Na początku rozdziału o logice zdaniowej rozważaliśmy zdanie
Jeśli \( \mathrm {n} \) jest liczbą pierwszą to \( \mathrm {n} \) jest liczbą nieparzystą lub \( \mathrm {n} \) jest równe 2.
Opisaliśmy je wtedy formułą
\( p \Rightarrow (q \vee r). \)
w której \( p,q,r \) odpowiadały odpowiednio zdaniom
Podstawiając zamiast zdania \(\mathrm {n} \) jest liczbą pierwszą zmienną zdaniową \( \mathrm {p} \) ukrywamy jednak część informacji. Zdanie to mówi przecież o pewnej liczbie \( \mathrm {n} \), co więcej zdania \( {p,q} \) i \( \mathrm {r} \) dotyczą tej samej liczby \( \mathrm {n} \). Zapiszmy więc \( p(n) \) zamiast \( {p} \) aby podkreślić fakt że prawdziwość \( {p} \) zależy od tego jaką konkretną wartość przypiszemy zmiennej \( \mathrm {n} \). Zdanie \( p(n) \) będzie prawdziwe jeśli za \( \mathrm {n} \) podstawimy jakąś liczbę pierwszą i fałszywe w przeciwnym przypadku. Zgodnie z tą konwencją nasze zdanie przyjmie postać
\( p(n) \Rightarrow (q(n) \vee r(n)). \)
Zwróćmy uwagę jednak, że trudno ocenić prawdziwość zdania \( \mathrm {p} \) dopóki nie podstawimy w miejsce \( \mathrm {n} \) jakiejś konkretnej liczby. Z drugiej strony jednak zdanie jakąkolwiek liczbę nie postawimy w miejsce \( \mathrm {n} \) zdanie będzie prawdziwe. Możemy więc przeformułować je jako
Dla każdej liczby naturalnej \( \mathrm {n} \), jeśli \( \mathrm {n} \) jest liczbą pierwszą to \( \mathrm {n} \) jest liczbą nieparzystą lub \( \mathrm {n} \) jest równe 2.
Aby móc formalnie zapisywać zdania takie jak powyższe wprowadzimy kwantyfikator \( \forall \) który będzie oznaczał ,,dla każdego" oraz \( \exists \) który będzie oznaczał ,,istnieje". Każde wystąpienie kwantyfikatora będzie dotyczyło pewnej zmiennej. W naszym przykładzie napiszemy
\( \forall_n p(n) \Rightarrow (q(n) \vee r(n)). \quad \mbox{(1.1)} \)
Możemy teraz powiedzieć, że powyższa formuła jest prawdziwa w zbiorze liczb naturalnych, gdzie \( p(n),q(n),r(n) \) będą oznaczać odpowiednio \(\mathrm {n} \) jest liczbą pierwszą, \( \mathrm {n} \) jest liczbą nieparzystą, \( \mathrm {n} \) jest równe 2.
Przy tej samej interpretacji \( p(n),q(n) \) moglibyśmy wyrazić zdanie
Istnieje parzysta liczba pierwsza.
jako
\( \exists_n p(n) \wedge \neg q(n) \quad \mbox{(1.2)} \)