Przypomnijmy z poprzedniego rozdziału wzór wyrażający liczbę elementów sumy dwóch zbiorów w przypadku ogólnym:
|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|.
Zasada włączeń i wyłączeń dla trzech zbiorów
Podobnym wzorem wyraża się liczba elementów sumy trzech zbiorów:
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A∩B∩C|.
|
Wzór ten nosi nazwę zasady włączeń i wyłączeń lub wzoru włączeń i wyłączeń. Nazwa ta bierze się stąd, że liczbę po prawej stronie otrzymujemy,,włączając” do niej trzy liczby | A | , | B | i | C | , potem,,wyłączając” z niej liczby |A∩B| , |A∩C| i |B∩C| i wreszcie,,włączając” do niej liczbę |A∩B∩C| .
Spróbujmy policzyć elementy sumy A∪B∪C . Najpierw liczymy elementy zbioru A , potem elementy zbioru B i wreszcie elementy zbioru C . Otrzymane liczby dodajemy. Mamy więc na razie wynik | A | + | B | + | C | . Teraz zauważamy, że pewne elementy liczyliśmy dwukrotnie: jeśli x∈A∩B , to element x był policzony dwukrotnie, raz jako element zbioru A i raz jako element zbioru B . Musimy więc odjąć od wyniku liczbę |A∩B| . Podobnie musimy odjąć liczby |A∩C| i |B∩C| . To jednak jeszcze nie koniec. Zauważamy, że jeśli x jest elementem wszystkich zbiorów, to najpierw był policzony trzykrotnie: raz jako element zbioru A , raz jako element zbioru B i raz jako element zbioru C . Ale potem trzykrotnie policzyliśmy go jako element zbiorów A∩B , A∩C i B∩C . W naszym dotychczasowym wyniku element x trzykrotnie uwzględniliśmy, potem trzykrotnie się go pozbyliśmy. Trzeba więc jeszcze raz go dodać. Stąd wynika, że do wyniku należy dodać liczbę |A∩B∩C| i w ten sposób otrzymujmy prawą stronę wzoru.
Zasada włączeń i wyłączeń: przypadek ogólny
Podobny wzór zachodzi również dla większej liczby zbiorów. Dla czterech zbiorów można jeszcze spróbować go wypisać.
Zasada włączeń i wyłączeń: przypadek czterech zbiorów
|A∪B∪C∪D|=|A|+|B|+|C|+|D|−−|A∩B|−|A∩C|−|A∩D|−|B∩C|−|B∩D|−|C∩D|++|A∩B∩C|+|A∩B∩D|+|A∩C∩D|+|B∩C∩D|−−|A∩B∩C∩D|.
|
Dla większej liczby zbiorów wypisanie odpowiedniego wzoru jest jeszcze bardziej uciążliwe. Widać jednak tę samą, jasną zasadę:
Reguła doboru znaków po prawej stronie wzoru włączeń i wyłączeń Ze znakiem + są brane liczby elementów zbiorów, potem ze znakiem − są brane liczby elementów iloczynów po dwa zbiory, ze znakiem + liczby elementów iloczynów po trzy zbiory, ze znakiem − liczby elementów iloczynów po cztery zbiory i tak dalej, aż do wyczerpania wszystkich możliwości.
|
Typowy przykład
Pokażemy dwa przykłady zadań, w których można wykorzystać zasadę włączeń i wyłączeń. Oto pierwszy z nich
Zadanie 1.3.1: W klasie liczącej 33 osoby 17 uczniów uczy się języka włoskiego, 17 uczniów uczy się języka hiszpańskiego i 15 uczniów uczy się języka portugalskiego. Wśród nich 7 uczniów uczy się dwóch języków: włoskiego i hiszpańskiego, 9 uczniów uczy się języka włoskiego i portugalskiego oraz 6 uczniów uczy się języka hiszpańskiego i portugalskiego. Wreszcie 2 uczniów uczy się tych trzech języków. Ilu uczniów nie uczy się żadnego z tych języków?
|W|=17,|H|=17,|P|=15,|W∩H|=7,|W∩P|=9,|H∩P|=6,|W∩H∩P|=2.
Z zasady włączeń i wyłączeń wynika, że
|W∪H∪P|=17+17+15−7−9−6+2=29.
A zatem 4 uczniów nie uczy się żadnego z tych języków.
∎
To zadanie można też rozwiązać, nie odwołując się do zasady włączeń i wyłączeń. Wprowadzimy parę nowych pojęć i oznaczeń, i pokażemy, jak można zasadę włączeń i wyłączeń zastąpić odpowiednio wykonanymi rysunkami.
Zbiór, przestrzeń, dopełnienie, składowe. Jak robić rysunki?
Przypuśćmy, że rozważamy wyłącznie zbiory zawarte w pewnym ustalonym zbiorze X. Zbiór X nazywamy wtedy przestrzenią. Jeśli mamy zbiór A zawarty w przestrzeni X , tzn. A⊆X , to zbiór X∖A nazywamy dopełnieniem (lub uzupełnieniem) zbioru A (czasem dodajemy słowa "do przestrzeni X", dla zaznaczenia, jaką przestrzeń rozważamy) i oznaczamy symbolem A'.
Zauważmy, że różnica zbiorów A i B wyraża się łatwo za pomocą iloczynu i dopełnienia: A∖B=A∩B′.
Przypuśćmy teraz, że mamy dane dwa zbiory A i B zawarte w przestrzeni X.
Często robimy schematyczny rysunek takich zbiorów. Będziemy mówić, że naszkicowane zbiory A i B są w położeniu ogólnym, jeśli na rysunku są uwidocznione cztery obszary odpowiadające zbiorom A∩B , A∩B′ , A′∩B i A′∩B′ .
Tak więc na rysunku obok zbiory A i B zostały przedstawione właśnie w położeniu ogólnym. Na tym rysunku zbiory A i B zostały narysowane jako dwa przecinające się okręgi, dzielące płaszczyznę na cztery obszary. Liczby wpisane wewnątrz tych obszarów wskazują, który z czterech zbiorów A∩B , A∩B′ , A′∩B i A′∩B′ odpowiada danemu obszarowi:
1:A∩B,2:A∩B′,3:A′∩B,4:A′∩B′.
Zbiory A∩B , A∩B′ , A′∩B i A′∩B′ nazywamy składowymi zbiorów A i B .
Natomiast na rysunkach obok zbiory A i B nie są przedstawione w położeniu ogólnym.
Dlaczego?
Na lewym z tych rysunków nie jest zaznaczony obszar odpowiadający zbiorowi A∩B.
Na prawym rysunku nie ma obszaru, który odpowiadałby zbiorowi A′∩B.
Podobnie mówimy, że trzy zbiory A , B i C są narysowane w położniu ogólnym, jeśli zaznaczone są obszary odpowiadające ośmiu składowym:
A∩B∩C,A∩B∩C′,A∩B′∩C,A∩B′∩C′,A′∩B∩C,A′∩B∩C′,A′∩B′∩C,A′∩B′∩C′.
Na poniższym rysunku widzimy trzy zbiory naszkicowane w położeniu ogólnym:
Zbiory A, B i C zostały ponownie przedstawione jako trzy przecinające się okręgi, dzielące płaszczyznę na osiem obszarów, które odpowiadają składowym. Liczby wpisane wewnątrz tych ośmiu obszarów wskazują, której składowej odpowiada dany obszar:
1:A∩B∩C,2:A∩B∩C′,3:A∩B′∩C,4:A∩B′∩C′,5:A′∩B∩C,6:A′∩B∩C′,7:A′∩B′∩C,8:A′∩B′∩C′.
Natomiast na rysunku
trzy zbiory A , B i C nie są narysowane w położeniu ogólnym, gdyż jedna z ośmiu składowych nie została uwidoczniona.
Zauważmy jeszcze, że składowe są zbiorami parami rozłącznymi (tzn. każde dwie składowe są rozłączne) i w sumie dają całą przestrzeń X .
Kolejne przykłady
Przypomnijmy ostatnie zadanie.
Zadanie 1.3.2: W klasie liczącej 33 osoby 17 uczniów uczy się języka włoskiego, 17 uczniów uczy się języka hiszpańskiego i 15 uczniów uczy się języka portugalskiego. Wśród nich 7 uczniów uczy się dwóch języków: włoskiego i hiszpańskiego, 9 uczniów uczy się języka włoskiego i portugalskiego oraz 6 uczniów uczy się języka hiszpańskiego i portugalskiego. Wreszcie 2 uczniów uczy się tych trzech języków. Ilu uczniów nie uczy się żadnego z tych języków?
W obszary odpowiadające składowym wpisujemy liczby elementów tych składowych. Zaczynamy od składowej W∩H∩P: wpisujmy w odpowiadający jej obszar liczbę 2, gdyż 2 uczniów uczy się wszystkich trzech języków.
Następnie w obszar odpowiadający składowej W∩H∩P′ wpisujemy liczbę 5. Dlaczego? Otóż,
(W∩H∩P)∪(W∩H∩P′)=W∩H.
Wiemy, że zbiór W∩H ma 7 elementów, przy czym 2 z nich należą do składowej W∩H∩P. Zatem składowa W∩H∩P′ musi mieć 5 elementów.
W podobny sposób stwierdzamy, że
|W′∩H∩P|=4oraz|W∩H′∩P|=7.
Obie liczby wpisujemy w odpowiednie obszary.
Wreszcie, w analogiczny sposób obliczamy, ile elementów mają składowe W∩H′∩P′ , W′∩H∩P′ oraz W′∩H′∩P.
Po wpisaniu wszystkich liczb w odpowiednie obszary dostajemy rysunek, któy został przedstawiony obok. Teraz wystarczy zauważyć, że wszystkie wpisane liczby dają w sumie 29, a więc składowa W′∩H′∩P′ ma 33 − 29 = 4 elementy.
∎
Zadanie 1.3.3: W klasie liczącej 31 osób 18 uczniów uczy się języka włoskiego, 16 uczniów uczy się języka hiszpańskiego i 12 uczniów uczy się języka portugalskiego. Wśród nich 7 uczniów uczy się dwóch języków: włoskiego i hiszpańskiego, 9 uczniów uczy się języka włoskiego i portugalskiego oraz 5 uczniów uczy się języka hiszpańskiego i portugalskiego. Wreszcie 3 uczniów nie uczy się żadnego z tych trzech języków. Ilu uczniów uczy się wszystkich języków?
Rozwiązanie:
To zadanie można łatwo rozwiązać za pomocą zasady włączeń i wyłączeń. Mamy bowiem
|W∪H∪P|=|W|+|H|+|P|−|W∩H|−|W∩P|−|H∩P|+|W∩H∩P|==18+16+12−7−9−5+|W∩H∩P|=25+|W∩H∩P|.
Ponieważ 3 uczniów nie uczy się żadnego języka, więc
|W∪H∪P|=31−3=28.
Zatem
28=25+|W∩H∩P|,
skąd wynika, że wszystkich trzech języków uczy się 3 uczniów.
∎
Pokażemy teraz rozwiązanie korzystające ze składowych.
Znów robimy schematyczny rysunek, na którym zaznaczamy zbiory W, H i P w położeniu ogólnym. W polu odpowiadającym składowej W∩H∩P wpisujemy niewiadomą x.
W pola odpowiadające składowym W∩H∩P′ , W∩H′∩P oraz W′∩H∩P wpisujemy odpowiednio 7 − x , 9 − x oraz 5 − x. Dlaczego? Chodzi o to, aby każdy z trzech iloczynów W∩H, H∩P i W∩P miał odpowiednią liczbę elementów.
Teraz w pola odpowiadające składowym W∩H′∩P′ , W′∩H∩P′ oraz W′∩H′∩P wpisujemy odpowiednio x + 2, x + 4 i x − 2.
Wiemy też, że zewnętrzna składowa W′∩H′∩P′ ma 3 elementy. Dodając wpisane na rysunku liczby do tej trójki, otrzymamy równanie
x+(7−x)+(5−x)+(9−x)+(x+2)+(x+4)+(x−2)+3=31.
Jego rozwiązaniem jest liczba 3, a więc trzech uczniów uczy się wszystkich języków.