Równanie różniczkowe jednorodne

Definicja 14.6.

Funkcja \( \displaystyle f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} \) jest funkcją jednorodną stopnia \( \displaystyle m \) (gdzie \( \displaystyle m\in \mathbb{N} \)), jeśli dla każdego \( \displaystyle \displaystyle\lambda\in\mathbb{R} \) i wszystkich \( \displaystyle \displaystyle (t,x) \) z dziedziny funkcji, \( \displaystyle \displaystyle (\lambda t,\lambda x) \) też należy do dziedziny \( \displaystyle f \) oraz zachodzi

\( \displaystyle f(\lambda t,\lambda x)=\lambda^mf(t,x). \)

Przykład 14.7.

(1) Funkcja \( \displaystyle f(t,x)=x^2+xt+t^2 \) jest funkcją jednorodną stopnia \( \displaystyle 2. \)

(2) Funkcja \( \displaystyle \displaystyle f(t,x)=\frac{x}{t} \) jest funkcją jednorodną stopnia \( \displaystyle 0. \)

(3) Funkcja \( \displaystyle f(t,x)=x+t^3 \) nie jest funkcją jednorodną.

Definicja 14.8.

Równanie różniczkowe

\( \displaystyle F(t,x)dt+G(t,x)dx=0, \)

gdzie \( \displaystyle F \) i \( \displaystyle G \) są funkcjami jednorodnymi tego samego stopnia \( \displaystyle m \), nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym (rrj).

Uwaga 14.9.

Równanie różniczkowe jednorodne możemy zawsze sprowadzić do postaci (rrj'):

\( \displaystyle \frac{dx}{dt}=f(\frac{x}{t}), \quad [G(t,x)=0?]. \)

Faktycznie, dzieląc (rrj) przez \( \displaystyle G(t,x) \), a następnie dzieląc licznik i mianownik \( \displaystyle \displaystyle{\frac{F(t,x)}{G(t,x)}} \) przez \( \displaystyle t^m \), dostajemy postać (rrj').

Równanie (rrj') rozwiązujemy, podstawiając

\( \displaystyle x=zt. \)

Mamy zatem \( \displaystyle dx=tdz +zdt,\displaystyle \displaystyle\frac{x}{t}=z, \) a więc podstawiając do (rrj'), dostajemy równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

\( \displaystyle tdz+(z-f(z))dt=0. \)

To równanie rozwiązujemy znaną już metodą i dostajemy:

\( \displaystyle \int\frac{dz}{z-f(z)}=\int\frac{dt}{t} +C, \quad [z-f(z)=0?]. \)

Przykład 14.10.

Rozwiązać równanie

\( \displaystyle tdx-(t+x)dt=0. \)

To jest równanie jednorodne. (Funkcje są jednorodne stopnia \( \displaystyle 1 \)). Dzielimy stronami przez \( \displaystyle t \) i dostajemy:

\( \displaystyle \frac{dx}{dt}=1+\frac{x}{t}. \)

Podstawiając \( \displaystyle x=zt \), otrzymujemy równanie:

\( \displaystyle tdz=dt, \)

zatem

\( \displaystyle dz=\frac{dt}{t}. \)

Rozwiązaniem tego równania jest

\( \displaystyle z=\ln|t|+C, \)

gdzie \( \displaystyle C \) jest dowolną stałą. Skoro \( \displaystyle x=zt \), to

\( \displaystyle x=t\ln|t|+Ct. \)