Skip to Content

Pierwiastki

śr., 09/15/2010 - 14:02 — ciebie

Definicja pierwiastka arytmetycznego stopnia \(k\;\) liczby \(a\;\) opiera się na następującym twierdzeniu.


Twierdzenie 4.1:

Jeśli liczba rzeczywista \(a\;\) jest nieujemna i \(k\;\) jest liczbą całkowitą dodatnią, to równanie \(x^k=a\;\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych nieujemnych dokładnie jedno rozwiązanie.

Dowód jest trudny. Można go przeprowadzić w oparciu o aksjomat ciągłości dla zbioru liczb rzeczywistych. Pomijamy go.


Definicja 4.2

Niech \(a\;\) będzie ustaloną liczbą rzeczywistą nieujemną i niech \(k\;\) będzie dowolną ustaloną liczbą całkowitą dodatnią. Jedyne rzeczywiste, nieujemne rozwiązanie równania \(x^k=a\;\) nazywamy pierwiastkiem arytmetycznym stopnia \(k\;\) liczby \(a\;\) i oznaczamy symbolem \(\sqrt[k]{a}\;\).

Dla \(k=2\;\) przyjęło się pisać symbol \(\sqrt{a}\;\) zamiast \(\sqrt[2]{a}\;\).

Uwaga 4.3 (Terminologiczna) Pierwiastek arytmetyczny stopnia \(2\;\) liczby \(a\;\) nazywa się też pierwiastkiem kwadratowym liczby \(a\;\). Pierwiastek arytmetyczny stopnia \(3\;\) liczby \(a\;\) nazywa się też pierwiastkiem sześciennym

liczby \(a\;\).

∎

Uwaga 4.4 W definicji pierwiastka arytmetycznego ukryte są następujące informacje:

  • \(k\;\) jest dowolną liczbą całkowitą dodatnią,
  • \(a\;\) jest liczbą nieujemną,
  • \(\sqrt[k]{a}\;\) jest liczba nieujemną,
  • liczba \(\sqrt[k]{a}\;\) spełnia równanie \(x^k=a\;\), czyli \(\left(\sqrt[k]{a}\right)^k=a\;\),
  • liczba \(\sqrt[k]{a}\;\) jest jedyną nieujemną liczbą spełniającą równanie \(x^k=a\;\).

Dlatego słuszne są następujące wyjaśnienia:

  • \(\sqrt{4}=2\;\), bo \(2\geq 0\;\) i \(2^2=4,\;\)
  • \(\sqrt{4}\neq -2\;\), bo wprawdzie \((-2)^2=4\;\), ale \(-2<0\;\),
  • \((\sqrt{7})^2=7\;\), bo \(\sqrt{7}\;\) jest (nieujemnym) rozwiązaniem równania \(x^2=7\;\),
  • \(\sqrt{7^2}=7\;\), bo
    1. (1) \(\sqrt{7^2}\;\) spełnia równanie \(x^2=7^2\;\),
    2. (2) \(7\;\) spełnia równanie \(x^2=7^2\;\),
    3. (3) Równanie \(x^2=7^2\;\) ma jedno jedyne rozwiązanie nieujemne i skoro liczby dodatnie \(\sqrt{7^2}\;\) i \(7\;\) są jego rozwiązaniami, to muszą być równe.
      ∎

Zadanie 4.5 Uzasadnij stwierdzenia

  1. \(\sqrt[3]{8}=2\;\),
  2. \(\sqrt[4]{1}\neq -1,\;\)
  3. \(\sqrt[3]{16}\neq 2\;\),
  4. \(\sqrt[4]{16}= \sqrt[2]{4}\;\),
  5. \(\sqrt[4]{16}\neq -\sqrt[2]{4}\;\),
  6. Pierwiastkiem arytmetycznym liczby \(9\;\) nie jest liczba \(-3\;\).
  7. Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia \(2\;\) liczby \(\frac{25}{4}\;\) jest liczba \(\frac{5}{2}\;\). Nie jest nim liczba \(-\frac{5}{2}\;\).
  8. \(\sqrt[5]{0}=0\;\),
  9. \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}.\;\)

Rozwiązanie:

  1. \(\sqrt[3]{8}=2\;\), bo \(2\geq 0\;\) i \(2^3=8\;\).
  2. \(\sqrt[4]{1}\neq -1,\;\) bo \(-1<0\;\), a \(\sqrt[4]{1}>0\;\).
  3. \(\sqrt[3]{16}\neq 2,\;\) bo wprawdzie \(2>0\;\), ale \(2^3\neq 16\;\).
  4. \(\sqrt[4]{16}= \sqrt[2]{4}\;\),
    Uzasadnienie I: bo \(\sqrt[4]{16}=2\;\) (gdyż \(2\geq 0\;\) i \(2^4=16\;\)), \(\sqrt[2]{4}=2\;\) (gdyż \(2\geq 0\;\) i \(2^2=4\;\)) i wobec tego \(\sqrt[4]{16}=2=\sqrt{4}\;\).
    Uzasadnienie II: bo \(\sqrt[4]{16}\geq 0\;\) i \((\sqrt[4]{16})^4=16\;\), \(\sqrt{4}\geq 0\;\) i \((\sqrt{4})^4=((\sqrt{4})^2)^2=4^2=16\;\), czyli liczby \(\sqrt[4]{16}\;\) i \(\sqrt{4}\;\) spełniają równanie \(x^4=16\;\); równanie to posiada tylko jedno rozwiązanie nieujemne, zatem liczby te muszą być równe.
  5. \(\sqrt[4]{16}\neq -\sqrt[2]{4}\;\), bo \(\sqrt[4]{16}\geq 0\;\), a \(-\sqrt[2]{4}<0.\;\)
  6. \(-3<0\;\), a pierwiastek arytmetyczny jest zawsze liczba nieujemną.
  7. Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia \(2\;\) liczby \(\frac{25}{4}\;\) jest \(\frac{5}{2}\;\), gdyż \(\frac{5}{2}\geq 0\;\) i \(\left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\;\). Liczba \(-\frac{5}{2}\;\) nie może być pierwiastkiem arytmetycznym stopnia \(2\;\), gdyż jest liczba ujemną.
  8. \(\sqrt[5]{0}=0\;\), gdyż \(0\;\) jest liczbą nieujemną i \(0^5=0\;\).
  9. Rozważmy równanie \(x^2=6\;\).
    Liczba \(\sqrt{6}\;\) jest nieujemna i spełnia równanie \(x^2=6\;\) (bo taka jest definicja liczby \(\sqrt{6}\;\)).
    Z drugiej strony liczba \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\;\) jako iloczyn liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną, a ponadto również spełnia równanie \(x^2=6\;\):
    \((\sqrt{2}\cdot \sqrt{3})^2=(\sqrt{2})^2\cdot(\sqrt{3})^2=2\cdot 3=6.\)
    (Pierwsza równość wynika z Twierdzenia 1.4 (c), a druga z definicji pierwiastków arytmetycznych stopnia dwa liczb \(2\;\) i \(3\;\).)
    Ponieważ równanie \(x^2=6\;\) ma tylko jedno rozwiązanie nieujemne, więc liczby nieujemne spełniające to równanie muszą być równe, tzn. \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}\;\).
∎

W poniższym twierdzeniu zawarte są ważne własności pierwiastków arytmetycznych dowolnego stopnia.


Uwaga 4.11 (Ważna!) W poprzednim paragrafie używaliśmy symbolu \(\sqrt[k]{a}\;\), który stowarzyszony był z terminem ,,pierwiastek arytmetyczny stopnia \(k\;\) liczby \(a\;\)'', przy czym zakładaliśmy, że liczba \(a\;\) jest nieujemna. W przypadku \(\sqrt[2]{a}\;\) używa się zapisu \(\sqrt{a}\;\) i nazwy ,,pierwiastek kwadratowy'', w przypadku \(\sqrt[3]{a}\;\) używa się terminu ,,pierwiastek sześcienny''. Niestety symbol \(\sqrt[k]{a}\;\) i słowo ,,pierwiastek'' mają jeszcze inne znaczenie. W przypadku, gdy \(k\;\) jest dodatnią liczbą nieparzystą używa się symbolu \(\sqrt[k]{a}\;\) także, gdy \(a\;\) jest liczbą ujemną, np.
\(\sqrt[3]{-8}, \sqrt[25]{-17}, \sqrt[5]{-100}.\)
Zapisy te przeczytamy następująco:

  1. \(\sqrt[3]{-8}\;\): pierwiastek trzeciego stopnia liczby (lub z liczby) \(-8\;\),
  2. \(\sqrt[25]{-17}\;\): pierwiastek stopnia \(25\;\) liczby \(-17\;\),
  3. \(\sqrt[5]{-100}\;\): pierwiastek stopnia \(5\;\) liczby \(-100\;\).

Nie używamy w tym przypadku słowa ,,arytmetyczny''. Termin ,,pierwiastek arytmetyczny'' wiąże się z tym, że obliczamy go dla liczby nieujemnej. Podstawą definicji pierwiastka arytmetycznego było Twierdzenie 4.1 . Można w sposób analogiczny uzasadnić sensowność definicji pierwiastka nieparzystego stopnia liczby

ujemnej.

∎
Twierdzenie 4.12:

Jeśli liczba \(c\;\) jest ujemna i \(k\;\) jest liczbą nieparzystą dodatnią, to równanie \(x^k=c\;\) ma dokładnie jedno rozwiązanie wśród liczb nieparzystych i jest to liczba ujemna.

Dowód: Uzasadnienie twierdzenia oprzemy na Twierdzeniu 4.1 . Niech \(c\;\) będzie liczbą ujemną, a \(k\;\) liczbą nieparzystą dodatnią. Oczywiście \(-c>0\;\). Równanie \(x^k=-c\;\) ma wśród liczb rzeczywistych nieujemnych jedno jedyne rozwiązanie \(x_0\;\), które zgodnie z Definicją 4.2 nazywamy pierwiastkiem arytmetycznym stopnia \(k\;\) liczby \(-c\;\) i oznaczamy symbolem \(x_0=\sqrt[k]{-c}\;\). Liczba \(x_0\;\) ma tę własność, że \(x_0^k=-c\;\). Ponieważ \(-c>0\;\), więc \(x_0>0\;\). Niech \(p=-x_0=-\sqrt[k]{-c}\;\). Zauważmy, że liczba \(p\;\) jest ujemna i ponadto
\(p^k=(-\sqrt[k]{-c})^k=((-1)\sqrt[k]{-c})^k=(-1)^k(\sqrt[k]{-c})^k=-(-c)=c,\)
czyli \(p\;\) jest rozwiązaniem ujemnym równania \(x^k=c\;\). Równanie \(x^k=c\;\) nie może mieć dwóch różnych rozwiązań. Gdyby bowiem oprócz liczby \(p\;\) istniało inne rozwiązanie \(q\;\) równania \(x^k=c\;\), to mielibyśmy z uwagi na nieparzystość liczby \(k\;\):
( − p)k = ( − 1)kpk = − c,
( − q)k = ( − 1)kqk = − c,
a więc dwie różne liczby dodatnie: \(-p\;\) i \(-q\;\) byłyby rozwiązaniami równania \(x^k=-c\;\), o którym wiemy, że ma tylko jedno rozwiązanie dodatnie.

Definicja 4.13

Niech \(c\;\) będzie ustaloną liczbą rzeczywistą ujemną i niech \(k\;\) będzie dowolną ustaloną liczbą nieparzystą dodatnią. Jedyne rzeczywiste (ujemne) rozwiązanie równania \(x^k=c\;\) nazywamy pierwiastkiem stopnia \(k\;\) liczby ujemnej \(c\;\) i oznaczamy symbolem \(\sqrt[k]{c}\;\). (W tym przypadku nie używamy określenia ,,pierwiastek arytmetyczny''.)

Przykłady:
  1. \(\sqrt[3]{-8}=-2\;\), bo \(-2<0\;\) i \((-2)^3=-8\;\),
  2. \(\sqrt[5]{-0,00001}=-0,1\;\), bo \(-0,1<0\;\) i \((-0,1)^5=0,00001\;\) ,
  3. \(\sqrt[3]{-\frac{27}{64}}=-\frac 34\;\), bo \(-\frac 34<0\;\) i \(\left(-\frac 34\right)^3=-\frac{27}{64}\;\).

Uwaga 4.14 W wielu podręcznikach szkolnych dla gimnazjum, a także dla szkół ponadgimnazjalnych, określano pierwiastki tylko dla liczb nieujemnych. Jednakże kalkulatory posiadające operację brania pierwiastka obliczają wartości pierwiastków nieparzystego stopnia dla liczb ujemnych, czyli tak, jak podaliśmy w przykładach. Łatwo sprawdzić, iż takie samo podejście reprezentują autorzy podręczników akademickich z analizy matematycznej, w których podaje się np., że wyrażenie \(\sqrt[3]{x}\;\) ma sens dla wszystkich liczb rzeczywistych, a \(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\;\) dla wszystkich liczb rzeczywistych oprócz zera. Wspomniane wyżej aspekty pierwiastka, ważne w kontekście funkcji i ich własności, zaciemniają opis konstrukcji potęgi liczby dla wykładników postaci \(\frac ab\;\), gdzie \(a,b\in \mathrm{C}\;\) i \(b\ne 0\;\) (patrz: paragraf Potęga o wykładniku postaci \(\frac 1k\;\), gdzie \(k\in\mathrm{C}_+\;\) oraz rozdział Potęga o wykładniku wymiernym).

∎

Z dowodu Twierdzenia 4.12 wynika, że

Twierdzenie 4.15:

Jeśli \(a>0\;\) i \(k\;\) jest liczbą nieparzystą dodatnią, to \(\sqrt[k]{-a}=-\sqrt[k]{a}\;\).

Oznacza to, że pierwiastek nieparzystego stopnia \(k\;\) liczby ujemnej jest liczbą przeciwną do pierwiastka arytmetycznego stopnia \(k\;\) liczby do niej przeciwnej, np.
\(\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}, \sqrt[25]{-135}=-\sqrt[25]{135}.\)
Biorąc pod uwagę, że dla liczby nieparzystej dodatniej określony jest pierwiastek dowolnej liczby rzeczywistej, możemy podać modyfikację Twierdzenia 4.6 .

Twierdzenie 4.16:

Niech \(a,b\;\) będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, \(k\;\) dowolną liczbą nieparzystą dodatnią. Wówczas

  1. \((\sqrt[k]{a})^k=a\;\),
  2. \(\sqrt[k]{a^k}=a\;\),
  3. --
  4. \(\sqrt[k]{0}=0\;\), \(\sqrt[k]{1}=1\;\), \(\sqrt[k]{-1}=-1\;\),
  5. \(\sqrt[k]{a}=0\;\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(a=0\;\),
  6. \(\sqrt[k]{ab}=\sqrt[k]{a}\cdot\sqrt[k]{b}\;\),
  7. jeśli \(b\ne 0\;\), to \(\sqrt[k]{\frac ab}=\frac{\sqrt[k]{a}}{\sqrt[k]{b}}\;\),
  8. jeśli \(b\ne 0\;\), to \(\sqrt[k]{\frac 1b}=\frac{1}{\sqrt[k]{b}}\;\),
  9. dla dowolnego \(l\;\) nieparzystego dodatniego \(\sqrt[l]{\sqrt[k]{a}}= \sqrt[k\cdot l]{a}\;\),
  10. dla dowolnego \(l\;\) całkowitego dodatniego \(\sqrt[k]{{a}^l}= (\sqrt[k]{a})^l\;\).

Zadanie 4.17 Oblicz:

  1. \(\sqrt[3]{-100}\cdot 10-\sqrt[3]{1000}\cdot\sqrt[3]{-0,01}\;\),
  2. \(\sqrt[5]{\frac{(-2)^{23}}{81^2}}\;\),
  3. \(\sqrt[3]{\sqrt[5]{(-6)^3\cdot(-2)^7}}\;\),
  4. \(\sqrt[5]{-\sqrt[3]{-\sqrt[7]{-1}}}\;\),
  5. \(\sqrt[5]{(-2)^3}-(\sqrt[5]{-2})^3\;\).

Rozwiązanie:

  1. \(\sqrt[3]{-100}\cdot 10-\sqrt[3]{1000}\cdot\sqrt[3]{-0,01}=\) \( -\sqrt[3]{1000\cdot 0,1}\cdot 10-10\cdot(-\sqrt[3]{10\cdot 0,001})=\)
    \( -\sqrt[3]{1000}\cdot\sqrt[3]{0,1}\cdot 10+10\cdot\sqrt[3]{10}\cdot \sqrt[3]{0,001}=\) \(-10\cdot\sqrt[3]{0,1}\cdot 10+10\cdot\sqrt[3]{10}\cdot 0,1=\) \( -100\sqrt[3]{0,1}+\sqrt[3]{10}\;\).
  2. \(\sqrt[5]{\frac{(-2)^{23}}{81^2}}=\) \(\sqrt[5]{\frac{-2^{23}}{3^8}}=\) \( -\sqrt[5]{\frac{2^{20}\cdot 2^3}{3^5\cdot 3^3}}=\) \( -\frac{\sqrt[5]{(2^4)^5\cdot 8}}{\sqrt[5]{3^5\cdot 27}}=\) \( -\frac{2^4\sqrt[5]{8}}{3\sqrt[5]{27}}=\) \(-\frac{16}{3}\sqrt[5]{\frac{8}{27}}\;\).
  3. \(\sqrt[3]{\sqrt[5]{(-6)^3\cdot(-2)^7}}=\) \( \sqrt[3]{\sqrt[5]{(-6^3)\cdot(-2^7)}}=\) \( \sqrt[3]{\sqrt[5]{2^3\cdot3^3\cdot 2^7}}=\) \( \sqrt[3]{\sqrt[5]{2^{10}\cdot3^3}}=\) \( \sqrt[3]{2^{2}\cdot\sqrt[5]{3^3}}=\)
    \( \sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[5]{3^3}}=\) \( \sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[5]{\sqrt[3]{3^3}}=\) \( \sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[5]{{3}}\;\).
  4. \(\sqrt[5]{-\sqrt[3]{-\sqrt[7]{-1}}}=\) \(\sqrt[5]{-\sqrt[3]{-(-1)}}=\) \( \sqrt[5]{-\sqrt[3]{1}}=\) \(\sqrt[5]{-1}=\) \(-1\;\).
  5. Z Twierdzenia 4.16 (j) wynika natychmiast, że \(\sqrt[5]{(-2)^3}-(\sqrt[5]{-2})^3=0\;\). Możemy również skorzystać z Twierdzenia 4.15 otrzymując, że \(\sqrt[5]{(-2)^3}=\sqrt[5]{-2^3}=-\sqrt[5]{2^3}\;\) i \((\sqrt[5]{-2^3})^3=(-\sqrt[5]{2})^3=-(\sqrt[5]{2})^3\;\), a następnie z Twierdzenia 4.6 (j) otrzymując, że \(\sqrt[5]{2^3}=(\sqrt[5]{2})^3\;\).
∎

Potęga o wykładniku postaci \(\boldsymbol{\frac 1k}\;\), gdzie \(\boldsymbol{k\in\mathrm{C}_+}\;\).

Definicję potęgi liczby zaczęliśmy omawiać przyjmując, iż wykładnik jest liczbą całkowitą dodatnią. W tym przypadku podstawa mogła być dowolną liczbą rzeczywistą. Następnie definicję potęgi rozszerzyliśmy o wykładnik \(0\;\) i o wykładniki całkowite ujemne - było to jednak możliwe tylko dla podstaw różnych od \(0\;\). Procedurę rozszerzania definicji potęgi można kontynuować traktując pierwiastki liczby jako ich potęgi z wykładnikiem postaci \(\frac 1k\;\). Umożliwi to w przyszłości dalsze rozszerzenie definicji na jeszcze inne wykładniki (patrz rozdział Potęga o wykładniku wymiernym).

Definicja 4.18

Niech \(a\;\) będzie dowolną ustaloną liczbą rzeczywistą, a \(k\;\) ustaloną liczbą całkowitą dodatnią. Potęgą o wykładniku \(\frac 1k\;\) liczby \(a\;\) nazywamy pierwiastek arytmetyczny stopnia \(k\;\) liczby \(a\;\), tzn. dla \(a\geq 0\;\) i \(k\in\mathrm{C}_+\;\),
\(a^{\frac 1k}=\sqrt[k]{a}.\)

Wszystko to co zapisano w Uwadze 4.4 i Zadaniu 4.5 można powtórzyć stosując nową symbolikę: wszystkie zapisy z pierwiastkami należy tylko zamienić na zapisy potęgowe. Mamy więc np.
\(8^{\frac 13}=2, 1^{\frac 14}\ne -1, 16^{\frac 13}\ne 2, \ 16^{\frac 14}=4^{\frac 12}, 16^{\frac 14}\ne -4^{\frac 12}, \ 2^{\frac 12}\cdot 3^{\frac 12}=6^{\frac 12}, 0^{\frac 15}=0.\)
Zapiszemy teraz odpowiednik Twierdzenia 4.6 w nowej wersji.


Twierdzenie 4.19:

Niech \(a, b\;\) będą dowolnymi liczbami nieujemnymi, a \(k\;\) i \(l\;\) dowolnymi liczbami całkowitymi dodatnimi. Wówczas

  1. \((a^{\frac 1k})^k=a\;\),
  2. \((a^k)^{\frac 1k}=a\;\),
  3. dla \(c\in \mathbb{R}\;\) \((c^{2k})^{\frac{1}{2k}}=|c|\;\),
  4. \({0}^{\frac 1k}=0\;\), \({1}^{\frac 1k}=1\;\),
  5. \({a}^{\frac 1k}=0\;\) wtedy tylko wtedy, gdy \(a=0\;\),
  6. \((a\cdot b)^{\frac 1k}={a}^{\frac 1k}\cdot {b}^{\frac 1k}\;\),
  7. jeśli \(b\neq 0\;\), to \(\left({\frac{a}{b}}\right)^{\frac 1k}= \frac{{a}^{\frac 1k}}{{b}^{\frac 1k}}\;\),
  8. jeśli \(b\neq 0\;\), to \(\left({\frac{1}{b}}\right)^{\frac 1k} =\frac{1}{{b}^{\frac 1k}}\;\),
  9. \({\left({a}^{\frac 1k}\right)^{\frac 1l}={a}^{\frac{1}{k\cdot l}}}\;\),
  10. \(\left(a^l\right)^{\frac 1k}=\left({a}^{\frac 1k}\right)^l\;\).

Dowód: Twierdzenie 4.6 przenosi się w całości - należy tylko wszelkie zapisy z pierwiastkami zamienić na notację wykładniczą.

Zadanie 4.20 Podaj przykłady liczbowe ilustrujące każdą z własności wymienionych Twierdzeniu 4.19 (poza własnością (e)).

Rozwiązanie:

Odpowiedź mogłaby być następująca:

  1. \(\left({9}^{\frac 12}\right)^2=9\;\), \(\left({7}^{\frac 13}\right)^3=7\;\), \(\left(({23,45})^{\frac{1}{151}}\right)^{151}=23,45\;\),
  2. \(\left({3^2}\right)^{\frac 12}=3\;\), \(\left({8^3}\right)^{\frac 13}=8\;\), \(\left({(6,02)^{15}}\right)^{\frac{1}{15}}=6,02\;\),
  3. \(\left({6^4}\right)^{\frac 14}=|6|=6\;\),\ \(\left({(-6)^4}\right)^{\frac 14}=|-6|=6\;\), \(\left({(-0,1)^{1000}}\right)^{\frac{1}{1000}}=|-0,1|=0,1\;\),
  4. \({0}^{\frac 12}=0\;\), \({0}^{\frac 13}=0\;\), \({0}^{\frac 14}=0,\ldots\;\)
    \({1}^{\frac 12}=1\;\), \({1}^{\frac 13}=1\;\), \({1}^{\frac 14}=1,\ldots\;\)
  5. --
  6. \({36}^{\frac 12}=({4\cdot 9})^{\frac 12}= {4}^{\frac 12}\cdot {9}^{\frac 12}=2\cdot 3=6\;\),
    \(\left({\frac{16}{81}\cdot\frac{625}{10000}}\right)^{\frac 14}=\) \(\left({\frac{16}{81}}\right)^{\frac 14}\cdot \left({\frac{625}{10000}}\right)^{\frac 14}=\) \(\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{10}=\) \(\frac{1}{3}\;\),
  7. \(\left({\frac{625}{10000}}\right)^{\frac 14}=\) \( \frac{{625}^{\frac 14}}{{10000}^{\frac 14}}=\) \(\frac{5}{10}=\) \(\frac{1}{2}\;\),
    \(\left({\frac{8}{0,001}}\right)^{\frac 13}=\) \(\frac{{8}^{\frac 13}}{({0,001})^{\frac 13}}=\) \(\frac{2}{0,1}=\) \(20\;\),
  8. \(\left({\frac{1}{81}}\right)^{\frac 12}=\frac{1}{{81}^{\frac 12}}= \frac{1}{9}\;\), \ \(\left({\frac{1}{1024}}\right)^{\frac 15}=\frac{1}{({1024})^{\frac 15}}=\frac{1}{4}\;\),
  9. \(\left({{10}^{\frac 13}}\right)^{\frac 12}={10}^{\frac 16}\;\), \(\left({6}^{\frac 13}\right)^{\frac 15}={6}^{\frac{1}{15}}=\left({{6}^{\frac 15}}\right)^{\frac 13}\;\),
  10. \(\left({2^2}\right)^{\frac 13}=\left({2}^{\frac 13}\right)^2\;\), \(({0,001})^{\frac 15}=\left({(0,1)^3}\right)^{\frac 15}=\left({0,1}^{\frac 15}\right)^3\;\).
∎

Zadanie 4.21 Wykonaj obliczenia. Wskaż własności potęgi, które zostały wykorzystane.

  1. \({108}^{\frac 13}\cdot {50}^{\frac 13}\;\),
  2. \(8^{\frac 12}\cdot\left(2\cdot{2}^{\frac 12}\right)^3\;\),
  3. \({5}^{\frac 12}\cdot {25}^{\frac 14}\;\),
  4. \(\frac{{32}^{\frac 14}}{{128}^{\frac 14}}\;\),
  5. \(\left(\frac{3}{4}\cdot \left({\left(\frac{4}{3}\right)^5}\right)^{\frac 12}\right)^{\frac 13}\;\),
  6. \(\left({\left(\frac{27}{8}\right)^5\cdot 1000^5}\right)^{\frac 13}\;\).

Rozwiązanie:

  1. \({108}^{\frac 13}\cdot {50}^{\frac 13}=\) \(({3^3\cdot 4})^{\frac 13}\cdot ({2\cdot 25})^{\frac 13}\stackrel{(f)}{=}({3^3})^{\frac 13}\cdot {4}^{\frac 13}\cdot {2}^{\frac 13}\cdot {25}^{\frac 13}\stackrel{(b,f)}{=}3\cdot {8}^{\frac 13}\cdot {25}^{\frac 13}=\) \(6\cdot {25}^{\frac 13}\;\).
  2. \(8^{\frac 12}\cdot\left(2\cdot{2}^{\frac 12}\right)^3=\) \(({4\cdot 2})^{\frac 12} \cdot 2^3\cdot\left({2}^{\frac 12}\right)^3\stackrel{(f)}{=}{4}^{\frac 12}\cdot {2}^{\frac 12}\cdot 8\cdot\left({2}^{\frac 12}\right)^2\cdot {2}^{\frac 12}\stackrel{(a)}{=} 2\cdot {2}^{\frac 12}\cdot 8 \cdot 2\cdot {2}^{\frac 12}\stackrel{(a)}{=}32\cdot({2}^{\frac 12})^2\stackrel{(a)}{=} 32\cdot2=\) \(64\;\).
  3. \({5}^{\frac 12}\cdot {25}^{\frac 14}\stackrel{(a)}{=} {5}^{\frac 12}\cdot \left({\left(5^{\frac 12}\right)^4}\right)^{\frac 14}\stackrel{(b)}{=} {5}^{\frac 12}\cdot {5}^{\frac 12}\stackrel{(a)}{=}5\;\)
    lub
    \({5}^{\frac 12}\cdot {25}^{\frac 14}\stackrel{(i)}{=} {5}^{\frac 12}\cdot \left({{25}^{\frac 12}}\right)^{\frac 12}=\) \(\sqrt{5}\cdot {5}^{\frac 12}\stackrel{(f)}{=}{25}^{\frac 12}=\) \(5.\;\)
  4. \(\frac{{32}^{\frac 14}}{{128}^{\frac 14}} \stackrel{(g)}{=} \left({\frac{32}{128}}\right)^{\frac 14}=\) \(\left({\frac{1}{4}}\right)^{\frac 14}\stackrel{(h)}{=} \frac{1}{{4}^{\frac 14}}\stackrel{(i)}{=}\frac{1}{\left({{4}^{\frac 12}}\right)^{\frac 12}}=\) \(\frac{1}{{2}^{\frac 12}}\;\).
  5. \(\left(\frac{3}{4}\cdot \left({\left(\frac{4}{3}\right)^5}\right)^{\frac 12}\right)^{\frac 13}\stackrel{(b)}{=} \left({\left(\left(\frac{3}{4}\right)^2\right)^{\frac 12}}\cdot \left(\left(\frac{4}{3}\right)^5\right)^{\frac 12}\right)^{\frac 13} \stackrel{(f)}{=} \left(\left({\left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot\left(\frac{4}{3}\right)^5}\right)^{\frac 12}\right)^{\frac 13}=\) \( \left({\left({\left(\frac{4}{3}\right)^3}\right)^{\frac 12}}\right)^{\frac 13} \stackrel{(i)}{=} \left(\left(\frac{4}{3}\right)^3\right)^{\frac 16} \stackrel{(c)}{=} \left(\left(\left(\frac{4}{3}\right)^3\right)^{\frac 13}\right)^{\frac 12} \stackrel{(b)}{=} \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac 12} \stackrel{(g)}{=} \frac{4^{\frac 12}}{3^{\frac 12}}=\) \(\frac{2}{{3}^{\frac 12}}\;\).
  6. \(\left({\left(\frac{27}{8}\right)^5\cdot 1000^5}\right)^{\frac 13}=\) \( \left({\left(\frac{27}{8}\cdot 1000\right)^5}\right)^{\frac 13}\stackrel{(j)}{=}\left(\left({\frac{27}{8}\cdot 1000}\right)^{\frac 13}\right)^{5} \stackrel{(f,g)}{=}\left(\frac{{27}^{\frac 13}}{{8}^{\frac 13}}\cdot{1000}^{\frac 13}\right)^5=\) \(\left(\frac{3}{2}\cdot 10\right)^5=\) \((15)^5\;\).
∎

Zadanie 4.22 Wykonaj działania:

  1. \({9}^{\frac{1}{4}}+2\cdot{6}^{\frac 12}+3\cdot{4}^{\frac 14}-3\cdot{2}^{\frac 12}+ 2\cdot{3}^{\frac 13}+{2}^{\frac 12}\cdot {27}^{\frac 12}\;\),
  2. \(\left(\left({\frac 12}\right)^{\frac 13}+ \left({\frac 13}\right)^{\frac 13}\right)\cdot\left({2}^{\frac 13}- {6}^{\frac 13}\right)\;\),
  3. \(\left({6-3\cdot{2}^{\frac 12}}\right)^{\frac 15}\cdot \left({6+3\cdot{2}^{\frac 12}}\right)^{\frac 15}\;\),
  4. \(\left({2}^{\frac 12}-{4}^{\frac 13}\right)\cdot\left({2}^{\frac 12} +{4}^{\frac 13}\right)+ 2\cdot{2}^{\frac 13}\;\),
  5. \(\left(\frac 12\cdot {27}^{\frac 14}+\frac 94\cdot \left({\frac{8}{3}}\right)^{\frac 14} -0,6\cdot \left({\frac{1}{2}}\right)^{\frac 14}\right):\left(\frac{3}{4}\cdot\left({\frac{5}{6}}\right)^{\frac 14}\right)\;\),
  6. \(\left({3}^{\frac 12}-2\cdot{2}^{\frac 13}\right)^3\;\),
  7. \(\left(\left({12+{6}^{\frac 12}}\right)^{\frac 12}+ \left({12-{6}^{\frac 12}}\right)^{\frac 12}\right)^2\;\).

Rozwiązanie:

  1. \({9}^{\frac{1}{4}}+2\cdot{6}^{\frac 12}+ 3\cdot{4}^{\frac 14}-3\cdot{2}^{\frac 12}+2\cdot{3}^{\frac 13}+{2}^{\frac 12}\cdot {27}^{\frac 12}=\) \( {3}^{\frac 12} +2\cdot{6}^{\frac 12}+3\cdot{2}^{\frac 12}-3\cdot{2}^{\frac 12}+2\cdot{3}^{\frac 12}+{2}^{\frac 12}\cdot 3\cdot{3}^{\frac 12}=\) \(3\cdot{3}^{\frac 12}+2\cdot{6}^{\frac 12}+3\cdot{6}^{\frac 12}=\) \(3\cdot{3}^{\frac 12}+5\cdot{6}^{\frac 12}\;\).
  2. \(\left(\left({\frac 12}\right)^{\frac 13}+ \left({\frac 13}\right)^{\frac 13}\right)\cdot\left({2}^{\frac 13}- {6}^{\frac 13}\right)=\) \(\left({\frac 12}\right)^{\frac 13}\cdot{2}^{\frac 13}-\left({\frac 12}\right)^{\frac 13}\cdot{6}^{\frac 13}+\left({\frac 13}\right)^{\frac 13}\cdot{2}^{\frac 13}-\left({\frac 13}\right)^{\frac 13}\cdot{6}^{\frac 13}=\) \( \left({\frac 12\cdot 2}\right)^{\frac 13}-\left({\frac 12\cdot 6}\right)^{\frac 13}+\left({\frac 13\cdot 2}\right)^{\frac 13}-\left({\frac 13\cdot 6}\right)^{\frac 13}=\) \({1}^{\frac 13}-{3}^{\frac 13}+\left({\frac 23}\right)^{\frac 13}-{2}^{\frac 13}=\) \(1+\left({\frac 23}\right)^{\frac 13}-{2}^{\frac 13}-{3}^{\frac 13}\;\).
  3. \(\left({6-3\cdot{2}^{\frac 12}}\right)^{\frac 15}\cdot \left({6+3\cdot{2}^{\frac 12}}\right)^{\frac 15}=\) \( \left(\left(6-3\cdot{2}^{\frac 12}\right)\cdot\left({6+3\cdot{2}^{\frac 12}}\right)\right)^{\frac 15}=\) \( \left({6^2-\left(3\cdot{2}^{\frac 12}\right)^2}\right)^{\frac 15}=\)
    \( \left({36-3^2\cdot\left({2}^{\frac 12}\right)^2}\right)^{\frac 15}=\) \( \left({36-9\cdot 2}\right)^{\frac 15}=\) \({18}^{\frac 15}\;\).
  4. \(\left({2}^{\frac 12}-{4}^{\frac 13}\right)\cdot\left({2}^{\frac 12} +{4}^{\frac 13}\right)+ 2\cdot{2}^{\frac 13}=\) \( ({2}^{\frac 12})^2-({4}^{\frac 13})^2+2\cdot{2}^{\frac 13}=\) \( 2-{16}^{\frac 13}+2\cdot{2}^{\frac 13}=\) \(2-2\cdot{2}^{\frac 13}+2\cdot{2}^{\frac 13}=\) \(2\;\).
  5. \(\left(\frac 12\cdot {27}^{\frac 14}+\frac 94\cdot \left({\frac{8}{3}}\right)^{\frac 14} -0,6\cdot \left({\frac{1}{2}}\right)^{\frac 14}\right):\left(\frac{3}{4}\cdot\left({\frac{5}{6}}\right)^{\frac 14}\right)=\)
    \( \left(\frac 12 \cdot{27}^{\frac 14}+\frac 94\cdot \left({\frac{8}{3}}\right)^{\frac 14} -\frac 35\cdot \left({\frac{1}{2}}\right)^{\frac 14}\right)\cdot\frac{4}{3}\cdot\left({\frac{6}{5}}\right)^{\frac 14}=\)
    \( \frac 12 \cdot \frac 43 \cdot {27}^{\frac 14}\cdot \left({\frac{6}{5}}\right)^{\frac 14}+\frac 94 \cdot \frac{4}{3}\cdot \left({\frac{8}{3}}\right)^{\frac 14}\cdot \left({\frac{6}{5}}\right)^{\frac 14} -\frac 35 \cdot \frac 43\cdot\left({\frac{1}{2}}\right)^{\frac 14}\cdot\left({\frac{6}{5}}\right)^{\frac 14}=\)
    \( \frac 23 \cdot \left({3^3\cdot \frac{2\cdot 3}{5}}\right)^{\frac 14}+3\cdot\left({\frac{8}{3}\cdot \frac{2\cdot 3}{5}}\right)^{\frac 14} -\frac 45\cdot \left({\frac{1}{2}\cdot\frac{6}{5}}\right)^{\frac 14}=\) \( \frac 23 \cdot 3\cdot \left({\frac{2}{5}}\right)^{\frac 14}+3\cdot 2\cdot\left({\frac{1}{5}}\right)^{\frac 14} -\frac 45 \cdot\left({\frac{3}{5}}\right)^{\frac 14}=\) \( 2\cdot \frac{{2}^{\frac 14}}{{5}^{\frac 14}}+6\cdot \frac{1}{{5}^{\frac 14}} -\frac 45\cdot \frac{{3}^{\frac 14}}{{5}^{\frac 14}} =\) \( \frac{1}{{5}^{\frac 14}}\cdot\left( 2\cdot{2}^{\frac 14}+6-\frac 45 \cdot{3}^{\frac 14}\right)\;\).
  6. \(\left({3}^{\frac 12}-2\cdot{2}^{\frac 13}\right)^3=\) \( \left({3}^{\frac 12}\right)^3-3\cdot\left({3}^{\frac 12}\right)^2\cdot 2\cdot{2}^{\frac 13}+3\cdot{3}^{\frac 12}\cdot\left(2\cdot{2}^{\frac 13}\right)^2-(2\cdot{2}^{\frac 13})^3=\)
    \( 3\cdot{3}^{\frac 12}-3\cdot 3\cdot 2\cdot{2}^{\frac 13}+3\cdot{3}^{\frac 12}\cdot 4 \cdot{4}^{\frac 13}-8\cdot{8}^{\frac 13}=\) \( 3\cdot{3}^{\frac 12}-18\cdot{2}^{\frac 13}+12\cdot{3}^{\frac 12}\cdot {4}^{\frac 13}-16\;\).
  7. \(\left(\left({12+{6}^{\frac 12}}\right)^{\frac 12}+ \left({12-{6}^{\frac 12}}\right)^{\frac 12}\right)^2=\) \( \left(\left({12+{6}^{\frac 12}}\right)^{\frac 12}\right)^2+\left(\left({12-{6}^{\frac 12}}\right)^{\frac 12}\right)^2+ 2\cdot\left({12+{6}^{\frac 12}}\right)^{\frac 12}\cdot\left({12+{6}^{\frac 12}}\right)^{\frac 12}=\) \( 12+{6}^{\frac 12}+12-{6}^{\frac 12}+2\cdot\left({\left(12+{6}^{\frac 12}\right)\cdot\left(12-{6}^{\frac 12}\right)}\right)^{\frac 12}=\) \( 24+2\cdot\left({144-6}\right)^{\frac 12}=\) \(24+2\cdot{138}^{\frac 12}\;\).
∎

Uwaga 4.23 (Ważna!) Pojawia się pytanie, czy notację wykładniczą wprowadza się również w przypadku podstaw ujemnych, jeśli wykładnikami są liczby postaci \(\frac{1}{2p+1}\;\), gdzie \(p\in\mathrm{C}_+\;\). Dotychczas w aktualnych podręcznikach szkolnych to zagadnienie na ogół nie było poruszane, chociaż pewne informacje można znaleźć np. w podręczniku J. Piórka i Z. Pogody dla drugiej klasy z serii Z PEGAZEM. W podręcznikach akademickich analizy matematycznej na ogół używa się dla podstawy ujemnej symbolu \(a^{\frac{1}{2p+1}}\;\), choć niektórzy w tej szczególnej sytuacji wolą używać zapisu \(\sqrt[2p+1]{a}\;\). Wymienne używanie zapisów \(\sqrt[3]{x}\;\) i \(x^{\frac 13}\;\), \(\sqrt[2p+1]{x}\;\) i \(x^{\frac{1}{2p+1}}\;\) rozpowszechniło się za pośrednictwem kalkulatorów. Mamy więc wiele argumentów za tym, by w tych wyjątkowych przypadkach dopuścić zapisy typu:
\(\sqrt[3]{-8}=(-8)^{\frac 13}, (-8)^{\frac 13}=-2, \ (-a)^{\frac 13}=-a^{\frac 13}, \ (-a)^{\frac{1}{2k+1}}=-a^{\frac{1}{2k+1}}\)
dla \(a\in\R\;\) i \(k\in\mathrm{C}_+\;\). Jednakże w następnym paragrafie pokażemy, że:

  • jest możliwe rozszerzenie definicji na przypadek wykładników dodatnich wymiernych dla podstawy \(a\in \langle 0,+\infty)\;\),
  • nie można przenieść tego w spójny sposób na potęgi o wykładniku wymiernym dla podstawy \(a\in (-\infty,0)\;\).

Okaże się więc, że można mówić o liczbach \(2^{\frac 35}\;\) i \(2^{\frac{6}{10}}\;\) i będą to liczby równe, i nie można w spójny sposób wskazać liczb, które odpowiadałyby symbolom \((-2)^{\frac 35}\;\), \((-2)^{\frac{6}{10}}\;\) tak, aby zachodziła równość \((-2)^{\frac 35}=(-2)^{\frac{6}{10}}\;\). I to właśnie powstrzymuje wielu matematyków przed używaniem symbolu \((-8)^{\frac 13}\;\). Wydaje się więc, że nie unikniemy stykania się z zapisami \((-8)^{\frac 13}\;\), ale można zrozumieć osoby, które wolą pozostać w tym wyjątkowym przypadku przy zapisie \(-\sqrt[3]{8}\;\). Należy zwracać szczególną uwagę na te sprawy podczas lektury podręczników i zbiorów zadań, a specjalnie podczas analizy poleceń w konkretnych zadaniach. Zauważmy na koniec, że zarówno Twierdzenie 4.1 jak i Twierdzenie 4.12 obejmuje przypadek równania \(x^1=a\;\). Oznacza to, że dla dowolnej liczby rzeczywistej równanie \(x^1=a\;\) ma jedyne rozwiązanie rzeczywiste i jest nim liczba \(a\;\). Wynika

stąd, że dla \(a\in\R\;\), \(a^{\frac11}=a=a^1\;\).

∎



Theme by Dr. Radut.