Informatyka MIMUW

Definicja 14.6.

Funkcja $\displaystyle f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ jest funkcją jednorodną stopnia $\displaystyle m$ (gdzie $\displaystyle m\in \mathbb{N}$), jeśli dla każdego $\displaystyle \displaystyle\lambda\in\mathbb{R}$ i wszystkich $\displaystyle \displaystyle (t,x)$ z dziedziny funkcji, $\displaystyle \displaystyle (\lambda t,\lambda x)$ też należy do dziedziny $\displaystyle f$ oraz zachodzi

$\displaystyle f(\lambda t,\lambda x)=\lambda^mf(t,x).$

Przykład 14.7.

(1) Funkcja $\displaystyle f(t,x)=x^2+xt+t^2$ jest funkcją jednorodną stopnia $\displaystyle 2.$

(2) Funkcja $\displaystyle \displaystyle f(t,x)=\frac{x}{t}$ jest funkcją jednorodną stopnia $\displaystyle 0.$

(3) Funkcja $\displaystyle f(t,x)=x+t^3$ nie jest funkcją jednorodną.

Definicja 14.8.

Równanie różniczkowe

$\displaystyle F(t,x)dt+G(t,x)dx=0,$

gdzie $\displaystyle F$ i $\displaystyle G$ są funkcjami jednorodnymi tego samego stopnia $\displaystyle m$, nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym (rrj).

Uwaga 14.9.

Równanie różniczkowe jednorodne możemy zawsze sprowadzić do postaci (rrj'):

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=f(\frac{x}{t}), \quad [G(t,x)=0?].$

Faktycznie, dzieląc (rrj) przez $\displaystyle G(t,x)$, a następnie dzieląc licznik i mianownik $\displaystyle \displaystyle{\frac{F(t,x)}{G(t,x)}}$ przez $\displaystyle t^m$, dostajemy postać (rrj').

Równanie (rrj') rozwiązujemy, podstawiając

$\displaystyle x=zt.$

Mamy zatem $\displaystyle dx=tdz +zdt,\displaystyle \displaystyle\frac{x}{t}=z,$ a więc podstawiając do (rrj'), dostajemy równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

$\displaystyle tdz+(z-f(z))dt=0.$

To równanie rozwiązujemy znaną już metodą i dostajemy:

$\displaystyle \int\frac{dz}{z-f(z)}=\int\frac{dt}{t} +C, \quad [z-f(z)=0?].$

Przykład 14.10.

Rozwiązać równanie

$\displaystyle tdx-(t+x)dt=0.$

To jest równanie jednorodne. (Funkcje są jednorodne stopnia $\displaystyle 1$). Dzielimy stronami przez $\displaystyle t$ i dostajemy:

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=1+\frac{x}{t}.$

Podstawiając $\displaystyle x=zt$, otrzymujemy równanie:

$\displaystyle tdz=dt,$

zatem

$\displaystyle dz=\frac{dt}{t}.$

Rozwiązaniem tego równania jest

$\displaystyle z=\ln|t|+C,$

gdzie $\displaystyle C$ jest dowolną stałą. Skoro $\displaystyle x=zt$, to

$\displaystyle x=t\ln|t|+Ct.$