Para uporządkowana

Bardzo często będziemy chcieli mieć do czynienia ze zbiorem, który niesie w sobie informację o dwóch innych zbiorach, informację tak trafnie zakodowaną, aby można było odzyskać z niej każdą z jego składowych. Do tego celu wprowadzimy zbiór nazywany parą uporządkowaną dwóch innych zbiorów.

Definicja 1.1.

Niech \( \displaystyle x \) oraz \( \displaystyle y \) będą zbiorami. Przez parę uporządkowaną \( \displaystyle (x,y) \) rozumiemy zbiór

\( \displaystyle \{ \{x\}, \{x,y\}\} \)

Parę uporządkowaną można zdefiniować inaczej na wiele sposobów. Chodzi jednak o to, aby ze zbioru, który jest parą, można było odzyskać jednoznacznie każdą z jego składowych. Tak więc moglibyśmy zaakceptować każdą inną inną definicję pod warunkiem, że będzie spełnione następujące twierdzenie:

Twierdzenie 1.2.

Dla dowolnych zbiorów \( \displaystyle a,b,c,d \) zachodzi:

\( \displaystyle (a,b) = (c,d) \Leftrightarrow a=c \hspace {0.1mm} \wedge b= d \)

Dowód

Dowód przeprowadzimy tylko ze strony lewej do prawej, bo w odwrotnym kierunku jest to fakt oczywisty. Niech zatem dwie pary \( \displaystyle (a,b) \) i \( \displaystyle (c,d) \) będą równe. Ponieważ \( \displaystyle \{a\} \in (a,b) \), więc \( \displaystyle \{a\} \in (c,d) \). Mamy zatem \( \displaystyle \{a\} = \{c\} \) lub \( \displaystyle \{a\} = \{c,d\} \). W pierwszym przypadku \( \displaystyle a=c \), ale w drugim również jest tak, mamy bowiem, że \( \displaystyle c \in \{a\} \). Pierwszą część twierdzenia mamy za sobą, bo już wiemy, że pierwsze współrzędne równych par są równe.

\( \displaystyle (a,b) = (a,d). \)

Następnie przeprowadzamy dowód przez przypadki. Jeżeli jest tak, że \( \displaystyle a=b \), to \( \displaystyle (a,b)=\{\{a\}\} \). Zatem \( \displaystyle \{\{a\}\} = \{\{a\},\{a,d\}\} \), co daje, że \( \displaystyle \{a,d\}=\{a\} \), a zatem \( \displaystyle d=a \). W przeciwnym przypadku, gdy \( \displaystyle a \neq b \) mamy, że \( \displaystyle \{a,b\} \in \{\{a\},\{a,d\}\} \). Daje to dwie możliwości albo \( \displaystyle \{a,b\} = \{a\} \), co nie może mieć miejsca, bo mielibyśmy, że \( \displaystyle a=b \) albo zaś \( \displaystyle \{a,b\} = \{a,d\} \). To drugie prowadzi do naszej tezy \( \displaystyle b=d \).

Ćwiczenie 1.3

Dla każdej pary \( \displaystyle x=(a,b) \) udowodnij, że

\( \displaystyle \bigcap \bigcap x= a. \)

Rozwiązanie

Rozważymy dwa przypadki.

Jeśli \( \displaystyle a=b \), to \( \displaystyle x=\{\{a\}\} \) i wtedy \( \displaystyle \bigcap \bigcap x= a \).
Jeśli \( \displaystyle a\neq b \), to \( \displaystyle x=\{\{a\},\{a,b\}\} \) a więc

\( \displaystyle \bigcap x= \bigcap \{\{a\},\{a,b\}\}= \{a\} \cap \{a,b\}= \{a\}, \)

skąd otrzymujemy

\( \displaystyle \bigcap \bigcap x=a. \)

Ćwiczenie 1.4

Udowodnij, że dla dowolnej pary uporządkowanej \( \displaystyle x \) zbiór

\( \displaystyle \bigcap \bigcap (\mathcal{P}(x) \setminus \mathcal{P}(\emptyset)) \)

jest pusty, gdy współrzędne par są różne, a w przeciwnym przypadku jest zbiorem jednoelementowym zawierającym współrzędną pary \( \displaystyle x \).

Rozwiązanie

Jeśli \( \displaystyle x \) jest parą, to istnieją zbiory \( \displaystyle a,b \) takie, że \( \displaystyle x=(a,b) \).

1. Przypuśćmy, że \( \displaystyle a\neq b \). Wtedy \( \displaystyle x= \{\{a\}, \{a,b\}\} \) i \( \displaystyle \mathcal{P}(x)= \{\emptyset, \{\{a\}\}, \{\{a,b\}\},x \} \). Ponieważ \( \displaystyle \mathcal{P}(\emptyset)=\{\emptyset\} \) to \( \displaystyle \mathcal{P}(x) \setminus \mathcal{P}(\emptyset) =\{ \{\{a\}\}, \{\{a,b\}\},x \} \), a wtedy

\( \displaystyle \bigcap (\mathcal{P}(x) \setminus \mathcal{P}(\emptyset)) = \emptyset, \)

gdyż przecinany zbiór zawiera elementy rozłączne \( \displaystyle \{\{a\}\}, \{\{a,b\}\} \). Wobec tego również

\( \displaystyle \bigcap \bigcap (\mathcal{P}(x) \setminus \mathcal{P}(\emptyset)) = \emptyset. \)

2. W przypadku, gdy \( \displaystyle a=b \), otrzymujemy \( \displaystyle x=\{\{a\}\} \), a więc \( \displaystyle \mathcal{P}(x)=\{\emptyset ,\{\{a\}\}\} \) i wtedy \( \displaystyle \mathcal{P}(x) \setminus \mathcal{P}(\emptyset) =\{ \{\{a\}\} \} \) skąd otrzymujemy

\( \displaystyle \bigcap \bigcap ( \mathcal{P}(x) \setminus \mathcal{P}(\emptyset)) = \{a\}. \)

Ćwiczenie 1.5

Pokaż, że z każdej pary \( \displaystyle x \) można otrzymać jej drugą współrzędną, posługując się jedynie parą \( \displaystyle x \), mnogościowymi operacjami \( \displaystyle \bigcup, \bigcap, \cup,\cap,\setminus,\mathcal{P}() \) oraz stałą \( \displaystyle \emptyset \).

Wskazówka

Rozważ najpierw pary różnych elementów.
Wykorzystaj zbiór z Ćwiczenia 1.4.

Rozwiązanie

Rozważmy najpierw przypadek, gdy para ma różne elementy. Zobaczymy, że dla każdej takiej pary \( \displaystyle x=(a,b) \), mamy

\( \displaystyle \bigcup (\bigcup x \setminus \bigcap x) =b. \quad \mbox{(1.1)} \)

Ponieważ \( \displaystyle a\neq b \), to \( \displaystyle x=\{\{a\}, \{a,b\}\} \) i wtedy

\( \displaystyle \bigcup (\bigcup x \setminus \bigcap x)= \bigcup (\{a,b\} \setminus \{a\})= \bigcup \{b\}= b. \)

Zobaczmy teraz, jak proponowany wzór działa na parach o równych współrzędnych. Jeśli \( \displaystyle x=(a,a) \), to \( \displaystyle x =\{\{a\}\} \) i wtedy

\( \displaystyle \bigcup (\bigcup x \setminus \bigcap x)= \bigcup (\{a\} \setminus \{a\})= \bigcup \emptyset= \emptyset. \)

Musimy więc jeszcze trochę popracować. Wykorzystajmy ćwiczenie 1.4, niech nowy wzór będzie postaci

\( \displaystyle \bigcup (\bigcup x \setminus \bigcap x) \cup \bigcap \bigcap \bigcap (\mathcal{P}(x) \setminus \mathcal{P}(\emptyset)). \)

Dla par o różnych elementach dodana część wzoru jest zbiorem pustym, więc ta sytuacja jest analogiczna do 1.1, skąd otrzymujemy, że tak zdefiniowany zbiór jest równy \( \displaystyle b \).

Dla par o równych elementach pierwsza część zbioru jest zbiorem pustym. W ćwiczeniu 1.4 pokazaliśmy, że w takim przypadku mamy \( \displaystyle \bigcap \bigcap (\mathcal{P}(x) \setminus \mathcal{P}(\emptyset))=\{b\} \), jeśli \( \displaystyle b \) jest współrzędną pary \( \displaystyle x \). Wobec tego

\( \displaystyle \bigcup (\bigcup x \setminus \bigcap x) \cup \bigcap \bigcap \bigcap (\mathcal{P}(x) \setminus \mathcal{P}(\emptyset))= \emptyset \cup \bigcap\{b\}=b. \)