W skład zestawu aksjomatów zaproponowanych przez Ernsta Zermelo i uzupełnionych później przez Adolfa Abrahama Halevi Fraenkela wchodzą dodatkowe dwa aksjomaty. Pierwszym z nich jest aksjomat regularności.
Aksjomat Regularności Zakładamy, że następująca formuła, zwana aksjomatem regularności, jest prawdą:
\( \forall x\; (x\neq\emptyset \Longrightarrow \exists y\; (y\in x \land y\cap x = \emptyset )). \)
(Zwróćmy uwagę, że występujący w formule napis \( y\cap x =\emptyset \), można zastąpić równoważnym napisem \( \neg \exists z\; z \in y \wedge z \in x \), unikając tym samym symbolu \( \cap \). ) Aksjomat regularności nazywamy czasem aksjomatem ufundowania. Gwarantuje on, że zbiory budowane są zgodnie z intuicją. Mówi, że każdy zbiór posiada element przecinający się pusto z nim samym. W szczególności, używając aksjomatu regularności możemy pokazać, że żaden zbiór nie zawiera samego siebie.
Fakt 10.1.
Żaden zbiór nie jest swoim własnym elementem, równoważnie, następująca formuła jest prawdziwa:
\( \forall x\; x\notin x. \)
Dowód
Dla dowodu niewprost załóżmy, że nasz fakt jest nieprawdziwy i ustalmy \( x \) takie, że \( x\in x \). Na podstawie aksjomatu pary możemy stworzyć zbiór \( \{x\} \). Istnienie takiego zbioru przeczy jednak aksjomatowi regularności, ponieważ jedynym elementem \( \{x\} \) jest \( x \) i \( \{x\}\cap x \neq \emptyset \), ponieważ \( x\in \{x\}\cap x \). Sprzeczność z aksjomatem w dowodzie niewprost gwarantuje, że fakt jest prawdziwy.