Podsumowanie

W powyższym wykładzie przedstawiliśmy twierdzenia równoważne aksjomatowi wyboru i udowodniliśmy kilka jego konsekwencji. Aksjomat wyboru jest kontrowersyjnym aksjomatem. Przyjęcie go, pociąga za sobą nieintuicyjne konsekwencje. Zakładając aksjomat wyboru, możemy wykazać, że zbiór liczb rzeczywistych daje się uporządkować w taki sposób, że każdy jego podzbiór ma element najmniejszy. Kolejną nieintuicyjną konsekwencją jest wykazany przez Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego paradoksalny rozkład trójwymiarowej kuli na sześć części, z których, za pomocą obrotów i translacji, możemy skleić dwie kule identyczne z pierwszą.

Z drugiej strony, wiele intuicyjnych faktów wymaga aksjomatu wyboru lub jednej z jego słabszych wersji. Twierdzenie, że jeśli zbiór jest nieskończony, to istnieje iniekcja liczb naturalnych w ten zbiór, jest intuicyjnym faktem. Bertrand Russell powiedział o aksjomacie wyboru:

The Axiom of Choice is necessary to select a set from an infinite number of socks, but not an infinite number of shoes (Aksjomat wyboru jest niezbędny, aby wybrać zbiór z nieskończonej ilości skarpet, ale nie z nieskończonej ilości butów).

Znaczenie tego cytatu powinno być jasne. Jesteśmy w stanie wybrać po jednym bucie z nieskończonego zbioru par mówiąc "wybierzmy buty lewe". Nie jesteśmy w stanie przeprowadzić tego rozumowania, jeśli byty występujące w zbiorach są identyczne.