Processing math: 100%

Lemat o pompowaniu

  1. Dowieść, że następujące języki nie są regularne:

    1. {anbn:nN}
    2. {a2n:nN}
    3. {ap:p jest liczb"a pierwsz"a}
    4. {aibj:nwd(i,j)=1}
    5. {ambn:mn}
    6. {bin(p):p jest liczb"a pierwsz"a}.
  2. Dowieść, że zbiór palindromów nad alfabetem o co najmniej dwóch elementach nie jest regularny.
  3. Dowieść, że zbiór wyrażeń regularnych nie jest regularny.
  4. Dowieść, że jeśli w Zadaniu ?? z punktu ?? zamienimy dodawanie przez mnożenie, to otrzymany język (nad alfabetem {0,1}3) jest wprawdzie dobrze określony, ale nie jest regularny.
  5. Udowodnić nieco silniejszy wariant Lematu o pompowaniu:

    Jeśli L jest regularny, to

    (*) Istnieje stała n0, że dla każdych słów v,w,u takich że |w|n0 i vwuL, istnieją x,y,z takie, że w=xyz, 0<|y|n0, oraz nN,vxynzuL.

    Podać przykład języka L, który spełnia (*), choć nie jest regularny.

    Wskazówka. pcbcbcbp+(b+c)cc(b+c), gdzie p przebiega liczby pierwsze.

  6. Czy jest regularny język:

    {w(a+b): #a(u)>2009#b(u)\quad dla ka"rdego niepustego prefiksu u s"lowa w}u słowa w

    #s oznacza liczbę wystąpień symbolu s w słowie.

  7. Słowo binarne x jest antypalindromem gdy dla pewnego niepustego słowa z, oraz s{0,1} zachodzi:

    x = zˉzR lub x = zsˉzR,

    gdzie ˉz oznacza negację (logiczną) elementów w z. Np. 0010011, 0011 są antypalindromami, a słowo puste i pojedyńczy symbol nie są. Niech L będzie zbiorem słów binarnych nie zawierających jako podsłowa antypalindromu o długości większej niż 3 zaczynającego się od zera. Czy L jest regularny ?