Funkcja kwadratowa

Kolejną bardzo ważną funkcją jest funkcja, która danej liczbie rzeczywistej x przypisuje jej kwadrat. Funkcja taka dana jest wzorem:

$f\left(x\right)=x^2$.

Jej wykres wygląda następująco:

Przedstawiony powyżej wykres nazywany jest parabolą. Parabola y = x² ma wierzchołek w punkcie (0;0) i oś symetrii o równaniu x=0. Części paraboli odpowiadającą x dodatnim oraz część odpowiadającą x ujemnym nazywamy ramionami paraboli.

Korzystając z przekształceń wykresu opisanych w poprzedniej części, możemy teraz z wykresu funkcji f(x) = x² uzyskać całą serię innych wykresów:

- poprzez rozciąganie i ściskanie wykresu funkcji f(x) = x² otrzymujemy wykresy funkcji postaci g(x) = ax² dla a>0:

- odbicie względem osi OX (lub OY) wykresu funkcji f(x) = ax² dla a>0 daje wykresy funkcji g(x)=ax^2 dla a<0:

- przesunięcie o wektor [p;q] pozwala z wykresu funkcji g(x)=ax^2 uzyskać wykres funkcji h(x) = a(x − p)² + q:

Definicja 4.1. Funkcją kwadratową w postaci kanonicznej nazywamy funkcję postaci: $f\left(x\right)=a(x-p)^2+q.$ gdzie liczby a, p oraz q są rzeczywiste, przy czym a jest różne od zera.

Zauważmy, że zgodnie z twierdzeniem 2.3. wykresem funkcji f(x) = a(x − p)² + q jest parabola y = ax² przesunięta równolegle o wektor [p;q]. Wykres funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej rysuje się więc łatwo.

Jeżeli jednak w postaci kanonicznej funkcji kwadratowej pozbędziemy się nawiasów, to otrzymamy wyrażenie postaci ax² + bx + c, gdzie b oraz c to pewne liczby rzeczywiste.

Definicja 4.2. Funkcją kwadratową w postaci ogólnej nazywamy funkcję postaci: $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$, gdzie a, b i c to liczby rzeczywiste, przy czym a jest różne od zera.

Rysowanie paraboli y = ax² + bx + c jest o wiele trudniejsze niż rysowanie paraboli y = a(x − p)² + q i w gruncie rzeczy udaje się wykonać dopiero wówczas, gdy odpowiednią funkcję kwadratową daną w postaci ogólnej zapiszemy w postaci kanonicznej. Korzystamy w tym celu zwykle ze wzorów skróconego mnożenia. Jeśli okazuje się to zbyt trudne, możemy skorzystać z następującego twierdzenia, które podaje gotowe wzory na współczynniki p oraz q w zależności od wpsółczynników a, b oraz c:

Twierdzenie 4.3. Każda funkcja kwadratowa: $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ da się zapisać w postaci kanonicznej: $f(x)=a\left(x-p\right)^2+q,$ gdzie współczynniki p oraz q dane są wzorami: $p=-\frac{b}{2a}$, $q=-\frac{\Delta}{4a}$, Δ = b2 − 4ac.

Powyższe twierdzenie można zatem zapisać także następująco:

Twierdzenie 4.4. Każda funkcja kwadratowa: $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ da się zapisać w postaci kanonicznej: $f\left(x\right)=a(x-p)^2+q$, gdzie $p=-\frac{b}{2a}$ oraz $q=f\left(p\right)$.

Oprócz postaci kanonicznej i postaci ogólnej niektóre funkcje kwadratowe dane są w postaci iloczynowej.

Definicja 4.5. Funkcja kwadratowa f dana jest w postaci iloczynowej, jeśli zapisana jest następująco: $f\left(x\right)=a(x-x_1)(x-x_2)$, gdzie liczby a, x1 oraz x2 są rzeczywiste.

O tym, czy dana funkcja kwadratowa da się zapisać w postaci iloczynowej, rozstrzyga następujące twierdzenie.

Twierdzenie 4.6. Niech dana będzie funkcja kwadratowa: $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ Jeśli funkcja f ma dwa różne pierwiastki x1 oraz x2, to można ją zapisać w postaci iloczynowej: $f\left(x\right)=a(x-x_1)(x-x_2)$ Jeśli f ma jeden pierwiastek równy x1 to da się zapisać w postaci: $f\left(x\right)=a(x-x_1)^2$ Jeśli f nie ma pierwiastka, to nie da się zapisać w postaci iloczynowej.

Zadanie 3.17. Naszkicuj wykres funkcji:

a. $f(x)=\frac14 x^2$

b. $f(x)=\frac12 x^2$

c. $f\left(x\right)= 2x^2$

d. $f\left(x\right)=4x^2$

Rozwiązanie. a. Obliczamy wartości funkcji dla kilku liczb np. dla x=-2, x=-1, x=0, x=1 oraz x=2. Wnioskujemy stąd, że punkty

$\left(-2;1\right)$, $\left(-1;\frac14\right),$ $\left(0;0\right)$, $(1;\frac14),$ $(\left(2;1\right)$

należą do wykresu funkcji f. Łączymy te punkty ciągła linią tak, by przypominała ona kształtem parabolę.

W punktach b, c oraz d, postępujemy podobnie jak w punkcie a, uzyskując ostatecznie wykresy:

Zauważmy, że we wszystkich przypadkach narysowane parabole mają ramiona skierowane do góry. Ponadto wraz ze wzrostem wartości a, ramiona stają się coraz węższe.

Zadanie 3.18. Naszkicuj wykresy funkcji:

a. $f(x)=-\frac14 x^2$

b. $f(x)=-\frac12 x^2$

b. $f\left(x\right)=-2x^2$

c. $f\left(x\right)=-4x^2$

Rozwiązanie. Wykresy funkcji wyglądają następująco:

Zauważmy, że wszystkie parabole mają ramiona ramiona skierowane w dół. Jest tak zawsze, gdy współczynnik a jest ujemny.

Zadanie 3.19. Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli

$y=2\left(x-7\right)^2+6.$

Rozwiązanie. Parabola:

$y=2\left(x-7\right)^2+6$

jest parabolą y = 2x² przesuniętą o wektor [7;6]. A zatem jej wierzchołek znajduje się w punkcie (7;6).

Zadanie 3.20. Narysuj wykresy funkcji:

a. $f\left(x\right)= (x+1)^2-1$ b. $g\left(x\right)=-2(x-4)^2+3$

Rozwiązanie. a. wykresem funkcji f jest parabola y = x² przesunięta o wektor [-1;-1].

b. wykresem funkcji g jest parabola y = − 2x² przesunięta o wektor [4;3].

Wykresy funkcji f i g są zatem następujące:

Zadanie 3.21. Naszkicuj wykres funkcji

a. $f\left(x\right)=x^2+2x-3$ b. $g\left(x\right)=2x^2+8x+9$

Rozwiązanie. Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, mamy:

a. $f\left(x\right)=x^2+2x-3=(x^2+2x+1)-1-3=(x+1)^2-4$ b. $g\left(x\right)=2x^2+8x-2=2(x^2+4x+4)-2\cdot4+9=2(x+2)^2+1$

A zatem wykresy funkcji f oraz g wyglądają następująco:

Zadanie 3.22. Naszkicuj wykres funkcji:

$f\left(x\right)=3x^2-12x+1$

Rozwiązanie. Wykresem funkcji f jest parabola y = 3x² przesunięta o pewien wektor [p;q]. Korzystając z twierdzenia 4.3. mamy:

$p=-\frac{-12}{2\cdot3}=2,$ $q=f\left(2\right)=3\cdot 2^2-12\cdot2+1=-11.$

Stąd:

$f\left(x\right)=3(x-2)^2-11$

i wykres f wygląda następująco:

Zadanie 3.23. Znajdź przedziały, na których wykres funkcji:

$f\left(x\right)=x^2+3x+7$

leży ponad wykresem funkcji

$g\left(x\right)=-2x+1$.

Rozwiązanie. Mamy:

$f(x)>g(x) \Leftrightarrow x^2+3x+7>1-2x \Leftrightarrow x^2+5x+6> 0 \Leftrightarrow(x+2)(x+3) > 0$

Mamy zatem rozwiązać nierówność:

$\left(x+2\right)(x+3)>0$.

Rozpatrzmy parabolę:

$y=\left(x+2\right)(x+3).$

Ma ona miejsca zerowe: -2 oraz -3. Jej ramiona są skierowane w górę. Leży więc ona zawsze ponad osią OX z wyjątkiem przedziału [-3;-2]. Stąd:

$(x+2)(x+3)>0\Leftrightarrow x<-3$ lub x > − 2

Wykres funkcji f leży zatem ponad wykresem funkcji g na przedziale: $(-\infty; -3)$ oraz $(-2;+\infty).$

Zadanie 3.24. Znajdź oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej:

$f\left(x\right)=(x+1)(x-3)$.

Rozwiązanie. Ze wzoru odczytujemy natychmiast pierwiastki funkcji f: są to liczby -1 oraz 3. Pierwiastki muszą być symetrycznie położone względem osi symetrii wykresu, a zatem oś symetrii musi mieć równanie x=c, gdzie c leży dokładnie w połowie odcinka o końcach (-1;3). Stąd:

$c=\frac{-1+3}{2}=1$

i szukana oś symetrii ma równanie: x=1.

Zadanie 3.25. Naszkicuj wykres funkcji: f(x) = (x − 1)(x − 3).

Rozwiązanie. I sposób. Rozwijamy:

$f\left(x\right)= (x-1)(x-3)=x^2-4x+3$

i rysujemy wykres tak, jak w poprzednich przypadkach.

II sposób. Rozumując podobnie jak w poprzednim zadaniu zauważamy, że oś symetrii wykresu to prosta x=2. Ponieważ:

$f\left(2\right)=(2-1)(2-3)=-1,$

więc wierzchołek paraboli:

$y=\left(x-1\right)(x-3)=x^2-4x+3$

leży w punkcie (2;-1). Parabola ta jest oczywiście przesuniętą parabolą y = x².

Wykres wygląda zatem następująco:

Zadanie 3.26. Wykaż, że największa wartość funkcji:

$f\left(x\right)=4x-x^2$

jest równa 4.

Rozwiązanie. I sposób. Standardowo znajdujemy współrzędne wierzchołka paraboli i szkicujemy wykres f. Widzimy, że najmniejsza wartość jest równa 4.

II sposób. Dowolnym sposobem sprowadzamy funkcję f do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=4x-x^2=-(x-2)^2+4$

Widać, że $f(x)\geq 4.$ Ponadto f(2) = 4. Zatem 4 jest największą z wartości funkcji f.

Zadanie 3.27. Wykaż, że funkcja

$f\left(x\right)=x^2$

jest rosnąca na przedziale $[0;+\infty)$.

Zadanie 3.28. Znajdź największy przedział, na którym funkcja:

$f\left(x\right)=x^2+4x+3$

jest ściśle rosnąca.

Rozwizanie. Mamy

$f\left(x\right)=x^2+4x+3=(x+2)^2 -1$.

A zatem wykresem funkcji f jest parabola y = x² przesunięta o wektor [-2;-1]. Stąd f jest ściśle rosnąca na przedziale $[-2;+\infty).$

Zadanie 3.29. Naszkicuj wykres funkcji:

$f\left(x\right)=|x^2+6x+8|-1$

i znajdź jej wszystkie miejsca zerowe.

Rozwiązanie. Najpierw zapisujemy w postaci kanonicznej funkcję:

$g\left(x\right)=x^2+6x+8=(x+3)^2-1$

i rysujemy jej wykres. Następnie rysujemy wykres funkcji h(x)=|g(x)| i na koniec wykres samej funkcji f(x) = h(x) − 1.

Zadanie 3.30. Wykres funkcji:

$f\left(x\right)=x^2-6x+8$

odbito symetrycznie względem punktu A=(1;1), otrzymując wykres funkcji g. Jaki wzór ma ta funkcja?

Parabola

$y=x^2+5x+6=\left(x-3\right)^2-1$

ma wierzchołek w punkcie P=(3;-1). Punkt B symetryczny do punktu P względem punktu A ma współrzędne:

$B=\left(1-2;1+2\right)=(-1;3).$

Odbicie symetryczne względem punktu to po prostu obrót o kąt półpełny wokół tego punktu. Wykresem funkcji g jest więc parabola y = x² odwrócona "do góry nogami" i o wierzchołku w punkcie (-1;3). Funkcja g dana jest więc wzorem:

$g\left(x\right)=-(x+1)^2+3$,

a całą sytuację przedstawia rysunek:

Zadanie 3.31. Udowodnij twierdzenie 4.3.

Rozwiązanie. Mamy:

$ax^2+bx+c=a\left (x^2+2\cdot \frac{b}{2a}\cdot x\right) +c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-a\frac{b^2}{4a^2}+c$ $=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$

Zadanie 3.32. Udowodnij twierdzenie 4.4., korzystając z twierdzenia 4.3.

Rozwiązanie. Zauważamy, że:

$f\left(p\right)=a(p-p)^2+q=q$.

Twierdzenie 4.4. wynika już teraz bezpośrednio z twierdzenia 4.3.

Zadanie 3.33. Udowodnij twierdzenie 4.6.

Rozwiązanie. Zapiszmy funkcję f w postaci kanonicznej:

$f(x)=ax^2+bx+c=a\left(x-\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}$

Jeśli funkcja f ma przynajmniej jeden pierwiastek, to

$\Delta\geq 0$

i w konsekwencji:

$a\left(x-\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}= a\left[\left(x-\frac{b}{2a}\right)^2- \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right]=a(x-x_1)(a-x_2),$

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy wzór na różnicę kwadratów oraz wzór na pierwiastki równania kwadratowego. Gdy Δ = 0, to x₁ = x₂.

Jeśli z kolei Δ < 0, to pierwiastków f w ogóle nie ma i zapis w postaci iloczynowej jest niemożliwy, gdyż funkcja:

$f\left(x\right)=a(x-x_1)(x-x_2)$

ma niewątpliwie pierwiastek równy x₁.

Zadanie 3.34. Znajdź prostą, która dotyka paraboli y = x² w punkcie (1;1) i poza tym punktem nie ma z nią innych punktów styczności.

Rozwiązanie. Na początek zauważamy, że prosta, która nie jest równoległa do osi OY i przechodzi przez punkt (1;1) ma równanie y = ax + (1 − a). Chcemy, by ta prosta stykała się z odpowiednią parabolą tylko w jednym punkcie, tzn. żeby układ równań:

$\left \{ \begin{array}{cc} y = & ax+1-a \\ y = & x^2 \\ \end{array} \right.$

miał dokładnie jedno rozwiązanie. Aby tak było równanie

x² = ax − a + 1

musi mieć dokładnie jedno rozwiązanie. Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:

x² − ax + (a − 1) = 0

i obliczamy deltę. Jak wiadomo, aby równanie kwadratowe miało dokładnie jedno rozwiązanie, delta musi być równa zero:

$\Delta=a^2-4a+4=0\Leftrightarrow (a-2)^2=0\Leftrightarrow a=2.$

A zatem szukana prosta ma równanie:

y = 2x − 1

Zauważmy, że jest to prosta najlepiej przylegająca do paraboli y = x² w punkcie (1;1). Możemy powiedzieć, że w okolicy tego punktu funkcja kwadratowa rośnie podobnie jak prosta y = 2x − 1.

Zadanie 3.35. Znajdź współczynnik kierunkowy prostej, która dotyka paraboli y = x² w punkcie (s,s²) i poza tym punktem nie ma z nią innych punktów styczności.

Rozwiązanie. Jeśli prosta y = ax + b przechodzi przez punkt (s,s²), to

s² = as + b,

więc

b = s² − as.

Stąd nasza prosta ma równanie y = ax + s² − as. Chcemy, by ta prosta stykała się z parabolą y = x² tylko w jednym punkcie, tzn. żeby układ równań:

$\left \{ \begin{array}{cc} y = & ax+s^2-as \\ y = & x^2 \\ \end{array} \right.$

miał dokładnie jedno rozwiązanie. Aby tak było równanie

x² = ax + s² − as

musi mieć dokładnie jedno rozwiązanie. Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:

x² − ax − (s² − as) = 0

i obliczamy deltę:

$\Delta=a^2+4s^2-4as=0\Leftrightarrow (a-2s)^2=0\Leftrightarrow a=2s.$

A zatem szukany współczynnik kierunkowy jest równy 2s.

Zadanie 3.36. Znajdziemy zbiór wszystkich tych punktów, które są wierzchołkami pewnej paraboli o równaniu:

y = x² + 2x + c

Rozwiązanie. Dla c = 0 uzyskujemy parabolę y = x² + 2x o osi symetrii x = − 1. Zmieniając parametr c przesuwamy tę parabolę o wektor [0;c]. A zatem zbiór wierzchołków tak przesuwanych parabol to prosta o równaniu x = − 1.

Współczynnik c odpowiedzialny jest zatem za przesuwanie wykresu wzdłuż jego osi symetrii.

Zadanie 3.37. Znajdziemy zbiór wszystkich tych punktów, które są wierzchołkami pewnej paraboli o równaniu:

y = x² + 2bx + 1

Rozwiązanie. Zauważmy, że dla danego b wierzchołek paraboli

y = x² + 2bx + 1

leży w punkcie o współrzędnych (p,q), gdzie

$p = -\frac{2b}{2}$

oraz

$q=f\left(p\right)=b^2-2b^2+1=-b^2+1$

Każdy punkt postaci:

$\left(-b; -b^2+1\right)$

dla pewnego b leży na paraboli y = − x² + 1. Ponieważ b może być dowolną liczbą rzeczywistą, więc zbiór wierzchołków rozważanych parabol tworzy parabolę o równaniu:

y = − x² + 1.

Widzimy zatem, że współczynnik b jest odpowiedzialny za przesuwanie wykresu funkcji kwadratowej wzdłuż pewnej paraboli.

Zadanie 3.38. Znajdziemy zbiór wszystkich tych punktów, które są wierzchołkami pewnej paraboli o równaniu:

y = ax² + x + 1

Rozwiązanie. Wierzchołek paraboli y = ax² + x + 1 leży w punkcie (p,q), gdzie

$p=-\frac{1}{2a}$

oraz

$q= f\left(p\right)=a\cdot \frac{1}{4a^2}-\frac{1}{2} a+1=-\frac14\frac{1}{a}+1=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2a}\right)+1$

Zależność między p oraz q możemy więc przedstawić następująco:

$q=\frac{1}{2}p+1$

Zbiór wierzchołków parabol postaci y = ax² + x + 1 to zatem prosta:

$y=\frac12 x+1$

z wyjątkiem punktu (0,0) - gdyż p jest zawsze różne od zera. Zauważmy przy tym, że parabole rozważanej postaci mają ramiona tym bardziej rozłożone im dalej ich wierzchołek leży od punktu (0;0). Współczynnik a pełni więc w rozważanym przykładzie dwojaką funkcję: zmienia rozwartość ramion parabol i przesuwa je wzdłuż pewnej prostej.