Informatyka MIMUW

Definicja 14.11.

Równanie różniczkowe

$\displaystyle \dot{x}(t)+p(t)x=q(t)$

nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego (rrl-1).

Jeśli funkcja $\displaystyle q(t)\equiv 0$, to równanie

$\displaystyle \dot{x}(t)+p(t)x=0$

nazywamy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu pierwszego (rrlj-1).

Jeśli funkcja $\displaystyle q(t)$ nie jest tożsamościowo równa zero, to równanie

$\displaystyle \dot{x}(t)+p(t)x=q(t)$

nazywamy równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym rzędu pierwszego (rrlnj-1).

Najpierw pokażemy, jak znaleźć rozwiązania równania różniczkowego liniowego jednorodnego (rrlj-1)

$\displaystyle \dot{x}(t)+p(t)x=0.$

Widać, że jest to równanie o zmiennych rozdzielonych,

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=-p(t)x,$

czyli

$\displaystyle \frac{dx}{x}=-p(t)dt, \quad [x=0?].$

Całkując, dostajemy:

$\displaystyle x(t)=\displaystyle Ce^{- \int p(t)dt},$

gdzie $\displaystyle C$ jest stałą dowolną. (Uwzględniliśmy już, że $\displaystyle x(t)\equiv 0$ jest rozwiązaniem naszego równania (rrlj-1)).

Przypuśćmy teraz, że mamy rozwiązać równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego, niejednorodne,

$\displaystyle \dot{x}(t)+p(t)x=q(t).$

Zachodzi następujące stwierdzenie (dowód pomijamy).

Stwierdzenie 14.12.

Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego niejednorodnego rzędu pierwszego jest sumą rozwiązania ogólnego odpowiadającego równania różniczkowego jednorodnego i szczególnego rozwiązania równania (rrlnj-1).

A zatem rozwiązujemy równanie (rrlnj-1), znajdując najpierw rozwiązanie odpowiadającego mu równania różniczkowego liniowego jednorodnego,

$\displaystyle \dot{x}(t)+p(t)x=0,$

czyli funkcję

$\displaystyle x_o(t)=\displaystyle Ce^{-\int p(t)dt}.$

Następnie musimy znaleźć rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego. Zgodnie ze
stwierdzeniem 14.12, wystarczy znaleźć szczególne rozwiązanie (rrlnj-1). Może nam się udać takie rozwiązanie szczególne zgadnąć (patrz przykład 14.15.) i wtedy wystarczy je dodać do rozwiązania ogólnego równania jednorodnego. Istnieją także metody szukania rozwiązań szczególnych, tu poznamy jedną z nich. Jest to tak zwana metoda uzmienniania stałej. Aby zastosować tę metodę, załóżmy, że rozwiązanie ogólne (rrlnj-1) można zapisać w postaci

$\displaystyle x(t)=\displaystyle C(t)e^{-\int p(t)dt},$

gdzie $\displaystyle C(t)$ jest pewną funkcją klasy $\displaystyle {\cal C}^1,$ którą musimy znaleźć. By wyznaczyć $\displaystyle C(t)$, podstawmy nasze $\displaystyle x(t)=\displaystyle C(t)e^{-\int p(t)dt}$ do równania $\displaystyle \displaystyle\dot{x}(t)+p(t)x=q(t).$ Dostaniemy:

$\displaystyle \dot{x}(t)+p(t)x=\displaystyle \dot{C}(t)e^{-\int p(t)dt}-C(t)p(t)e^{-\int p(t)dt}+p(t)C(t)e^{-\int p(t)dt}=q(t),$

czyli po uproszczeniu

$\displaystyle \dot{C}(t) \displaystyle e^{-\int p(t)dt}=q(t).$

Stąd

$\displaystyle \dot{C}(t)=\displaystyle e^{\int p(t)dt}q(t),$

czyli

$\displaystyle C(t)=\displaystyle \int e^{\int p(t)dt}q(t)dt +C,$

gdzie, jak wcześniej, $\displaystyle \int e^{\int p(t)dt}q(t)dt$ oznacza dowolną pierwotną z funkcji podcałkowej, a $\displaystyle C$ jest stałą.

Podstawiając otrzymane $\displaystyle C(t)$ do wzoru na rozwiązanie, dostajemy:

$\displaystyle x(t)=\displaystyle e^{-\int p(t)dt}( \int e^{\int p(t)dt}q(t)dt +C),$

czyli, zapisując zgodnie ze stwierdzeniem 14.12, dostajemy następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie 14.13.

$\displaystyle x(t)= \displaystyle Ce^{-\int p(t)dt}+e^{-\int p(t)dt}( \int e^{\int p(t)dt}q(t)dt )$

jest rozwiązaniem ogólnym (rrlnj-1).

Łatwo sprawdzić, że $\displaystyle e^{-\int p(t)dt}\displaystyle( \int e^{\int p(t)dt}q(t)dt )$ jest szczególnym rozwiązaniem (rrlnj-1).

Przykład 14.14.

Rozwiązać równanie liniowe niejednorodne:

$\displaystyle \dot{x}+2x=e^{3t}.$

Zgodnie z wyżej wprowadzonymi oznaczeniami mamy tu $\displaystyle p(t)=2$ oraz $\displaystyle q(t)=e^{3t}.$ Rozwiązując równanie jednorodne, dostajemy

$\displaystyle x_o(t)=\displaystyle Ce^{-\int2dt}=Ce^{-2t}.$

Stosując metodę uzmienniania stałej (lub od razu wstawiając do wzoru na rozwiązanie ogólne), mamy:

$\displaystyle x(t)=\displaystyle e^{-2t}( C+ \int e^{3t}e^{\int 2dt} dt )= e^{-2t}( C+ \frac{1}{5}e^{5t} )=Ce^{-2t}+\frac{1}{5}e^{3t}$

jest rozwiązaniem ogólnym naszego równania niejednorodnego.

Przykład 14.15.

Znaleźć rozwiązanie równania

$\displaystyle \dot{x}-x=e^{2t}.$

Równanie jednorodne

$\displaystyle \dot{x}-x=0$

ma rozwiązanie ogólne $\displaystyle x_o(t)=Ce^t.$ Rozwiązanie szczególne naszego równania niejednorodnego łatwo zgadnąć, otóż jest to $\displaystyle x(t)=e^{2t}.$ Tak więc rozwiązanie ogólne równania $\displaystyle \displaystyle\dot{x}-x=e^{2t}$, to zgodnie ze stwierdzeniem 14.12

$\displaystyle x(t)=Ce^t+e^{2t}.$