Para uporządkowana

Bardzo często będziemy chcieli mieć do czynienia ze zbiorem, który niesie w sobie informację o dwóch innych zbiorach, informację tak trafnie zakodowaną, aby można było odzyskać z niej każdą z jego składowych. Do tego celu wprowadzimy zbiór nazywany parą uporządkowaną dwóch innych zbiorów.

Definicja 1.1.

Niech $\displaystyle x$ oraz $\displaystyle y$ będą zbiorami. Przez parę uporządkowaną $\displaystyle (x,y)$ rozumiemy zbiór

$\displaystyle \{ \{x\}, \{x,y\}\}$

Parę uporządkowaną można zdefiniować inaczej na wiele sposobów. Chodzi jednak o to, aby ze zbioru, który jest parą, można było odzyskać jednoznacznie każdą z jego składowych. Tak więc moglibyśmy zaakceptować każdą inną inną definicję pod warunkiem, że będzie spełnione następujące twierdzenie:

Twierdzenie 1.2.

Dla dowolnych zbiorów $\displaystyle a,b,c,d$ zachodzi:

$\displaystyle (a,b) = (c,d) \Leftrightarrow a=c \hspace {0.1mm} \wedge b= d$

Dowód

Dowód przeprowadzimy tylko ze strony lewej do prawej, bo w odwrotnym kierunku jest to fakt oczywisty. Niech zatem dwie pary $\displaystyle (a,b)$ i $\displaystyle (c,d)$ będą równe. Ponieważ $\displaystyle \{a\} \in (a,b)$ , więc $\displaystyle \{a\} \in (c,d)$ . Mamy zatem $\displaystyle \{a\} = \{c\}$ lub $\displaystyle \{a\} = \{c,d\}$ . W pierwszym przypadku $\displaystyle a=c$ , ale w drugim również jest tak, mamy bowiem, że $\displaystyle c \in \{a\}$ . Pierwszą część twierdzenia mamy za sobą, bo już wiemy, że pierwsze współrzędne równych par są równe.

$\displaystyle (a,b) = (a,d).$

Następnie przeprowadzamy dowód przez przypadki. Jeżeli jest tak, że $\displaystyle a=b$ , to $\displaystyle (a,b)=\{\{a\}\}$ . Zatem $\displaystyle \{\{a\}\} = \{\{a\},\{a,d\}\}$ , co daje, że $\displaystyle \{a,d\}=\{a\}$ , a zatem $\displaystyle d=a$ . W przeciwnym przypadku, gdy $\displaystyle a \neq b$ mamy, że $\displaystyle \{a,b\} \in \{\{a\},\{a,d\}\}$ . Daje to dwie możliwości albo $\displaystyle \{a,b\} = \{a\}$ , co nie może mieć miejsca, bo mielibyśmy, że $\displaystyle a=b$ albo zaś $\displaystyle \{a,b\} = \{a,d\}$ . To drugie prowadzi do naszej tezy $\displaystyle b=d$ .

Ćwiczenie 1.3

Dla każdej pary $\displaystyle x=(a,b)$ udowodnij, że

$\displaystyle \bigcap \bigcap x= a.$

Rozwiązanie

Rozważymy dwa przypadki.

Jeśli $\displaystyle a=b$ , to $\displaystyle x=\{\{a\}\}$ i wtedy $\displaystyle \bigcap \bigcap x= a$ .
Jeśli $\displaystyle a\neq b$ , to $\displaystyle x=\{\{a\},\{a,b\}\}$ a więc

$\displaystyle \bigcap x= \bigcap \{\{a\},\{a,b\}\}= \{a\} \cap \{a,b\}= \{a\},$

skąd otrzymujemy

$\displaystyle \bigcap \bigcap x=a.$

Ćwiczenie 1.4

Udowodnij, że dla dowolnej pary uporządkowanej $\displaystyle x$ zbiór

$\displaystyle \bigcap \bigcap (\mathcal{P}(x) \setminus \mathcal{P}(\emptyset))$

jest pusty, gdy współrzędne par są różne, a w przeciwnym przypadku jest zbiorem jednoelementowym zawierającym współrzędną pary $\displaystyle x$ .

Rozwiązanie

Jeśli

$\displaystyle x$ jest parą, to istnieją zbiory

$\displaystyle a,b$ takie, że

$\displaystyle x=(a,b)$ .

1. Przypuśćmy, że $\displaystyle a\neq b$ . Wtedy $\displaystyle x= \{\{a\}, \{a,b\}\}$ i $\displaystyle \mathcal{P}(x)= \{\emptyset, \{\{a\}\}, \{\{a,b\}\},x \}$ . Ponieważ $\displaystyle \mathcal{P}(\emptyset)=\{\emptyset\}$ to $\displaystyle \mathcal{P}(x) \setminus \mathcal{P}(\emptyset) =\{ \{\{a\}\}, \{\{a,b\}\},x \}$ , a wtedy

$\displaystyle \bigcap (\mathcal{P}(x) \setminus \mathcal{P}(\emptyset)) = \emptyset,$

gdyż przecinany zbiór zawiera elementy rozłączne $\displaystyle \{\{a\}\}, \{\{a,b\}\}$ . Wobec tego również

$\displaystyle \bigcap \bigcap (\mathcal{P}(x) \setminus \mathcal{P}(\emptyset)) = \emptyset.$

2. W przypadku, gdy $\displaystyle a=b$ , otrzymujemy $\displaystyle x=\{\{a\}\}$ , a więc $\displaystyle \mathcal{P}(x)=\{\emptyset ,\{\{a\}\}\}$ i wtedy $\displaystyle \mathcal{P}(x) \setminus \mathcal{P}(\emptyset) =\{ \{\{a\}\} \}$ skąd otrzymujemy

$\displaystyle \bigcap \bigcap ( \mathcal{P}(x) \setminus \mathcal{P}(\emptyset)) = \{a\}.$

Ćwiczenie 1.5

Pokaż, że z każdej pary $\displaystyle x$ można otrzymać jej drugą współrzędną, posługując się jedynie parą $\displaystyle x$ , mnogościowymi operacjami $\displaystyle \bigcup, \bigcap, \cup,\cap,\setminus,\mathcal{P}()$ oraz stałą $\displaystyle \emptyset$ .

Wskazówka

Rozważ najpierw pary różnych elementów.
Wykorzystaj zbiór z Ćwiczenia 1.4.

Rozwiązanie

Rozważmy najpierw przypadek, gdy para ma różne elementy. Zobaczymy, że dla każdej takiej pary

$\displaystyle x=(a,b)$ , mamy

$\displaystyle \bigcup (\bigcup x \setminus \bigcap x) =b. \quad \mbox{(1.1)}$

Ponieważ $\displaystyle a\neq b$ , to $\displaystyle x=\{\{a\}, \{a,b\}\}$ i wtedy

$\displaystyle \bigcup (\bigcup x \setminus \bigcap x)= \bigcup (\{a,b\} \setminus \{a\})= \bigcup \{b\}= b.$

Zobaczmy teraz, jak proponowany wzór działa na parach o równych współrzędnych. Jeśli $\displaystyle x=(a,a)$ , to $\displaystyle x =\{\{a\}\}$ i wtedy

$\displaystyle \bigcup (\bigcup x \setminus \bigcap x)= \bigcup (\{a\} \setminus \{a\})= \bigcup \emptyset= \emptyset.$

Musimy więc jeszcze trochę popracować. Wykorzystajmy ćwiczenie 1.4, niech nowy wzór będzie postaci

$\displaystyle \bigcup (\bigcup x \setminus \bigcap x) \cup \bigcap \bigcap \bigcap (\mathcal{P}(x) \setminus \mathcal{P}(\emptyset)).$

Dla par o różnych elementach dodana część wzoru jest zbiorem pustym, więc ta sytuacja jest analogiczna do 1.1, skąd otrzymujemy, że tak zdefiniowany zbiór jest równy $\displaystyle b$ .

Dla par o równych elementach pierwsza część zbioru jest zbiorem pustym. W ćwiczeniu 1.4 pokazaliśmy, że w takim przypadku mamy $\displaystyle \bigcap \bigcap (\mathcal{P}(x) \setminus \mathcal{P}(\emptyset))=\{b\}$ , jeśli $\displaystyle b$ jest współrzędną pary $\displaystyle x$ . Wobec tego

$\displaystyle \bigcup (\bigcup x \setminus \bigcap x) \cup \bigcap \bigcap \bigcap (\mathcal{P}(x) \setminus \mathcal{P}(\emptyset))= \emptyset \cup \bigcap\{b\}=b.$