Gdyby zapytać kogoś, kto nie jest matematykiem, o definicję ciągu, pewnie powiedziałby coś takiego:
|
Intuicja Ciąg liczbowy tworzymy, wypisując pewne liczby w jakiejś kolejności. Albo inaczej - numerując pewne liczby kolejnymi liczbami naturalnymi: mówimy, która jest pierwsza, która druga, itd. Tych liczb może być skończenie wiele, i wtedy faktycznie możemy je po prostu wypisać, otrzymując ciąg skończony. Ale możemy też zajmować się ciągami nieskończonymi - zresztą przede wszystkim one są interesujące. Wtedy nie możemy podać wprost wszystkich wyrazów ciągu. Musimy określić metodę ich wyznaczenia, na przykład wzór lub zależność od wyrazów występujących na wcześniejszych miejscach. |
A jak zdefiniować ciąg porządnie?
|
Definicja 1. Nieskończonym ciągiem liczbowym nazywamy funkcję ze zbioru liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych: \(f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\). |
To oznacza dokładnie tyle, że każdemu miejscu w ciągu, czyli liczbie naturalnej, przypisujemy pewną wartość. Patrząc z drugiej strony, dla każdej liczby występującej w ciągu umiemy powiedzieć, na którym miejscu ona stoi - mamy określoną kolejność pojawienia się tych liczb. Jak widać, formalna definicja prowadzi do tego samego, co intuicje.
W ciągu skończonym elementy numerujemy tylko liczbami z pewnego zakresu \(\{1,\ldots,k\}\).
|
Definicja 2. Skończony ciąg liczbowy o długości k to funkcja ze zbioru \(\{1,\ldots,k\}\) w zbiór liczb rzeczywistych. |
Zgodnie z tymi definicjami n-ty wyraz ciągu zapisywalibyśmy jako f(n). Ale tę notację stosuje się rzadko, bo wygodniej jest nazwać ciąg jakąś literą i do oznaczenia numeru elementu używać indeksów: n-ty wyraz będziemy oznaczać przez an, lub bn, cn, itd.
Cały ciąg nieskończony zapisujemy jako \((a_n)_{n=1}^{\infty}\), albo po prostu (an).
Ciąg skończony o długości k możemy zapisać jako \((a_n)_{n=1}^{k}\), albo \((a_1,\ldots,a_k)\), albo również jako (an), jeśli z kontekstu wiadomo, czy ciąg jest skończony, czy nie, i jaka jest jego długość.
Naturalną czynnością po zapoznaniu się z definicjami jest obejrzenie przykładów.
Ciągi nieskończone są zwykle dużo bardziej przydatne i ciekawe niż skończone, więc często mówiąc o ciągach, matematycy mają na myśli tylko te nieskończone.
Oczywiście można rozpatrywać też ciągi złożone z innych obiektów niż liczby rzeczywiste, na przykład ciągi liczb zespolonych, czy ciągi liter - słowa - używane przez informatyków (tam akurat ciągi skończone są równie ważne co nieskończone). A tak naprawdę można zdefiniować ciąg zupełnie dowolnych rzeczy (figur geometrycznych, osób, książek...), ale zwykle nie jest to do niczego potrzebne (przynajmniej w matematyce).
Można się spotkać z notacją, w której wyrazy ciągów są numerowane od 0, a nie od 1. W zastosowaniach nie ma żadnej różnicy - wyrazy ciągu indeksowanego od 1 możemy ,,przesunąć, otrzymując ciąg indeksowany od 0. Wystarczy więc konsekwentnie stosować wybraną notację.
Można też spróbować rozwiązać poniższe problemy. Problemami określamy trochę trudniejsze, często wymagające nietypowego podejścia zadania. Warto nad nimi pomyśleć, żeby lepiej zrozumieć daną dziedzinę, ale nie należy się martwić, jeśli okażą się za trudne.
Problem 1.
Czy zbiór wszystkich liczb całkowitych można ustawić w ciąg?
Problem 2.
Czy zbiór wszystkich liczb wymiernych można ustawić w ciąg?