Informatyka MIMUW

Wszystkie rozpatrywane do tej pory równania były równaniami różniczkowymi rzędu pierwszego. Zajmiemy się teraz pewnym szczególnym przypadkiem równań wyższego rzędu, czyli równaniami liniowymi rzędu $\displaystyle n$ o stałych współczynnikach, dla których to równań możemy opisać metodę prowadzącą do znalezienia rozwiązań. Należy bowiem zdawać sobie sprawę, że nie ma metod umożliwiających dokładne rozwiązanie dowolnego równania różniczkowego. W praktyce często zadowalamy się rozwiązaniami przybliżonymi. Szukaniem rozwiązań przybliżonych zajmuje się dział matematyki zwany metodami numerycznymi.

Definicja 14.20.

Równanie różniczkowe

$\displaystyle x^{(n)}+a_1x^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}x'+a_{n}x=0,$

gdzie $\displaystyle a_1,\ldots,a_n$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi nazywamy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym, rzędu $\displaystyle n$ o stałych współczynnikach (rrlj-n).

Równanie różniczkowe

$\displaystyle x^{(n)}+a_1x^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}x'+a_{n}x=f(t),$

gdzie $\displaystyle a_1,\ldots,a_n$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, a funkcja $\displaystyle f$ nie jest tożsamościowo równa zero, nazywamy równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym, rzędu $\displaystyle n$ o stałych współczynnikach (rrlnj-n).

Aby znaleźć rozwiązanie równania liniowego jednorodnego (rrlj-n), oprzemy się na poniższym stwierdzeniu (podamy go bez dowodu).

Stwierdzenie 14.21.

Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego jednorodnego rzędu $\displaystyle n$ o stałych współczynnikach jest kombinacja liniową

$\displaystyle x=C_1x_1+\ldots+C_nx_n$

$\displaystyle n$ rozwiązań szczególnych tego równania ze stałymi dowolnymi $\displaystyle C_1,\ldots,C_n.$

Musimy zatem mieć $\displaystyle n$ liniowo niezależnych rozwiązań równania (rrlj-n), gdzie przez liniową niezależność funkcji rozumiemy fakt, że żadna z tych funkcji nie jest równa kombinacji liniowej pozostałych. Aby znaleźć te rozwiązania, przypuśćmy, że funkcja

$\displaystyle x(t)=e^{\lambda t}$

jest szczególnym rozwiązaniem naszego równania. Wstawiając tę funkcję do równania, dostajemy:

$\displaystyle \lambda^n e^{\lambda t}+a_1\lambda^{n-1}e^{\lambda t}+a_2\lambda^{n-2}e^{\lambda t}+\ldots+a_{n-1}\lambda e^{\lambda t}=0,$

czyli

$\displaystyle \lambda^n +a_1\lambda^{n-1}+a_2\lambda^{n-2}+\ldots+a_{n-1}\lambda=0.$

Definicja 14.22.

Równanie

$\displaystyle \lambda^n +a_1\lambda^{n-1}+a_2\lambda^{n-2}+\ldots+a_{n-1}\lambda=0.$ nazywamy równaniem charakterystycznym dla równania (rrlj-n).

Aby znaleźć rozwiązania szczególne $\displaystyle x_1,\ldots,x_n$ równania różniczkowego (rrlj-n), musimy najpierw rozwiązać równanie charakterystyczne dla tego równania. Rozwiązując, należy znaleźć wszystkie $\displaystyle n$ pierwiastków tego równania $\displaystyle \displaystyle\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ (mogą być zespolone!). To jak wyglądają rozwiązania $\displaystyle x_1,\ldots,x_n$, zależy od postaci $\displaystyle \displaystyle\lambda_1,\ldots,\lambda_n,$ czyli od tego czy są rzeczywiste, czy zespolone, czy pojedyncze, czy wielokrotne.

Przypadek I. Wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego są różne.

Przypadek I.A. $\displaystyle \displaystyle\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ są liczbami rzeczywistymi. Wówczas mamy rozwiązanie szczególne

$\displaystyle x_1(t)=e^{\lambda_1t},\ldots,x_n(t)=e^{\lambda_nt}$

i rozwiązanie ogólne naszego (rrlj-n) ma postać

$\displaystyle x(t)=C_1e^{\lambda_1t}+\ldots+C_ne^{\lambda_nt}.$

Przypadek I.B. Wśród $\displaystyle \displaystyle\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ są liczby zespolone. Przyjmijmy, że $\displaystyle \displaystyle\lambda_1=a+ib, b\neq 0.$ Zauważmy, że skoro $\displaystyle a+ib$ jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to jest nim także $\displaystyle a-ib$ (bo $\displaystyle a_1,\ldots,a_n$ są rzeczywiste; dla naszego równania pierwiastków zespolonych jest zatem zawsze parzysta ilość). Niech $\displaystyle \displaystyle\lambda_2=a-ib.$ Wówczas dostajemy dwa liniowo niezależne rozwiązania szczególne postaci

$\displaystyle x_1(t)=e^{at}\cos bt, \ x_2(t)=e^{at}\sin bt.$

Niech zatem $\displaystyle \displaystyle\lambda_1=a_1+ib_1,\ldots,\lambda_{2s}=a_{s}-ib_{s}$ będą pierwiastkami zespolonymi, a $\displaystyle \displaystyle\lambda_{2s+1},\ldots,\lambda_n$ rzeczywistymi (może nie być żadnego). Wtedy rozwiązanie ogólne naszego (rrlj-n) ma postać

$\displaystyle \begin{align*} x(t) & = e^{a_1t}(C_1\cos b_1t+C_2\sin b_1t)+e^{a_2t}(C_3\cos b_2t+C_4\sin b_2t)+\ldots \\ & +e^{a_1{2s}t}(C_{2s-1}\cos b_{s}t+C_{2s}\sin b_st)+ +C_{2s+1}e^{\lambda_{2s+1}t}+\ldots+C_ne^{\lambda_nt}. \end{align*}$

Przypadek II. Wśród pierwiastków równania charakterystycznego są pierwiastki wielokrotne.

Przypadek II.A Niech pierwiastek $\displaystyle \displaystyle\lambda_1$ będzie $\displaystyle k$-krotnym rzeczywistym pierwiastkiem równania charakterystycznego. Odpowiada mu wtedy $\displaystyle k$ liniowo niezależnych rozwiązań szczególnych:

$\displaystyle x_1(t)=e^{\lambda_1t},\ x_2(t)=te^{\lambda_1t},\ldots,x_k(t)=t^{k-1}e^{\lambda_1t}.$

Przypadek II.B Niech pierwiastek $\displaystyle \displaystyle\lambda_1=a+ib$ będzie $\displaystyle k$-krotnym pierwiastkiem zespolonym równania charakterystycznego. Wtedy $\displaystyle a-ib=\lambda_2$ także jest $\displaystyle k$-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego i odpowiada im $\displaystyle 2k$ liniowo niezależnych rozwiązań szczególnych:

$\displaystyle \begin{array}{lll} x_1(t) & = & \displaystyle e^{at}\cos bt,\ x_2(t)=e^{at}\sin bt, \ x_3(t)=te^{at}\cos bt,\ x_4(t)=te^{at}\sin bt,\ldots, \\ x_{2k-1}(t) & = & \displaystyle t^{k-1}e^{at}\cos bt,\ x_{2k}(t)=t^{k-1}e^{at}\sin bt. \end{array}$

Zauważmy, że za każdym razem dostajemy w sumie $\displaystyle n$ rozwiązań $\displaystyle x_1,\ldots,x_n$ - bo suma ilości wszystkich pierwiastków równania stopnia $\displaystyle n,$ liczonych wraz z krotnościami wynosi $\displaystyle n.$ Rozwiązanie ogólne (rrlj-n) znajdujemy zatem, biorąc kombinację liniową

$\displaystyle x=C_1x_1+\ldots+C_nx_n.$

Przykład 14.23.

Rozwiązać równanie:

$\displaystyle x^{(2)}-5x'+6x=0$

Wypisujemy równanie charakterystyczne:

$\displaystyle \lambda^2-5\lambda+6=0.$

Równanie to ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

$\displaystyle \lambda_1=2,\ \lambda_2=3.$

Rozwiązania szczególne to

$\displaystyle x_1(t)=e^{2t},\ x_2(t)=e^{3t},$

zatem rozwiązanie ogólne to

$\displaystyle x(t)=C_1e^{2t}+C_2e^{3t}.$

Przykład 14.24.

Rozwiązać równanie:

$\displaystyle x^{(2)}-4x'+4x=0$

Wypisujemy równanie charakterystyczne:

$\displaystyle \lambda^2-4\lambda+4=0.$

Równanie to ma jeden pierwiastek podwójny ($\displaystyle k=2$)

$\displaystyle \lambda_1=\lambda_2=2.$

Zatem rozwiązania szczególne to

$\displaystyle x_1(t)=e^{2t},\ x_2(t)=te^{2t},$

a rozwiązanie ogólne to

$\displaystyle x(t)=C_1e^{2t}+C_2te^{2t}.$

Przykład 14.25.

Rozwiązać równanie:

$\displaystyle x^{(2)}+x=0$

Wypisujemy równanie charakterystyczne:

$\displaystyle \lambda^2+\lambda=0.$

Równanie to ma (dwa sprzężone) pierwiastki zespolone

$\displaystyle \lambda_1=i, \ \lambda_2=-i,$ tak więc tu $\displaystyle a=0, \ b=1.$

Zatem rozwiązania szczególne to

$\displaystyle x_1(t)=\cos t,\ x_2(t)=\sin t,$

a rozwiązanie ogólne to

$\displaystyle x(t)=C_1\cos t+C_2\sin t.$

Powiemy teraz, jak znaleźć rozwiązania niektórych równań różniczkowych liniowych niejednorodnych rzędu $\displaystyle n,$ (rrlnj-m). Ograniczymy się do tych sytuacji, kiedy można zastosować tak zwaną metodę przewidywań.

Bez dowodu podamy następujące stwierdzenie:

Stwierdzenie 14.26.

Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego niejednorodnego rzędu $\displaystyle n$ o stałych współczynnikach:

$\displaystyle x^{(n)}+a_1x^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}x'+a_{n}x=f(t)$

jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego

$\displaystyle x^{(n)}+a_1x^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}x'+a_{n}x=0$

i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego.

To właśnie do znalezienia tego szczególnego rozwiązania będziemy stosować metodę przewidywań. Okazuje się, że dla pewnych funkcji $\displaystyle f(t)$ można przewidzieć postać rozwiązania szczególnego.

Przypadek 1. Funkcja

$\displaystyle f(t)=e^{at}P(t),$

gdzie $\displaystyle P(t)$ jest wielomianem zmiennej $\displaystyle t$ oraz liczba $\displaystyle a$ nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego.

Wtedy rozwiązanie szczególne jest postaci

$\displaystyle x_1(t)=Q(t)e^{at},$

gdzie $\displaystyle Q$ (którego współczynniki musimy wyznaczyć) jest wielomianem tego samego stopnia co $\displaystyle P.$

Przypadek 2. Funkcja

$\displaystyle f(t)=e^{at}P(t),$

gdzie $\displaystyle P(t)$ jest wielomianem zmiennej $\displaystyle t$ oraz liczba $\displaystyle a$ jest pierwiastkiem $\displaystyle k$-krotnym równania charakterystycznego.

Wtedy rozwiązanie szczególne jest postaci

$\displaystyle x_1(t)=t^kQ(t)e^{at},$

gdzie $\displaystyle Q$ jest wielomianem tego samego stopnia co $\displaystyle P.$

Przypadek 3. Funkcja

$\displaystyle f(t)=e^{at}(P_1(t)\cos t+P_2(t)\sin t),$

gdzie $\displaystyle P_1(t)$ i $\displaystyle P_2(t)$ są wielomianami zmiennej $\displaystyle t$ oraz liczba $\displaystyle a+ib$ nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego.

Wtedy rozwiązanie szczególne jest postaci

$\displaystyle x_1(t)=e^{at}(Q_1(t)\cos t+Q_2(t)\sin t),$

gdzie $\displaystyle Q_1$ i $\displaystyle Q_2$ są wielomianami stopnia równego $\displaystyle \displaystyle\max\{\deg P_1, \deg P_2\}.$

Przypadek 4. Funkcja

$\displaystyle f(t)=e^{at}(P_1(t)\cos t+P_2(t)\sin t),$

gdzie $\displaystyle P_1(t)$ i $\displaystyle P_2(t)$ są wielomianami zmiennej $\displaystyle t$ oraz liczba $\displaystyle a+ib$ jest pierwiastkiem $\displaystyle k$-krotnym równania charakterystycznego.

Wtedy rozwiązanie szczególne jest postaci

$\displaystyle x_1(t)=e^{at}t^{k}(Q_1(t)\cos t+Q_2(t)\sin t),$

gdzie znowu $\displaystyle Q_1$ i $\displaystyle Q_2$ są wielomianami stopnia równego $\displaystyle \displaystyle\max\{\deg P_1, \deg P_2\}.$

W każdym z powyższych przypadków współczynniki nieznanych wielomianów wyliczymy, wstawiając $\displaystyle x_1(t)$ do naszego równania niejednorodnego.

Uwaga 14.27.

W przypadku, gdy funkcja $\displaystyle f(t)$ w równaniu niejednorodnym jest sumą funkcji opisanych w przypadkach $\displaystyle 1,\ldots,4,$ powiedzmy $\displaystyle f=f_1+\ldots+f_s,$ to szukamy najpierw $\displaystyle s$ rozwiązań szczególnych dla równań niejednorodnych z prawymi stronami równymi $\displaystyle f_1,\ldots,f_s.$ Znajdujemy $\displaystyle s$ funkcji $\displaystyle x_{11},\ldots,x_{1s}.$ Szukane rozwiązanie szczególne to

$\displaystyle x_1=x_{11}+\ldots+x_{1s},$

co wynika z liniowości naszego równania.

Przykład 14.28.

Rozwiązać równanie

$\displaystyle x^{(2)}-x=\sin t + te^t.$

Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne

$\displaystyle x^{(2)}-x=0.$

Równanie charakterystyczne to

$\displaystyle \lambda^{2}-1=0,$

z rozwiązaniami $\displaystyle \displaystyle\lambda_1=1, \lambda_2=-1.$ Tak więc rozwiązanie ogólne równania jednorodnego to

$\displaystyle x_o(t)=C_1e^{t}+C_2e^{-t}.$

Szukamy teraz rozwiązań szczególnych, najpierw dla równania

$\displaystyle x^{(2)}-x=\sin t.$

Tu $\displaystyle a=0, b=1,$ zatem $\displaystyle a+ib=i$ nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego. Przewidujemy zatem rozwiązanie szczególne w postaci:

$\displaystyle x_{11}(t)=A\sin t+B\cos t.$

To $\displaystyle x_{11}$ wstawiamy do równania $\displaystyle x^{(2)}-x=\sin t.$ Dostajemy:

$\displaystyle -A\sin t-B\cos t-A\sin t-B\cos t=\sin t,$

skąd dostajemy układ równań

$\displaystyle -2A=1,\ -2B=0,$

czyli $\displaystyle A=-\frac{1}{2}, \ B=0.$ Tak więc

$\displaystyle x_{11}(t)=-\frac{1}{2}\sin t.$

Rozwiążemy teraz równanie

$\displaystyle x^{(2)}-x= te^t.$

Tu $\displaystyle a=1$ i liczba $\displaystyle 1$ jest (jednokrotnym) pierwiastkiem równania charakterystycznego. Wielomian $\displaystyle P(t)$ ma stopień $\displaystyle 1.$ Rozwiązania szczególnego szukamy zatem w postaci

$\displaystyle x_{12}(t)=t(At+B)e^t.$

Współczynniki $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ wyznaczymy, wstawiając $\displaystyle x_{12}$ do równania $\displaystyle x^{(2)}-x= te^t.$ Dostaniemy

$\displaystyle e^t(At^2+4At+Bt+2B+2A)-(At^2+Bt)e^t=e^t(4At+2B+2A)=te^t,$

skąd

$\displaystyle 4A=1, \ 2A+2B=0$ zatem $\displaystyle A=\frac{1}{4}, \ B=-\frac{1}{4},$

czyli

$\displaystyle x_{12}(t)=(\frac{1}{4}t^2-\frac{1}{4}t)e^t.$

Sumując, dostajemy rozwiązanie szczególne wyjściowego równania niejednorodnego:

$\displaystyle x_1(t)=-\frac{1}{2}\sin t+(\frac{1}{4}t^2-\frac{1}{4}t)e^t.$

Tak więc rozwiązanie ogólne naszego równania to:

$\displaystyle x(t)=x_o(t)+x_1(t)=C_1e^{t}+C_2e^{-t}-\frac{1}{2}\sin t+(\frac{1}{4}t^2-\frac{1}{4}t)e^t.$