Para uporządkowana

Para uporządkowana



Bardzo często będziemy chcieli mieć do czynienia ze zbiorem, który niesie w sobie informację o dwóch innych zbiorach, informację tak trafnie zakodowaną, aby można było odzyskać z niej każdą z jego składowych. Do tego celu wprowadzimy zbiór nazywany parą uporządkowaną dwóch innych zbiorów.

Definicja 1.1.

Niech \( \displaystyle x \) oraz \( \displaystyle y \) będą zbiorami. Przez parę uporządkowaną \( \displaystyle (x,y) \) rozumiemy zbiór

\( \displaystyle \{ \{x\}, \{x,y\}\} \)

Parę uporządkowaną można zdefiniować inaczej na wiele sposobów. Chodzi jednak o to, aby ze zbioru, który jest parą, można było odzyskać jednoznacznie każdą z jego składowych. Tak więc moglibyśmy zaakceptować każdą inną inną definicję pod warunkiem, że będzie spełnione następujące twierdzenie:

Twierdzenie 1.2.

Dla dowolnych zbiorów \( \displaystyle a,b,c,d \) zachodzi:

\( \displaystyle (a,b) = (c,d) \Leftrightarrow a=c \hspace {0.1mm} \wedge b= d \)

Dowód

Dowód przeprowadzimy tylko ze strony lewej do prawej, bo w odwrotnym kierunku jest to fakt oczywisty. Niech zatem dwie pary \( \displaystyle (a,b) \) i \( \displaystyle (c,d) \) będą równe. Ponieważ \( \displaystyle \{a\} \in (a,b) \), więc \( \displaystyle \{a\} \in (c,d) \). Mamy zatem \( \displaystyle \{a\} = \{c\} \) lub \( \displaystyle \{a\} = \{c,d\} \). W pierwszym przypadku \( \displaystyle a=c \), ale w drugim również jest tak, mamy bowiem, że \( \displaystyle c \in \{a\} \). Pierwszą część twierdzenia mamy za sobą, bo już wiemy, że pierwsze współrzędne równych par są równe.

\( \displaystyle (a,b) = (a,d). \)

Następnie przeprowadzamy dowód przez przypadki. Jeżeli jest tak, że \( \displaystyle a=b \), to \( \displaystyle (a,b)=\{\{a\}\} \). Zatem \( \displaystyle \{\{a\}\} = \{\{a\},\{a,d\}\} \), co daje, że \( \displaystyle \{a,d\}=\{a\} \), a zatem \( \displaystyle d=a \). W przeciwnym przypadku, gdy \( \displaystyle a \neq b \) mamy, że \( \displaystyle \{a,b\} \in \{\{a\},\{a,d\}\} \). Daje to dwie możliwości albo \( \displaystyle \{a,b\} = \{a\} \), co nie może mieć miejsca, bo mielibyśmy, że \( \displaystyle a=b \) albo zaś \( \displaystyle \{a,b\} = \{a,d\} \). To drugie prowadzi do naszej tezy \( \displaystyle b=d \).

Ćwiczenie 1.3

Dla każdej pary \( \displaystyle x=(a,b) \) udowodnij, że

\( \displaystyle \bigcap \bigcap x= a. \)

Ćwiczenie 1.4

Udowodnij, że dla dowolnej pary uporządkowanej \( \displaystyle x \) zbiór

\( \displaystyle \bigcap \bigcap (\mathcal{P}(x) \setminus \mathcal{P}(\emptyset)) \)

jest pusty, gdy współrzędne par są różne, a w przeciwnym przypadku jest zbiorem jednoelementowym zawierającym współrzędną pary \( \displaystyle x \).

Ćwiczenie 1.5

Pokaż, że z każdej pary \( \displaystyle x \) można otrzymać jej drugą współrzędną, posługując się jedynie parą \( \displaystyle x \), mnogościowymi operacjami \( \displaystyle \bigcup, \bigcap, \cup,\cap,\setminus,\mathcal{P}() \) oraz stałą \( \displaystyle \emptyset \).