Wstęp
Aksjomatyczna teoria mnogości powstała jako odpowiedź na paradoksy powstające w teorii naiwnej. Jest ona oparta o uzupełniony aksjomatami rachunek predykatów. Aksjomaty to formuły, o których zakładamy, że są prawdziwe. Słowo \( \alpha \xi \iota \omega \mu \alpha \), z którego wywodzi się aksjomat, oznaczało wśród filozofów greckich tezę, która jest oczywista i nie potrzebuje dowodu. Aksjomaty teorii mnogości to formuły, które definiują podstawowe własności zbiorów - przyjmujemy je bez dowodów i w oparciu o nie wyprowadzamy bardziej skomplikowane własności. Dlatego właśnie niezwykle istotne jest, aby aksjomaty były możliwie najprostsze w formie i aby ich "prawdziwość" była oczywista. Przyjęcie złej aksjomatyki może doprowadzić do sytuacji, w której udaje się poprawnie dowodzić twierdzenia zupełnie sprzeczne z intuicją. Aksjomaty to podstawy naszej teorii -- jeśli podstawy są nieodpowiednie, stworzona na nich teoria może być zupełnie nieprzydatna.
Istnieje wiele różnych aksjomatyzacji teorii mnogości. Aksjomatyka, którą przedstawiamy w tym wykładzie, została zaproponowana, w podstawowej wersji, przez Ernsta Zermelo i uzupełniona później przez Adolfa Abrahama Halevi Fraenkela. Stąd też pochodzi jej nazwa ZF (aksjomatyka Zermelo-Fraenkla). Jeden spośród aksjomatów prezentowanych w tym wykładzie zasługuje na szczególną uwagę, jest to aksjomat wyboru. Ten pozornie oczywisty aksjomat pociąga za sobą konsekwencje sprzeczne z intuicją. Aksjomat ten często wyróżniany jest z podstawowego zestawu i aksjomatyka bez niego oznaczana jest przez ZF, a z nim przez ZFC (gdzie ostatnia litera pochodzi od nazwy dodatkowego aksjomatu: Axiom of Choice).