Skip to Content

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

śr., 09/15/2010 - 14:01 — ciebie

Definicja 3.1

Niech \(a\;\) będzie liczbą rzeczywistą różną od \(0, n \in \mathrm{C}_+\;\). Potęgą o wykładniku \(-n\;\) liczby \(a\;\) nazywamy liczbę \(\frac{1}{a^n},\;\) tzn. \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}.\)
Przykłady:

  1. \(2^{-5}=\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32},\;\)
  2. \(\left(\frac{2}{3}\right)^4=\) \(\frac{1}{\left(\frac{2}{3}\right)^4} =\) \(\frac{1}{\frac{2^4}{3^4}} =\) \(\frac{3^4}{2^4}=\) \(\frac{81}{16},\;\)
  3. \(1^{-3}=\frac{1}{1^3}=1,\;\)
  4. \((-1)^{-15}=\frac{1}{(-1)^{15}}=-1,\;\)
  5. jeśli \(n\;\) jest parzystą liczbą dodatnią, to \((-1)^{-n}=\frac{1}{(-1)^n}=\frac{1}{1}=1,\;\) jeśli \(n\;\) jest nieparzystą liczbą dodatnią, to \((-1)^{-n}=\frac{1}{(-1)^n}=\frac{1}{-1}=-1,\;\)
  6. \(\left(\frac{1}{6}\right)^{-10}=\frac{1}{\left(\frac{1}{6}\right)^{10}} =\frac{1}{\frac{1}{6^{10}}}=6^{10}.\;\)

Przykłady (6) i (2) sugerują możliwość sformułowania następującego twierdzenia.
Twierdzenie 3.2: Niech \(a,b\;\) będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi różnymi od zera, \(n\;\) dowolną liczbą całkowitą dodatnią. Wówczas

  1. \(\left(\frac{1}{a}\right)^{-n}=a^n,\;\)
  2. \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n.\;\)

Dowód:

  1. \(\left(\frac{1}{a}\right)^{-n}=\frac{1}{\left(\frac{1}{a}\right)^n} =\frac{1}{\frac{1}{a^n}}=a^n,\;\)
  2. \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\) \(\frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n} =\) \(\frac{1}{\frac{a^n}{b^n}}=\) \(\frac{b^n}{a^n}=\) \(\left(\frac{b}{a}\right)^n.\;\)

Połączone Definicje 1.1 , 2.1 i 3.1 określają potęgę o wykładniku całkowitym dla dowolnej podstawy rzeczywistej różnej od zera. Własności potęgi o wykładniku całkowitym dodatnim przenoszą się na przypadek wykładników całkowitych dla podstaw różnych od zera.
Twierdzenie 3.3: Niech \(a\;\) i \(b\;\) będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi różnymi od zera, zaś \(m,n\;\) dowolnymi liczbami całkowitymi. Wówczas

  • a) \(a^n \cdot a^m=a^{n+m},\;\)
  • b) \(\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m},\;\)
  • c) \((a\cdot b)^n=a^{n}\cdot b^n,\;\)
  • d) \(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n},\;\)
  • e) \((a^n)^m=a^{n\cdot m}.\;\)

Dowód: Dowód Twierdzenia 3.3 jest bardzo żmudny, gdyż potęgę o wykładniku całkowitym definiuje się w trzech krokach. Trzeba zatem, dowodząc każdej własności, rozpatrzeć kilka przypadków. Wytłumaczymy to na przykładzie własności (a). Udowodnimy, że jeśli \(a\neq0\;\) i \(m\;\) oraz \(n\;\) są dowolnymi liczbami całkowitymi, to \(a^n\cdot a^m=a^{n+m}.\;\)

  • 1. Jeśli \(n \in \mathrm{C}_+\;\) i \(m \in \mathrm{C}_+\;\), to równość \(a^n\cdot a^m=a^{n+m}\;\) jest tezą Twierdzenia 1.4 (a) i została już uzasadniona. Pozostaje rozpatrzeć przypadki:
  • 2. \(n \in \mathrm{C}_+\;\) i \(m=0\;\) lub \(n=0\;\) i \(m \in \mathrm{C}_+,\;\)
  • 3. \(n=0\;\) i \(m=0\;\),
  • 4. \(n\in\mathrm{C}_-\;\) i \(m=0\;\) lub \(n=0\;\) i \(m\in\mathrm{C}_-,\;\)
  • 5. \(n\in \mathrm{C}_-\;\) i \(m \in \mathrm{C}_-\;\),
  • 6. \(n \in \mathrm{C}_+\;\) i \(m \in \mathrm{C}_-\;\) lub \(n \in \mathrm{C}_-\;\)i \(m \in \mathrm{C}_+.\;\)
  • Ad 2. Jeśli \(n \in \mathrm{C}_+\;\) i \(m=0,\;\) to \(a^n \cdot a^0=a^n \cdot 1=a^n=a^{n+0}.\;\)
  • Równości zapisane w dowodzie przypadku 2 można powtórzyć w dowodzie przypadku 4.
  • Ad 3. Jeśli \(n=0\;\) i \(m=0,\;\) to \(a^0\cdot a^0=1\cdot1=1=a^0=a^{0+0}.\;\)
  • Ad 5. Jeśli \(n \in \mathrm{C}_-\;\) i \(m \in \mathrm{C}_-\;\), to \(n=-(-n), m=-(-m)\;\) i \(-n>0, -m>0.\;\) Zatem \(a^n\cdot a^m=\) \(a^{-(-n)}\cdot a^{-(-m)}=\) \(\frac{1}{a^{-n}}\cdot \frac{1}{a^{-m}}=\) \(\frac{1}{a^{-n}\cdot a^{-m}}=\) \(\frac{1}{a^{(-n)+(-m)}}=\) \(\frac{1}{a^{-(n+m)}}=\) \(=a^{-(-(n+m))}=a^{n+m}.\;\)
  • Ad 6. Niech \(n \in \mathrm{C}_+, m \in \mathrm{C}_-\;\). Rozważamy trzy sytuacje: (i) \(n+m>0\;\),     (ii) \(n+m=0\;\),     (iii) \(n+m<0.\;\)
    • (i) Jeżeli \(n+m>0\;\), to \(n=(n+m)+(-m)\;\) i \(-m>0, n+m>0.\;\) Zatem \(a^n\cdot a^m= a^{n+m+(-m)}\cdot a^m= a^{n+m}\cdot a^{(-m)}\cdot a^m= a^{n+m}\cdot a^{(-m)} \cdot \frac{1}{a^{(-m)}}= a^{n+m}.\;\)
    • (ii) Jeżeli \(n+m=0,\;\) to \(m=-n<0.\;\) Wówczas \(a^n\cdot a^m=a^n\cdot a^{-n}=a^n\cdot \frac{1}{a^n}=1=a^0=a^{n+m}.\;\)
    • (iii) Jeżeli \(n+m<0\;\), to \(-m=n+(-(m+n))\;\) i \(n>0.\;\) Zatem \(a^n\cdot a^m=\) \( a^n \cdot \frac{1}{a^{-m}}=\) \(a^n \cdot \frac{1}{a^{n+(-(m+n))}}=\) \(a^n\cdot \frac{1}{a^n\cdot a^{-(m+n)}}=\) \(a^n\cdot \frac{1}{a^n}\cdot \frac{1}{a^{-(m+n)}}=\) \(a^{-(-(m+n))}= a^{m+n}.\;\)

Zadanie 3.4 Podaj przykłady liczbowe ilustrujące każdą z własności wymienionych w Twierdzeniu 3.3 . Rozwiązanie: Odpowiedź mogłaby być następująca:

  1. \(\left(\frac{3}{4}\right)^5\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{-7}=\) \( \left(\frac{3}{4}\right)^{5+(-7)}=\) \(\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}=\) \(\frac{16}{9},\;\) \((-0,2)^{-8} \cdot (-0,2)^{10}=(-0,2)^{-8+10}=(-0,2)^2=0,04,\;\) \(2^{-500}\cdot 2^{-300}=2^{-500+(-300)}=2^{-800},\;\)
  2. \(\frac{4^5}{4^8}=4^{5-8}=4^{-3}=\frac{1}{64},\;\) \(\frac{4^{-5}}{4^{-8}}=4^{-5-(-8)}=4^3=64,\;\) \(\frac{4^5}{4^{-8}}=4^{5-(-8)}=4^{13},\;\) \(\frac{4^{-5}}{4^8}=4^{-5-8}=4^{-13},\;\)
  3. \(\left(\frac{3}{7} \cdot 0,18\right)^{-5}=\left(\frac{3}{7}\right)^{-5} \cdot (0,18)^{-5},\;\)
  4. \(\left(\frac{0,01}{20}\right)^{-2}=\) \(\frac{(0,01)^{-2}}{(20)^{-2}}=\) \( \frac{10000}{\frac{1}{400}}=\) \(4\cdot 10^6,\;\)
  5. \((3^5)^{-7}=3^{5\cdot (-7)}=3^{-35},\;\) \(((-2)^{-3})^4=(-2)^{-12}=2^{-12}.\;\)

∎ Uwaga 3.5 Operacje na potęgach całkowitych można wykonywać na różne sposoby. Oto przykłady rachunków:

  • (1) \(\frac{2^{-4}}{2^{-5} \cdot 4} \cdot 8^{-2} =\) \( \frac{\frac{1}{2^4}}{\frac{1}{2^5}\cdot 2^2}\cdot \frac{1}{8^2}=\) \(\frac{\frac{1}{2^4}}{\frac{1}{2^3}}\cdot \frac{1}{(2^3)^2}=\) \(\frac{1}{2^4} \cdot 2^3\cdot \frac{1}{2^6}= \frac{2^3}{2^{10}}=\) \(\frac{1}{2^7},\;\)
  • (2) \(\frac{2^{-4}}{2^{-5} \cdot 4} \cdot 8^{-2} = \frac{2^{-4}}{2^{-5} \cdot 2^2} \cdot (2^3)^{-2} =\) \( \frac{2^{-4}}{2^{-3}} \cdot 2^{-6} = 2^{-4-(-3)-6}= 2^{-7},\;\)
  • (3) \(\frac{2^{-4}}{2^{-5} \cdot 4} \cdot 8^{-2} =\) \( \frac{2^{-4}}{2^{-5} \cdot 2^2} \cdot (2^3)^{-2} = 2^{-4-(-5)-2-6}=2^{5-12}= 2^{-7}.\;\)

W rachunku (1) skorzystaliśmy tylko z Definicji 3.1 i Twierdzenia 1.4 . W rachunkach (2) i (3) skorzystaliśmy kilka razy z Twierdzenia 3.3 . We wszystkich rachunkach wyniki zapisaliśmy na początku przy pomocy potęg podstawy \(2\;\), ale w (1) operowaliśmy tylko potęgami z wykładnikami dodatnimi, podczas gdy w dwóch następnych używaliśmy potęg z wykładnikami zarówno dodatnimi jak i ujemnymi. ∎ Zadanie 3.6 Wykonaj działania korzystając z Twierdzenia 3.2 . Unikaj ułamków piętrowych.

  1. \((3^{-2}\cdot 2^5)^{-4}\cdot (3^3\cdot 2^{-7})^2\;\),
  2. \(\frac{(4^{-3}\cdot 5)^{-3}}{(4^2\cdot 5^{-3})^2}\;\),
  3. \(\left(\frac{2^3\cdot5^{-2}}{6^{-3}}\right)^2: \left(\frac{10^{-1}}{6^{2}\cdot 3^{-1}}\right)^3\;\).

Rozwiązanie:

  1. \((3^{-2}\cdot 2^5)^{-4}\cdot (3^3\cdot 2^{-7})^2=\) \((3^{-2})^{-4}\cdot (2^5)^{-4}\cdot(3^3)^2\cdot(2^{-7})^2=\) \(3^8\cdot 2^{-20}\cdot 3^6\cdot 2^{-14}=\) \(2^{-20-14}\cdot 3^{8+6}=\) \(2^{-34}\cdot 3^{14}\;\).
  2. \(\frac{(4^{-3}\cdot 5)^{-3}}{(4^2\cdot 5^{-3})^2}=\) \(\frac{(4^{-3})^{-3} \cdot 5^{-3}}{(4^2)^2\cdot (5^{-3})^2}=\) \(\frac{4^9\cdot 5^{-3}}{4^4\cdot 5^{-6}}=\) \(4^{9-4}\cdot 5^{-3-(-6)}=\) \(4^5\cdot 5^3.\;\)
  3. \(\left(\frac{2^3\cdot5^{-2}}{6^{-3}}\right)^2: \left(\frac{10^{-1}}{6^{2}\cdot 3^{-1}}\right)^3=\) \(\frac{(2^3)^2\cdot (5^{-2})^2}{(6^{-3})^2}:\frac{(10^{-1})^3}{(6^2)^3\cdot (3^{-1})^3}=\) \( \frac{2^6\cdot 5^{-4}}{6^{-6}}:\frac{10^{-3}}{6^6\cdot 3^{-3}}=\) \( \frac{2^6\cdot 5^{-4}}{(2\cdot 3)^{-6}}\cdot \frac{6^6\cdot 3^{-3}}{10^{-3}}=\) \( \frac{2^6\cdot 5^{-4}}{2^{-6}\cdot 3^{-6}}\cdot \frac{(2\cdot 3)^6\cdot 3^{-3}}{(2\cdot 5)^{-3}}=\) \( \frac{2^6\cdot 5^{-4}}{2^{-6}\cdot 3^{-6}}\cdot \frac{2^6\cdot 3^6\cdot 3^{-3}}{2^{-3}\cdot 5^{-3}}=\) \( 2^{6+6-(-6)-(-3)}\cdot 3^{-(-6)+6-3}\cdot 5^{-4-(-3)}=\) \(2^{21}\cdot 3^9\cdot 5^{-1}.\;\)

∎



Theme by Dr. Radut.