W skład zestawu aksjomatów zaproponowanych przez Ernsta Zermelo i uzupełnionych później przez Adolfa Abrahama Halevi Fraenkela wchodzą dodatkowe dwa aksjomaty. Pierwszym z nich jest aksjomat regularności.
Aksjomat Regularności Zakładamy, że następująca formuła, zwana aksjomatem regularności, jest prawdą:
∀x(x≠∅⟹∃y(y∈x∧y∩x=∅)).
(Zwróćmy uwagę, że występujący w formule napis y∩x=∅, można zastąpić równoważnym napisem ¬∃zz∈y∧z∈x, unikając tym samym symbolu ∩. ) Aksjomat regularności nazywamy czasem aksjomatem ufundowania. Gwarantuje on, że zbiory budowane są zgodnie z intuicją. Mówi, że każdy zbiór posiada element przecinający się pusto z nim samym. W szczególności, używając aksjomatu regularności możemy pokazać, że żaden zbiór nie zawiera samego siebie.
Fakt 10.1.
Żaden zbiór nie jest swoim własnym elementem, równoważnie, następująca formuła jest prawdziwa:
∀xx∉x.
Dowód
Dla dowodu niewprost załóżmy, że nasz fakt jest nieprawdziwy i ustalmy x takie, że x∈x. Na podstawie aksjomatu pary możemy stworzyć zbiór {x}. Istnienie takiego zbioru przeczy jednak aksjomatowi regularności, ponieważ jedynym elementem {x} jest x i {x}∩x≠∅, ponieważ x∈{x}∩x. Sprzeczność z aksjomatem w dowodzie niewprost gwarantuje, że fakt jest prawdziwy.