Processing math: 100%

Logika intuicjonistyczna

Logika intuicjonistyczna


Niektórzy logicy mają wątpliwości co do tego, czy powinniśmy przyjmować schemat dowodu niewprost jako aksjomat. Poddanie w wątpliwość tego aksjomatu doprowadziło do powstnia tzw. logiki intuicjonistycznej. Ważnym powodem zajmowania się logiką intuicjonistyczną są jej zadziwiające związki z teorią obliczeń (patrz izomorfizm Curryego-Howarda).

Implikacyjny fragment logiki intuicjonistycznej, który będziemy oznaczać przez I to zbiór tych formuł, które da się dowodnić przy pomocy reguły MP z aksjomatów S i K.

Definicja 7.1

Aksjomaty I

  1. (ϕ(ψϕ)) (formuła ta jest nazywana aksjomatem K),
  2. (ϕ(νψ)((ϕν)(ϕν)) (formuła ta jest nazywana aksjomatem S).

W pełnej wersji logiki intucjonistycznej pojawiają się również aksjomaty dla spójników , oraz ¬. Dla uproszczenia zajmiemy się jedynie formułami, w których jedynym spójnikiem jest implikacja. Dodatkowym argumentem uzasadniającym takie podejście jest fakt, że każde twierdzenie logiki intuicjonistycznej, w którym jedynymi spójnikami są , da się udowodnić przy pomocy aksjomatów 7.1. Zobaczymy, że analogiczne twierdzenie nie jest prawdą dla logiki klasycznej. Logika intuicjonistyczna jest bardziej skomplikowana od logiki klasycznej. W szczególności nie istnieje skończona matryca, za pomocą której moglibyśmy rozstrzygać czy dana formuła jest twierdzeniem logiki intuicjonistycznej.

Twierdzenie 7.2

Każde twierdzenie logiki intuicjonistycznej jest twierdzeniem klasycznego rachunku zdań.

Dowód

Każdy dowód twierdzenia logiki inuicjonistycznej jest równocześnie dowodem twierdzenia klasycznego rachunku zdań.

Implikacja w drugą stronę nie zachodzi. Istnieją formuły zbudowane jedynie przy pomocy , które nie należą do I, pomimo że są twierdzeniami klasycznego rachunku zdań. Przykładem takiej formuły jest prawo Pierce'a:

((pq)p)p.

W zadaniu 4.1 pokazaliśmy, że formuła ta jest w istocie tautologią więc w myśl twierdzenia Posta 4.4 również twierdeniem klasycznego rachunku zdań.
W poniższych zadaniach udowodnimy poniższe twierdzenie

Twierdzenie 7.3

Prawo Pierce'a nie jest twierdzeniem intuicjonizmu.

Zauważmy, że oznacza to również, że każdy dowód prawa Pierce'a w logice klasycznej korzysta z aksjomatu 3 3.1, a więc wymaga używania spójnika ¬.
Aby udowodnić twierdzenie 7.3, zdefiniujemy jeszcze jedną logikę którą nazwiemy I3. Podobnie do 4.1 zdefiniujemy matrycę tym razem 3-elementową.

Definicja 7.4

Matrycą M3 będziemy nazywać zbiór trójelementowy M3={0,1,2}, w którym 2 jest wyróżnioną wartością prawdy, wraz z funkcją odpowiadają za interpretacje zdefiniowaną następująco


0 1 2
 0   2   2   2 
 1   0   2   2 
 2   0   1   2 

W przypadku rozważanej matrycy M3 wartościowanie będzie funkcją przypisującą zmiennym zdaniowym elementy zbioru M3. Podobnie jak dla logiki klasycznej wartościowanie zmiennych rozszzerzamy na wartościowanie formuł zgodnie z tabelą 7.4.

Przykład 7.5

Dla wartościowania v takiego, że v(p)=2,v(q)=1,v(r)=0 formuła

(pq)r

przyjmuje wartość 0.

Definicja 7.6

Tautologią logiki I3 będziemy nazywać każdą formułę implikacyjną, która przy każdym wartościowaniu zmiennych w M3 przyjmuje wartość 2.

Ćwiczenie 7.1

Udowodnij, że aksjomaty S i K są tautologiami I3.

Ćwiczenie 7.2

Udowodnij, że jeśli formuła postaci ϕψ oraz formuła ϕ są tautologiami I3, to formuła ψ jest tautologią I3.

Ćwiczenie 7.3

Udowodnij, że każde twierdzenie logiki I jest tautologią I3.


Ćwiczenie 7.4

Sprawdź, czy prawo Pierce'a jest tautologią I3.


Podsumujmy wyniki powyższych zadań. Wskazaliśmy logikę I3 taką, że każda twierdzenie intuicjonizmu jest tautologią I3. Skoro prawo Pierce'a nie jest tautologią I3, to nie jest też twierdzeniem I.

UWAGA! W dalszej części będziemy się posługiwać wyłącznie logiką klasyczną.