Wykres homografii

Rozpatrzymy teraz funkcję, która danej liczbie rzeczywistej różnej od zera przypisuje jej odwrotmość. Funkcja ta dana jest wzorem:

$f\left(x\right)=\frac1x.$

Jej wykres wygląda następująco:

i nazywany jest hiperbolą.

Zwróćmy teraz uwagę, że wykorzystując odpowiednie przekształcenia wykresu uzyskamy całą serię wykresów funkcji ściśle związanych z funkcją $f(x)=\frac1x$. Rzeczywiście:

- rozciągając lub ściskając wykres w kierunku poziomym lub pionowym z wykresu funkcji:

$f(x)=\frac{1}{x}$

uzyskamy wykres funkcji

$g(x)=\frac{a}{x}$

dla a>0.

- odbijając symetrycznie względem osi OX lub OY wykres funkcji

$g(x)=\frac{a}{x}$

dostaniemy wykres funkcji

$k(x)=-\frac{a}{x}$.

- przesuwając wykres funkcji

$g(x)=\frac{a}{x}$

o wektor [p;q] otrzymamy wykres funkcji

$h(x)=\frac{a}{x-p}+q$.

Zauważmy, że wzór funkcji h z ostatniego przykładu możemy - poprzez sprowadzenie obu składników sumy do wspólnego mianownika - zapisać w bardziej zwartej postaci ułamka, w którego liczniku oraz mianowniku występują pewne wyrażenia liniowe.

Zadania

Zadanie 3.39. Narysuj wykres funkcji:

a. $f(x)=\frac{1}{2x}$

b. $f(x)=\frac{2}{x}$

Rozwiązanie. W każdym z powyższym przypadków funkcja f nie jest zdefiniowana dla x=0.

a. Do wykresu f należą punkty:

$\left(\frac14,2\right), \left(\frac12,1\right), \left(1,\frac12\right),\left(2,\frac14\right), \left(4;\frac18\right).$

Ponadto do wykresu f należą punkty:

$\left(-\frac14,-2\right), \left(-\frac12,-1\right), \left(-1,-\frac12\right),\left(-2,-\frac14\right), \left(-4;-\frac18\right).$

łączymy punkty każdej gałęzi hiperboli ciągła linią. Zbliżając się do zera od prawej strony, uciekamy w górę, zbliżając się od strony lewej, uciekamy w dół. Wykres wygląda więc następująco:

b. Postępując podobnie jak w punkcie a. uzyskujemy wykresy:

Zadanie 3.40. Narysuj wykres funkcji:

a. $f(x)=-\frac{1}{2x}$ b. $f(x)=-\frac1x$ c. $f(x)=-\frac2x$

Rozwiązanie. Odbijamy wykresy funkcji:

$f(x)=\frac{1}{2x}$, $f(x)=\frac1x$, $f(x)=\frac2x$

względem osi OX (lub OY). Stąd szukane wykresy wyglądają następująco:

Zadanie 3.41. Narysujemy wykres funkcji:

a. $g(x)=\frac{1}{x-2}$

b. $h(x)=\frac{1}{x}+1$

Rozwiązanie. Przesuwamy wykres funkcji:

$f(x)=\frac1x$

o wektor:

a. [2;0]

b. [0;1]

Stąd otrzymujemy wykresy:

Zadanie 3.42. Znajdź wektor, o jaki należy przesunąć wykres funkcji:

$f(x)=\frac{a}{x}$

dla pewnego $a\in \mathbb{R},$ by narysować wykres funkcji:

a. $f(x)=\frac{2x+1}{x-2}$ b. $f(x)=\frac{x-1}{x+3}$

Rozwiązanie. W przypadku a mamy:

$f(x)=\frac{2x+1}{x-2}= \frac{2(x-2)+3}{x-2}=2+\frac{3}{x-2}$

A zatem, aby narysować wykres funkcji f należy wykres fukcji:

$f(x)=\frac{3}{x}$

przesunąć o wektor [2;2]

W przypadku b. mamy

$f(x)=\frac{x-1}{x+3}= \frac{x+3-4}{x+3}=1-\frac{4}{x+3}$

A zatem aby narysować wykres funkcji f należy wykres fukcji:

$f(x)=-\frac{4}{x}$

przesunąć o wektor [-3;1].

Zadanie 3.43. Znajdź najmniejszą wartość funkcji:

$f(x)=\frac{1}{x+1}$

na przedziale [0;3].

Rozwiązanie. Wykres funkcji f jest przesuniętą o wektor [-1;0] hiperbolą

$y=\frac{1}{x}$

A zatem funkcja f jest ściśle malejąca na przedziale $(-1;+\infty)$. Stąd najmniejsza wartość funkcji f na przedziale [0;3] jest równa:

$f(3)=\frac{1}{1+3}=\frac14.$

Zadanie 3.44. Znajdziemy największy przedział zawierający -7, na którym funkcja:

$f(x)=\frac{x-1}{x+1}$

jest rosnąca.

Rozwiązanie. Zauważmy najpierw, że

$f(x)=\frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$

A zatem wykres f powstaje z wykresu funkcji:

$f(x)=-\frac{2}{x+1}$

o wektor [-1;1].

Jasne jest zatem, że f rośnie na przedziale $I=(-\infty; -1).$ Na żadnym większym zbiorze już nie rośnie, bo dla x=-1 nie jest określona, a dla x>-1 przyjmuje wartości ujemne, czyli mniejsze od tych osiąganych na przedziale I.

Zadanie 3.45. Wykaż, że jeśli ad-bc=0, to funkcja

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$

jest funkcją stałą.

Rozwiązanie. Możliwe są dwa przypadki: albo c=0, albo nie.

Przypadek I. Jeśli c=0, to z warunku ad-bc=0 wynika, że a lub d jest równe zero. Liczba d nie może być równa zero, bo wtedy mianownik: cx+d byłby równy zero i wzór nie określałby żadnej funkcji. Jeśli więc c=0, to także a =0 i wtedy:

$f(x)=\frac{b}{d}= const$

Przypadek II. Jeśli z kolei $c\neq 0$, to

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{\frac{a}{c}(cx+d)-\frac{ad}{c}+b}{cx+d}= \frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c(cx+d)}=\frac{a}{c}-0=\frac{a}{c}=const$

Zadanie 3.46. Wykaż, że prosta y=-x+2 ma tylko jeden punkt wspólny z hiperbolą:

$y=\frac{1}{x}$

Rozwiązanie. Rozwiążmy układ równań:

$\left\{\begin{array}{cc} y = & \frac{1}{x} \\ y = & -x +2 \end{array} \right.$

Podstawiając y z drugiego równania do pierwszego, otrzymujemy:

$-x+2=\frac{1}{x}$

Stąd wynika, że

− x² + 2x = 1

czyli

(x − 1)² = 0.

Równanie to ma tylko jedno rozwiązanie: x = 1. Stąd jedyny punkt wspólny hiperboli:

$y=\frac{1}{x}$

i prostej y = − x + 2 to punkt (1;1).

Zadanie 3.47. Znajdź współczynnik kierunkowy prostej, która styka się z hiperbolą:

$y=\frac{1}{x}$

jedynie w punkcie:

$A=\left(s,\frac{1}{s}\right).$

Rozwiązanie. Każda prosta przechodząca przez punkt A ma równanie:

$y=a(x-s)+\frac{1}{s}$

dla pewnej liczby rzeczywistej a. Szukamy zatem takiego a, by równanie

$a(x-s)+\frac{1}{s}=\frac{1}{x}$

miało tylko jedno rozwiązanie (x=s). Stąd, równanie:

$ax^2+\left(\frac{1}{s}-as\right)x-1=0$

musi mieć deltę równą zero:

$\Delta =\left(\frac{1}{s}-as\right)^2+4a = a^2s^2-2a+\frac{1}{s^2}+4a=\left(as+\frac{1}{s}\right)^2=0$

Stąd:

$a=-\frac{1}{s^2}$.

Zadanie 3.48. Wykaż, że prosta y = x jest osią symetrii wykresu funkcji

a. $f(x)=\frac{5}{x}$

b. $g(x)= \frac{5}{x-3}+3.$

Rozwiązanie. Niech punkt (m;s) należy do wykresu f. Wtedy:

$s=\frac{5}{m}$

Wynika stąd, że punkt (s;m), który jest symetryczny do (m;s) względem prostej y=x, także należy do wykresu f, gdyż:

$f(s)=\frac{5}{\frac{5}{m}}=m$

b. Wykres g to wykres funkcji f z podpunktu a przesunięty o wektor [3;3], czyli przesunięty wzdłuż prostej y = x. Skoro wyjściowy wykres jest symetryczny względem prostej y = x, to także po przesunięciu jest on względem niej symetryczny.

Zadanie 3.49. Udowodnij, że wykres funkcji:

$f\left(x\right)=\frac{a}{x-p}+q$

dla $(a\neq0)$ jest symetryczny do wykresu funkcji:

$g\left(x\right)=\frac{a}{x-q}+p$

względem prostej y=x.

Rozwiązanie. Wykres f powstaje z przesunięcia o wektor v=[p;q] wykresu funkcji:

$h(x)=\frac{a}{x}$

Wykres g powstaje z przesunięcia wykresu funkcji h o wektor w=[q;p].

Zauważmy teraz, że:

1) prosta y = x jest osią symetrii wykresu funkcji h (rozumujemy podobnie jak w poprzednim zadaniu) oraz, że

2) wektor v=[p;q] jest symetryczny do wektora w=[q;p] względem prostej y=x.

Weźmy jakikolwiek punkt A należący do wykresu h i niech A' będzie symetrycznym do niego punktem względem prostej y=x.

Jeśli punkt A przesuniemy o wektor v=[p;q], to otrzymamy punkt B należący do wykresu funkcji f.

Jeśli punkt A' przesuniemy o wektor w=[q;p], to otrzymamy punkt B' należący do wykresu g.

Punkty B i B' są jednak symetryczne względem prostej y=x, bo A i A' są względem niej symetryczne podobnie jak wektory v i w.

Zadanie 3.50. Znajdź funkcję g, której wykres jest symetryczny względem prostej y=x do wykresu funkcji:

$f(x)=\frac{5}{x-11}+7$

Rozwiązanie. Z poprzedniego zadania wynika, że

$g(x)=\frac{5}{x-7}+11$

Zadanie 3.51. Wykaż, że dla każdej homografii f istnieje homografia g taka, że dla dla wszystkich x z wyjątkiem, być może, jednego punktu:

$g\left(f(x)\right)=x$

Rozwiązanie. Jeśli f jest funkcją liniową (która nie jest stała! - to zakładaliśmy w definicji homografii), to teza wynika z zadania 3.10.

Jeśli f nie jest liniowa, to da się zapisać w postaci:

$f(x)=\frac{a}{x-p}+q$

i biorąc

$g(x)=\frac{a}{x-q}+p$

otrzymujemy:

$g(f(x))=\frac{a}{\frac{a}{x-p}+q-q}+p=x-p+p=x$

Zadanie 3.52 Znajdź funkcję f taką, że:

$f\left(\frac{2x-1}{x+2}\right) = x$

dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq -2$.

Mamy:

$f\left(\frac{2x-1}{x+2}\right) = \frac{2(x+2)-5}{x+2}=2-\frac{5}{x+2}$

i korzystając z poprzedniego zadania, uzyskujemy:

$g(x)=\frac{5}{x-2}-2$