Zadanie 1
Pokazać, że skończona rodzina zdarzeń niezależnych, każde o prawdopodobieństwie mniejszym niż 1, nie może pokryć całej przestrzeni zdarzeń.
Zadanie 2
Obiecującej tenisistce ojciec obiecuje nagrodę, jeśli ta wygra 2 kolejne mecze z 3 rozegranych na przemian z nim samym oraz mistrzem klubu. Szanse na wygranie pojedynczego meczu z mistrzem są mniejsze, niż z ojcem. Zawodniczka może sama zdecydować, z którym przeciwnikiem zmierzy się jako pierwszym. Którego powinna wybrać?
Zadanie 3
Ekspert podejmuje prawidłową decyzję z prawdopodobieństwem \(p_e>\frac{1}{2}\), ignorant podejmuje ją z prawdopodobieństwem \(p_i=\frac{1}{2}\).
Jaka komisja częściej podejmuje prawidłowe decyzje:
- składająca się z pojedynczego eksperta, czy
- składająca się z dwóch ekspertów i jednego ignoranta,
jeśli decyzje podejmowane są metodą większościową?
Uwaga: W rozwiązaniu możesz założyć, że członkowie komisji popełniają błędy niezależnie. Wyjaśnij dlaczego to założenie nie zawsze ma sens.
Zadanie 4 (dla bardzo bardzo chętnych)
\(N=100\) więźniów otrzymuje następującą propozycję: W specjalnym pokoju na stole stoi 100 pudełek. Do pudełek wrzucono losowo karteczki z liczbami \(1\ldots 100\), do każdego pudełka jedną. Więźniowie są ponumerowani \(1 \ldots 100\) i wchodzą do pokoju jeden po drugim: najpierw więzień 1, potem 2, itd. Każdy z więźniów może otworzyć dowolnych 50 pudełek i obejrzeć znajdujące się w nich kartki. Pudełka wolno oglądać jedno po drugim, tzn. w decyzji o tym, które pudełko obejrzeć można uwględnić karteczki obejrzane w uprzednio otworzonych pudełkach. Przed wyjściem więzień musi zostawić wszystko tak jak zastał, nie może zostawiać żadnych znaków, zmieniać kolejności pudełek itp. Więźniowie którzy już byli w pokoju nie mogą się kontaktować z tymi, którzy jeszcze tam nie byli. Każdy z więźniów ma za zadanie znaleźć (tj. zobaczyć) kartkę ze swoim numerem. Jeśli wszystkim (!!!) więźniom się to uda, to wszyscy są wolni, wpp żaden. Jakie prawdopodobieństwo sukcesu można uzyskać?
Przy niezależnym otwieraniu pudełek prawdopodobieństwo sukcesu wynosi \(2^{-100}\), a da się uzyskać ponad 30% - w tym celu trzeba mocno "uzależnić" od siebie sukcesy więźniów. Spróbuj skonstruować dla strategie więźniów w taki sposób, aby wszyscy odnieśli sukces jeśli permutacja kartek w pudełkach spełnia pewien warunek kombinatoryczny.