Processing math: 100%
Skip to Content

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

śr., 09/15/2010 - 14:01 — ciebie

Definicja 3.1

Niech a będzie liczbą rzeczywistą różną od 0,n∈C+. Potęgą o wykładniku −n liczby a nazywamy liczbę 1an, tzn. a−n=1an.
Przykłady:

  1. 2−5=125=132,
  2. (23)4= 1(23)4= 12434= 3424= 8116,
  3. 1−3=113=1,
  4. (−1)−15=1(−1)15=−1,
  5. jeśli n jest parzystą liczbą dodatnią, to (−1)−n=1(−1)n=11=1, jeśli n jest nieparzystą liczbą dodatnią, to (−1)−n=1(−1)n=1−1=−1,
  6. (16)−10=1(16)10=11610=610.

Przykłady (6) i (2) sugerują możliwość sformułowania następującego twierdzenia.
Twierdzenie 3.2: Niech a,b będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi różnymi od zera, n dowolną liczbą całkowitą dodatnią. Wówczas

  1. (1a)−n=an,
  2. (ab)−n=(ba)n.

Dowód:

  1. (1a)−n=1(1a)n=11an=an,
  2. (ab)−n= 1(ab)n= 1anbn= bnan= (ba)n.

Połączone Definicje 1.1 , 2.1 i 3.1 określają potęgę o wykładniku całkowitym dla dowolnej podstawy rzeczywistej różnej od zera. Własności potęgi o wykładniku całkowitym dodatnim przenoszą się na przypadek wykładników całkowitych dla podstaw różnych od zera.
Twierdzenie 3.3: Niech a i b będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi różnymi od zera, zaś m,n dowolnymi liczbami całkowitymi. Wówczas

  • a) an⋅am=an+m,
  • b) anam=an−m,
  • c) (a⋅b)n=an⋅bn,
  • d) (ab)n=anbn,
  • e) (an)m=an⋅m.

Dowód: Dowód Twierdzenia 3.3 jest bardzo żmudny, gdyż potęgę o wykładniku całkowitym definiuje się w trzech krokach. Trzeba zatem, dowodząc każdej własności, rozpatrzeć kilka przypadków. Wytłumaczymy to na przykładzie własności (a). Udowodnimy, że jeśli a≠0 i m oraz n są dowolnymi liczbami całkowitymi, to an⋅am=an+m.

  • 1. Jeśli n∈C+ i m∈C+, to równość an⋅am=an+m jest tezą Twierdzenia 1.4 (a) i została już uzasadniona. Pozostaje rozpatrzeć przypadki:
  • 2. n∈C+ i m=0 lub n=0 i m∈C+,
  • 3. n=0 i m=0,
  • 4. n∈C− i m=0 lub n=0 i m∈C−,
  • 5. n∈C− i m∈C−,
  • 6. n∈C+ i m∈C− lub n∈C−i m∈C+.
  • Ad 2. Jeśli n∈C+ i m=0, to an⋅a0=an⋅1=an=an+0.
  • Równości zapisane w dowodzie przypadku 2 można powtórzyć w dowodzie przypadku 4.
  • Ad 3. Jeśli n=0 i m=0, to a0⋅a0=1⋅1=1=a0=a0+0.
  • Ad 5. Jeśli n∈C− i m∈C−, to n=−(−n),m=−(−m) i −n>0,−m>0. Zatem an⋅am= a−(−n)⋅a−(−m)= 1a−n⋅1a−m= 1a−n⋅a−m= 1a(−n)+(−m)= 1a−(n+m)= =a−(−(n+m))=an+m.
  • Ad 6. Niech n∈C+,m∈C−. Rozważamy trzy sytuacje: (i) n+m>0,     (ii) n+m=0,     (iii) n+m<0.
    • (i) Jeżeli n+m>0, to n=(n+m)+(−m) i −m>0,n+m>0. Zatem an⋅am=an+m+(−m)⋅am=an+m⋅a(−m)⋅am=an+m⋅a(−m)⋅1a(−m)=an+m.
    • (ii) Jeżeli n+m=0, to m=−n<0. Wówczas an⋅am=an⋅a−n=an⋅1an=1=a0=an+m.
    • (iii) Jeżeli n+m<0, to −m=n+(−(m+n)) i n>0. Zatem an⋅am= an⋅1a−m= an⋅1an+(−(m+n))= an⋅1an⋅a−(m+n)= an⋅1an⋅1a−(m+n)= a−(−(m+n))=am+n.

Zadanie 3.4 Podaj przykłady liczbowe ilustrujące każdą z własności wymienionych w Twierdzeniu 3.3 . Rozwiązanie: Odpowiedź mogłaby być następująca:

  1. (34)5⋅(34)−7= (34)5+(−7)= (34)−2= 169, (−0,2)−8⋅(−0,2)10=(−0,2)−8+10=(−0,2)2=0,04, 2−500⋅2−300=2−500+(−300)=2−800,
  2. 4548=45−8=4−3=164, 4−54−8=4−5−(−8)=43=64, 454−8=45−(−8)=413, 4−548=4−5−8=4−13,
  3. (37⋅0,18)−5=(37)−5⋅(0,18)−5,
  4. (0,0120)−2= (0,01)−2(20)−2= 100001400= 4⋅106,
  5. (35)−7=35⋅(−7)=3−35, ((−2)−3)4=(−2)−12=2−12.

∎ Uwaga 3.5 Operacje na potęgach całkowitych można wykonywać na różne sposoby. Oto przykłady rachunków:

  • (1) 2−42−5⋅4⋅8−2= 124125⋅22⋅182= 124123⋅1(23)2= 124⋅23⋅126=23210= 127,
  • (2) 2−42−5⋅4⋅8−2=2−42−5⋅22⋅(23)−2= 2−42−3⋅2−6=2−4−(−3)−6=2−7,
  • (3) 2−42−5⋅4⋅8−2= 2−42−5⋅22⋅(23)−2=2−4−(−5)−2−6=25−12=2−7.

W rachunku (1) skorzystaliśmy tylko z Definicji 3.1 i Twierdzenia 1.4 . W rachunkach (2) i (3) skorzystaliśmy kilka razy z Twierdzenia 3.3 . We wszystkich rachunkach wyniki zapisaliśmy na początku przy pomocy potęg podstawy 2, ale w (1) operowaliśmy tylko potęgami z wykładnikami dodatnimi, podczas gdy w dwóch następnych używaliśmy potęg z wykładnikami zarówno dodatnimi jak i ujemnymi. ∎ Zadanie 3.6 Wykonaj działania korzystając z Twierdzenia 3.2 . Unikaj ułamków piętrowych.

  1. (3−2⋅25)−4⋅(33⋅2−7)2,
  2. (4−3⋅5)−3(42⋅5−3)2,
  3. (23⋅5−26−3)2:(10−162⋅3−1)3.

Rozwiązanie:

  1. (3−2⋅25)−4⋅(33⋅2−7)2= (3−2)−4⋅(25)−4⋅(33)2⋅(2−7)2= 38⋅2−20⋅36⋅2−14= 2−20−14⋅38+6= 2−34⋅314.
  2. (4−3⋅5)−3(42⋅5−3)2= (4−3)−3⋅5−3(42)2⋅(5−3)2= 49⋅5−344⋅5−6= 49−4⋅5−3−(−6)= 45⋅53.
  3. (23⋅5−26−3)2:(10−162⋅3−1)3= (23)2⋅(5−2)2(6−3)2:(10−1)3(62)3⋅(3−1)3= 26⋅5−46−6:10−366⋅3−3= 26⋅5−4(2⋅3)−6⋅66⋅3−310−3= 26⋅5−42−6⋅3−6⋅(2⋅3)6⋅3−3(2⋅5)−3= 26⋅5−42−6⋅3−6⋅26⋅36⋅3−32−3⋅5−3= 26+6−(−6)−(−3)⋅3−(−6)+6−3⋅5−4−(−3)= 221⋅39⋅5−1.

∎



Theme by Dr. Radut.