Definicja 14.11.
Równanie różniczkowe
\( \displaystyle \dot{x}(t)+p(t)x=q(t) \)
nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego (rrl-1).
Jeśli funkcja \( \displaystyle q(t)\equiv 0 \), to równanie
\( \displaystyle \dot{x}(t)+p(t)x=0 \)
nazywamy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu pierwszego (rrlj-1).
Jeśli funkcja \( \displaystyle q(t) \) nie jest tożsamościowo równa zero, to równanie
\( \displaystyle \dot{x}(t)+p(t)x=q(t) \)
nazywamy równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym rzędu pierwszego (rrlnj-1).
Najpierw pokażemy, jak znaleźć rozwiązania równania różniczkowego liniowego jednorodnego (rrlj-1)
\( \displaystyle \dot{x}(t)+p(t)x=0. \)
Widać, że jest to równanie o zmiennych rozdzielonych,
\( \displaystyle \frac{dx}{dt}=-p(t)x, \)
czyli
\( \displaystyle \frac{dx}{x}=-p(t)dt, \quad [x=0?]. \)
Całkując, dostajemy:
\( \displaystyle x(t)=\displaystyle Ce^{- \int p(t)dt}, \)
gdzie \( \displaystyle C \) jest stałą dowolną. (Uwzględniliśmy już, że \( \displaystyle x(t)\equiv 0 \) jest rozwiązaniem naszego równania (rrlj-1)).
Przypuśćmy teraz, że mamy rozwiązać równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego, niejednorodne,
\( \displaystyle \dot{x}(t)+p(t)x=q(t). \)
Zachodzi następujące stwierdzenie (dowód pomijamy).
Stwierdzenie 14.12.
Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego niejednorodnego rzędu pierwszego jest sumą rozwiązania ogólnego odpowiadającego równania różniczkowego jednorodnego i szczególnego rozwiązania równania (rrlnj-1).
A zatem rozwiązujemy równanie (rrlnj-1), znajdując najpierw rozwiązanie odpowiadającego mu równania różniczkowego liniowego jednorodnego,
\( \displaystyle \dot{x}(t)+p(t)x=0, \)
czyli funkcję
\( \displaystyle x_o(t)=\displaystyle Ce^{-\int p(t)dt}. \)
Następnie musimy znaleźć rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego. Zgodnie ze
stwierdzeniem 14.12, wystarczy znaleźć szczególne rozwiązanie (rrlnj-1). Może nam się udać takie rozwiązanie szczególne zgadnąć (patrz przykład 14.15.) i wtedy wystarczy je dodać do rozwiązania ogólnego równania jednorodnego. Istnieją także metody szukania rozwiązań szczególnych, tu poznamy jedną z nich. Jest to tak zwana metoda uzmienniania stałej. Aby zastosować tę metodę, załóżmy, że rozwiązanie ogólne (rrlnj-1) można zapisać w postaci
\( \displaystyle x(t)=\displaystyle C(t)e^{-\int p(t)dt}, \)
gdzie \( \displaystyle C(t) \) jest pewną funkcją klasy \( \displaystyle {\cal C}^1, \) którą musimy znaleźć. By wyznaczyć \( \displaystyle C(t) \), podstawmy nasze \( \displaystyle x(t)=\displaystyle C(t)e^{-\int p(t)dt} \) do równania \( \displaystyle \displaystyle\dot{x}(t)+p(t)x=q(t). \) Dostaniemy:
\( \displaystyle \dot{x}(t)+p(t)x=\displaystyle \dot{C}(t)e^{-\int p(t)dt}-C(t)p(t)e^{-\int p(t)dt}+p(t)C(t)e^{-\int p(t)dt}=q(t), \)
czyli po uproszczeniu
\( \displaystyle \dot{C}(t) \displaystyle e^{-\int p(t)dt}=q(t). \)
Stąd
\( \displaystyle \dot{C}(t)=\displaystyle e^{\int p(t)dt}q(t), \)
czyli
\( \displaystyle C(t)=\displaystyle \int e^{\int p(t)dt}q(t)dt +C, \)
gdzie, jak wcześniej, \( \displaystyle \int e^{\int p(t)dt}q(t)dt \) oznacza dowolną pierwotną z funkcji podcałkowej, a \( \displaystyle C \) jest stałą.
Podstawiając otrzymane \( \displaystyle C(t) \) do wzoru na rozwiązanie, dostajemy:
\( \displaystyle x(t)=\displaystyle e^{-\int p(t)dt}( \int e^{\int p(t)dt}q(t)dt +C), \)
czyli, zapisując zgodnie ze stwierdzeniem 14.12, dostajemy następujące stwierdzenie.
Stwierdzenie 14.13.
\( \displaystyle x(t)= \displaystyle Ce^{-\int p(t)dt}+e^{-\int p(t)dt}( \int e^{\int p(t)dt}q(t)dt ) \)
jest rozwiązaniem ogólnym (rrlnj-1).
Łatwo sprawdzić, że \( \displaystyle e^{-\int p(t)dt}\displaystyle( \int e^{\int p(t)dt}q(t)dt ) \) jest szczególnym rozwiązaniem (rrlnj-1).
Przykład 14.14.
Rozwiązać równanie liniowe niejednorodne:
\( \displaystyle \dot{x}+2x=e^{3t}. \)
Zgodnie z wyżej wprowadzonymi oznaczeniami mamy tu \( \displaystyle p(t)=2 \) oraz \( \displaystyle q(t)=e^{3t}. \) Rozwiązując równanie jednorodne, dostajemy
\( \displaystyle x_o(t)=\displaystyle Ce^{-\int2dt}=Ce^{-2t}. \)
Stosując metodę uzmienniania stałej (lub od razu wstawiając do wzoru na rozwiązanie ogólne), mamy:
\( \displaystyle x(t)=\displaystyle e^{-2t}( C+ \int e^{3t}e^{\int 2dt} dt )= e^{-2t}( C+ \frac{1}{5}e^{5t} )=Ce^{-2t}+\frac{1}{5}e^{3t} \)
jest rozwiązaniem ogólnym naszego równania niejednorodnego.
Przykład 14.15.
Znaleźć rozwiązanie równania
\( \displaystyle \dot{x}-x=e^{2t}. \)
Równanie jednorodne
\( \displaystyle \dot{x}-x=0 \)
ma rozwiązanie ogólne \( \displaystyle x_o(t)=Ce^t. \) Rozwiązanie szczególne naszego równania niejednorodnego łatwo zgadnąć, otóż jest to \( \displaystyle x(t)=e^{2t}. \) Tak więc rozwiązanie ogólne równania \( \displaystyle \displaystyle\dot{x}-x=e^{2t} \), to zgodnie ze stwierdzeniem 14.12
\( \displaystyle x(t)=Ce^t+e^{2t}. \)