)
Skoro \( \displaystyle x^2+y^2\leq R^2 \) to promień \( \displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2} \) zmienia się w przedziale \( \displaystyle \displaystyle [0,r], \) a kąt \( \displaystyle \displaystyle\alpha \) zmienia się w całym zakresie \( \displaystyle \displaystyle [0,2\pi]. \)
Tak więc \( \displaystyle B=[0,R]\times[0,2\pi], \) czyli mamy
\( \displaystyle \iint\limits_Dx^2+y^2 dxdy=\iint\limits_B(r^2)rdrd\alpha \ =\ \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^R r^3 dr \ =\ \displaystyle\int\limits_0^{2 \pi} \frac{R^4}{4} d\alpha=2\pi R^4, \)
gdzie pierwsza równość zachodzi na podstawie twierdzenia o zmianie
zmiennych, a druga na podstawie twierdzenia Fubiniego.
Przykład 11.13.
Policzyć całkę
\( \displaystyle \iint\limits_Dx dxdy, \)
gdzie \( \displaystyle D \) jest ćwiartką koła o promieniu \( \displaystyle R \) i środku w punkcie \( \displaystyle \displaystyle (0,0), \) leżącą w drugiej ćwiartce płaszczyzny.
Stosujemy taką samą zmianę zmiennych. Tym razem \( \displaystyle r \) zmienia się także od \( \displaystyle 0 \) do \( \displaystyle R, \) natomiast \( \displaystyle \displaystyle\alpha\ \) zmienia się od \( \displaystyle\frac{\pi}{2} \) do \( \displaystyle\pi \). Tak więc \( \displaystyle B=[0,R]\times \bigg[\frac{\pi}{2}, \pi\bigg]: \)
\( \begin{array}{lll} \displaystyle \iint\limits_Dx dxdy \ & = & \displaystyle \iint\limits_Br^2\cos\alpha drd\alpha=\displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^R r^2\cos\alpha dr \\ \ & = & \ \displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{R^3}{3}\cos\alpha d\alpha =\displaystyle \frac{R^3}{3}(-\sin\alpha)\bigg|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \ =\ \frac{R^3}{3}.\end{array} \)