Ten wykład prezentuje metody rozwiązywania wybranych typów równań różniczkowych. Pokazujemy, jak otrzymać rozwiązanie ogólne dla równań rzędu pierwszego: równania o zmiennych rozdzielonych, równania jednorodnego, równania liniowego, równania Bernoullego i równania różniczkowego zupełnego. Z równań wyższych rzędów zajmujemy się tylko równaniem liniowym (jednorodnym i niejednorodnym) o stałych współczynnikach.
Uwaga 14.1.
Przez rozwiązanie równania rozumiemy w tym wykładzie zarówno podanie rozwiązania w postaci jawnej, to znaczy podanie wzoru na szukaną funkcję \( \displaystyle x(t), \) jak też podanie rozwiązania w postaci uwikłanej, czyli \( \displaystyle F(x,t)=C, \) gdzie \( \displaystyle C \) jest stałą dowolną. Aby zapewnić istnienie i jednoznaczność rozwiązań, zakładamy, że wszystkie występujące w naszym wykładzie funkcje są klasy \( \displaystyle {\cal C}^1 \) w pewnym przedziale \( \displaystyle \displaystyle [a,b]\subset \mathbb{R} \), względnie w kostce \( \displaystyle \displaystyle [a,b]\times[c,d]\subset \mathbb{R}^2. \) Na wykładzie pokazujemy tylko, jak dostać rozwiązanie ogólne równania, przykłady rozwiązań problemów Cauchy'ego zostawiamy na ćwiczenia.