Processing math: 59%
Skip to Content

Pierwiastki

śr., 09/15/2010 - 14:02 — ciebie

Definicja pierwiastka arytmetycznego stopnia k liczby a opiera się na następującym twierdzeniu.


Twierdzenie 4.1:

Jeśli liczba rzeczywista a jest nieujemna i k jest liczbą całkowitą dodatnią, to równanie xk=a ma w zbiorze liczb rzeczywistych nieujemnych dokładnie jedno rozwiązanie.

Dowód jest trudny. Można go przeprowadzić w oparciu o aksjomat ciągłości dla zbioru liczb rzeczywistych. Pomijamy go.


Definicja 4.2

Niech a będzie ustaloną liczbą rzeczywistą nieujemną i niech k będzie dowolną ustaloną liczbą całkowitą dodatnią. Jedyne rzeczywiste, nieujemne rozwiązanie równania xk=a nazywamy pierwiastkiem arytmetycznym stopnia k liczby a i oznaczamy symbolem k√a.

Dla k=2 przyjęło się pisać symbol √a zamiast 2√a.

Uwaga 4.3 (Terminologiczna) Pierwiastek arytmetyczny stopnia 2 liczby a nazywa się też pierwiastkiem kwadratowym liczby a. Pierwiastek arytmetyczny stopnia 3 liczby a nazywa się też pierwiastkiem sześciennym

liczby a.

∎

Uwaga 4.4 W definicji pierwiastka arytmetycznego ukryte są następujące informacje:

  • k jest dowolną liczbą całkowitą dodatnią,
  • a jest liczbą nieujemną,
  • k√a jest liczba nieujemną,
  • liczba k√a spełnia równanie xk=a, czyli (k√a)k=a,
  • liczba k√a jest jedyną nieujemną liczbą spełniającą równanie xk=a.

Dlatego słuszne są następujące wyjaśnienia:

  • √4=2, bo 2≥0 i 22=4,
  • √4≠−2, bo wprawdzie (−2)2=4, ale −2<0,
  • (√7)2=7, bo √7 jest (nieujemnym) rozwiązaniem równania x2=7,
  • √72=7, bo
    1. (1) √72 spełnia równanie x2=72,
    2. (2) 7 spełnia równanie x2=72,
    3. (3) Równanie x2=72 ma jedno jedyne rozwiązanie nieujemne i skoro liczby dodatnie √72 i 7 są jego rozwiązaniami, to muszą być równe.
      ∎

Zadanie 4.5 Uzasadnij stwierdzenia

  1. 3√8=2,
  2. 4√1≠−1,
  3. 3√16≠2,
  4. 4√16=2√4,
  5. 4√16≠−2√4,
  6. Pierwiastkiem arytmetycznym liczby 9 nie jest liczba −3.
  7. Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia 2 liczby 254 jest liczba 52. Nie jest nim liczba −52.
  8. 5√0=0,
  9. √2⋅√3=√6.

Rozwiązanie:

  1. 3√8=2, bo 2≥0 i 23=8.
  2. 4√1≠−1, bo −1<0, a 4√1>0.
  3. 3√16≠2, bo wprawdzie 2>0, ale 23≠16.
  4. 4√16=2√4,
    Uzasadnienie I: bo 4√16=2 (gdyż 2≥0 i 24=16), 2√4=2 (gdyż 2≥0 i 22=4) i wobec tego 4√16=2=√4.
    Uzasadnienie II: bo 4√16≥0 i (4√16)4=16, √4≥0 i (√4)4=((√4)2)2=42=16, czyli liczby 4√16 i √4 spełniają równanie x4=16; równanie to posiada tylko jedno rozwiązanie nieujemne, zatem liczby te muszą być równe.
  5. 4√16≠−2√4, bo 4√16≥0, a −2√4<0.
  6. −3<0, a pierwiastek arytmetyczny jest zawsze liczba nieujemną.
  7. Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia 2 liczby 254 jest 52, gdyż 52≥0 i (52)2=254. Liczba −52 nie może być pierwiastkiem arytmetycznym stopnia 2, gdyż jest liczba ujemną.
  8. 5√0=0, gdyż 0 jest liczbą nieujemną i 05=0.
  9. Rozważmy równanie x2=6.
    Liczba √6 jest nieujemna i spełnia równanie x2=6 (bo taka jest definicja liczby √6).
    Z drugiej strony liczba √2⋅√3 jako iloczyn liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną, a ponadto również spełnia równanie x2=6:
    (√2⋅√3)2=(√2)2⋅(√3)2=2⋅3=6.
    (Pierwsza równość wynika z Twierdzenia 1.4 (c), a druga z definicji pierwiastków arytmetycznych stopnia dwa liczb 2 i 3.)
    Ponieważ równanie x2=6 ma tylko jedno rozwiązanie nieujemne, więc liczby nieujemne spełniające to równanie muszą być równe, tzn. √2⋅√3=√6.
∎

W poniższym twierdzeniu zawarte są ważne własności pierwiastków arytmetycznych dowolnego stopnia.


Uwaga 4.11 (Ważna!) W poprzednim paragrafie używaliśmy symbolu k√a, który stowarzyszony był z terminem ,,pierwiastek arytmetyczny stopnia k liczby a'', przy czym zakładaliśmy, że liczba a jest nieujemna. W przypadku 2√a używa się zapisu √a i nazwy ,,pierwiastek kwadratowy'', w przypadku 3√a używa się terminu ,,pierwiastek sześcienny''. Niestety symbol k√a i słowo ,,pierwiastek'' mają jeszcze inne znaczenie. W przypadku, gdy k jest dodatnią liczbą nieparzystą używa się symbolu k√a także, gdy a jest liczbą ujemną, np.
3√−8,25√−17,5√−100.
Zapisy te przeczytamy następująco:

  1. 3√−8: pierwiastek trzeciego stopnia liczby (lub z liczby) −8,
  2. 25√−17: pierwiastek stopnia 25 liczby −17,
  3. 5√−100: pierwiastek stopnia 5 liczby −100.

Nie używamy w tym przypadku słowa ,,arytmetyczny''. Termin ,,pierwiastek arytmetyczny'' wiąże się z tym, że obliczamy go dla liczby nieujemnej. Podstawą definicji pierwiastka arytmetycznego było Twierdzenie 4.1 . Można w sposób analogiczny uzasadnić sensowność definicji pierwiastka nieparzystego stopnia liczby

ujemnej.

∎
Twierdzenie 4.12:

Jeśli liczba c jest ujemna i k jest liczbą nieparzystą dodatnią, to równanie xk=c ma dokładnie jedno rozwiązanie wśród liczb nieparzystych i jest to liczba ujemna.

Dowód: Uzasadnienie twierdzenia oprzemy na Twierdzeniu 4.1 . Niech c będzie liczbą ujemną, a k liczbą nieparzystą dodatnią. Oczywiście −c>0. Równanie xk=−c ma wśród liczb rzeczywistych nieujemnych jedno jedyne rozwiązanie x0, które zgodnie z Definicją 4.2 nazywamy pierwiastkiem arytmetycznym stopnia k liczby −c i oznaczamy symbolem x0=k√−c. Liczba x0 ma tę własność, że xk0=−c. Ponieważ −c>0, więc x0>0. Niech p=−x0=−k√−c. Zauważmy, że liczba p jest ujemna i ponadto
pk=(−k√−c)k=((−1)k√−c)k=(−1)k(k√−c)k=−(−c)=c,
czyli p jest rozwiązaniem ujemnym równania xk=c. Równanie xk=c nie może mieć dwóch różnych rozwiązań. Gdyby bowiem oprócz liczby p istniało inne rozwiązanie q równania xk=c, to mielibyśmy z uwagi na nieparzystość liczby k:
( − p)k = ( − 1)kpk = − c,
( − q)k = ( − 1)kqk = − c,
a więc dwie różne liczby dodatnie: −p i −q byłyby rozwiązaniami równania xk=−c, o którym wiemy, że ma tylko jedno rozwiązanie dodatnie.

Definicja 4.13

Niech c będzie ustaloną liczbą rzeczywistą ujemną i niech k będzie dowolną ustaloną liczbą nieparzystą dodatnią. Jedyne rzeczywiste (ujemne) rozwiązanie równania xk=c nazywamy pierwiastkiem stopnia k liczby ujemnej c i oznaczamy symbolem k√c. (W tym przypadku nie używamy określenia ,,pierwiastek arytmetyczny''.)

Przykłady:
  1. 3√−8=−2, bo −2<0 i (−2)3=−8,
  2. 5√−0,00001=−0,1, bo −0,1<0 i (−0,1)5=0,00001 ,
  3. 3√−2764=−34, bo −34<0 i (−34)3=−2764.

Uwaga 4.14 W wielu podręcznikach szkolnych dla gimnazjum, a także dla szkół ponadgimnazjalnych, określano pierwiastki tylko dla liczb nieujemnych. Jednakże kalkulatory posiadające operację brania pierwiastka obliczają wartości pierwiastków nieparzystego stopnia dla liczb ujemnych, czyli tak, jak podaliśmy w przykładach. Łatwo sprawdzić, iż takie samo podejście reprezentują autorzy podręczników akademickich z analizy matematycznej, w których podaje się np., że wyrażenie 3√x ma sens dla wszystkich liczb rzeczywistych, a 13√x dla wszystkich liczb rzeczywistych oprócz zera. Wspomniane wyżej aspekty pierwiastka, ważne w kontekście funkcji i ich własności, zaciemniają opis konstrukcji potęgi liczby dla wykładników postaci ab, gdzie a,b∈C i b≠0 (patrz: paragraf Potęga o wykładniku postaci 1k, gdzie k∈C+ oraz rozdział Potęga o wykładniku wymiernym).

∎

Z dowodu Twierdzenia 4.12 wynika, że

Twierdzenie 4.15:

Jeśli a>0 i k jest liczbą nieparzystą dodatnią, to k√−a=−k√a.

Oznacza to, że pierwiastek nieparzystego stopnia k liczby ujemnej jest liczbą przeciwną do pierwiastka arytmetycznego stopnia k liczby do niej przeciwnej, np.
3√−8=−3√8,25√−135=−25√135.
Biorąc pod uwagę, że dla liczby nieparzystej dodatniej określony jest pierwiastek dowolnej liczby rzeczywistej, możemy podać modyfikację Twierdzenia 4.6 .

Twierdzenie 4.16:

Niech a,b będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, k dowolną liczbą nieparzystą dodatnią. Wówczas

  1. (k√a)k=a,
  2. k√ak=a,
  3. --
  4. k√0=0, k√1=1, k√−1=−1,
  5. k√a=0 wtedy i tylko wtedy, gdy a=0,
  6. k√ab=k√a⋅k√b,
  7. jeśli b≠0, to k√ab=k√ak√b,
  8. jeśli b≠0, to k√1b=1k√b,
  9. dla dowolnego l nieparzystego dodatniego l√k√a=k⋅l√a,
  10. dla dowolnego l całkowitego dodatniego k√al=(k√a)l.

Zadanie 4.17 Oblicz:

  1. 3√−100⋅10−3√1000⋅3√−0,01,
  2. 5√(−2)23812,
  3. 3√5√(−6)3⋅(−2)7,
  4. 5√−3√−7√−1,
  5. 5√(−2)3−(5√−2)3.

Rozwiązanie:

  1. 3√−100⋅10−3√1000⋅3√−0,01= −3√1000⋅0,1⋅10−10⋅(−3√10⋅0,001)=
    −3√1000⋅3√0,1⋅10+10⋅3√10⋅3√0,001= −10⋅3√0,1⋅10+10⋅3√10⋅0,1= −1003√0,1+3√10.
  2. 5√(−2)23812= 5√−22338= −5√220⋅2335⋅33= −5√(24)5⋅85√35⋅27= −245√835√27= −1635√827.
  3. 3√5√(−6)3⋅(−2)7= 3√5√(−63)⋅(−27)= 3√5√23⋅33⋅27= 3√5√210⋅33= 3√22⋅5√33=
    3√4⋅3√5√33= 3√4⋅5√3√33= 3√4⋅5√3.
  4. 5√−3√−7√−1= 5√−3√−(−1)= 5√−3√1= 5√−1= −1.
  5. Z Twierdzenia 4.16 (j) wynika natychmiast, że 5√(−2)3−(5√−2)3=0. Możemy również skorzystać z Twierdzenia 4.15 otrzymując, że 5√(−2)3=5√−23=−5√23 i (5√−23)3=(−5√2)3=−(5√2)3, a następnie z Twierdzenia 4.6 (j) otrzymując, że 5√23=(5√2)3.
∎

Potęga o wykładniku postaci \boldsymbol{\frac 1k}\;, gdzie \boldsymbol{k\in\mathrm{C}_+}\;.

Definicję potęgi liczby zaczęliśmy omawiać przyjmując, iż wykładnik jest liczbą całkowitą dodatnią. W tym przypadku podstawa mogła być dowolną liczbą rzeczywistą. Następnie definicję potęgi rozszerzyliśmy o wykładnik 0\; i o wykładniki całkowite ujemne - było to jednak możliwe tylko dla podstaw różnych od 0\;. Procedurę rozszerzania definicji potęgi można kontynuować traktując pierwiastki liczby jako ich potęgi z wykładnikiem postaci \frac 1k\;. Umożliwi to w przyszłości dalsze rozszerzenie definicji na jeszcze inne wykładniki (patrz rozdział Potęga o wykładniku wymiernym).

Definicja 4.18

Niech a\; będzie dowolną ustaloną liczbą rzeczywistą, a k\; ustaloną liczbą całkowitą dodatnią. Potęgą o wykładniku \frac 1k\; liczby a\; nazywamy pierwiastek arytmetyczny stopnia k\; liczby a\;, tzn. dla a\geq 0\; i k\in\mathrm{C}_+\;,
a^{\frac 1k}=\sqrt[k]{a}.

Wszystko to co zapisano w Uwadze 4.4 i Zadaniu 4.5 można powtórzyć stosując nową symbolikę: wszystkie zapisy z pierwiastkami należy tylko zamienić na zapisy potęgowe. Mamy więc np.
8^{\frac 13}=2, 1^{\frac 14}\ne -1, 16^{\frac 13}\ne 2, \ 16^{\frac 14}=4^{\frac 12}, 16^{\frac 14}\ne -4^{\frac 12}, \ 2^{\frac 12}\cdot 3^{\frac 12}=6^{\frac 12}, 0^{\frac 15}=0.
Zapiszemy teraz odpowiednik Twierdzenia 4.6 w nowej wersji.


Twierdzenie 4.19:

Niech a, b\; będą dowolnymi liczbami nieujemnymi, a k\; i l\; dowolnymi liczbami całkowitymi dodatnimi. Wówczas

  1. (a^{\frac 1k})^k=a\;,
  2. (a^k)^{\frac 1k}=a\;,
  3. dla c\in \mathbb{R}\; (c^{2k})^{\frac{1}{2k}}=|c|\;,
  4. {0}^{\frac 1k}=0\;, {1}^{\frac 1k}=1\;,
  5. {a}^{\frac 1k}=0\; wtedy tylko wtedy, gdy a=0\;,
  6. (a\cdot b)^{\frac 1k}={a}^{\frac 1k}\cdot {b}^{\frac 1k}\;,
  7. jeśli b\neq 0\;, to \left({\frac{a}{b}}\right)^{\frac 1k}= \frac{{a}^{\frac 1k}}{{b}^{\frac 1k}}\;,
  8. jeśli b\neq 0\;, to \left({\frac{1}{b}}\right)^{\frac 1k} =\frac{1}{{b}^{\frac 1k}}\;,
  9. {\left({a}^{\frac 1k}\right)^{\frac 1l}={a}^{\frac{1}{k\cdot l}}}\;,
  10. \left(a^l\right)^{\frac 1k}=\left({a}^{\frac 1k}\right)^l\;.

Dowód: Twierdzenie 4.6 przenosi się w całości - należy tylko wszelkie zapisy z pierwiastkami zamienić na notację wykładniczą.

Zadanie 4.20 Podaj przykłady liczbowe ilustrujące każdą z własności wymienionych Twierdzeniu 4.19 (poza własnością (e)).

Rozwiązanie:

Odpowiedź mogłaby być następująca:

  1. \left({9}^{\frac 12}\right)^2=9\;, \left({7}^{\frac 13}\right)^3=7\;, \left(({23,45})^{\frac{1}{151}}\right)^{151}=23,45\;,
  2. \left({3^2}\right)^{\frac 12}=3\;, \left({8^3}\right)^{\frac 13}=8\;, \left({(6,02)^{15}}\right)^{\frac{1}{15}}=6,02\;,
  3. \left({6^4}\right)^{\frac 14}=|6|=6\;,\ \left({(-6)^4}\right)^{\frac 14}=|-6|=6\;, \left({(-0,1)^{1000}}\right)^{\frac{1}{1000}}=|-0,1|=0,1\;,
  4. {0}^{\frac 12}=0\;, {0}^{\frac 13}=0\;, {0}^{\frac 14}=0,\ldots\;
    {1}^{\frac 12}=1\;, {1}^{\frac 13}=1\;, {1}^{\frac 14}=1,\ldots\;
  5. --
  6. {36}^{\frac 12}=({4\cdot 9})^{\frac 12}= {4}^{\frac 12}\cdot {9}^{\frac 12}=2\cdot 3=6\;,
    \left({\frac{16}{81}\cdot\frac{625}{10000}}\right)^{\frac 14}= \left({\frac{16}{81}}\right)^{\frac 14}\cdot \left({\frac{625}{10000}}\right)^{\frac 14}= \frac{2}{3}\cdot \frac{5}{10}= \frac{1}{3}\;,
  7. \left({\frac{625}{10000}}\right)^{\frac 14}= \frac{{625}^{\frac 14}}{{10000}^{\frac 14}}= \frac{5}{10}= \frac{1}{2}\;,
    \left({\frac{8}{0,001}}\right)^{\frac 13}= \frac{{8}^{\frac 13}}{({0,001})^{\frac 13}}= \frac{2}{0,1}= 20\;,
  8. \left({\frac{1}{81}}\right)^{\frac 12}=\frac{1}{{81}^{\frac 12}}= \frac{1}{9}\;, \ \left({\frac{1}{1024}}\right)^{\frac 15}=\frac{1}{({1024})^{\frac 15}}=\frac{1}{4}\;,
  9. \left({{10}^{\frac 13}}\right)^{\frac 12}={10}^{\frac 16}\;, \left({6}^{\frac 13}\right)^{\frac 15}={6}^{\frac{1}{15}}=\left({{6}^{\frac 15}}\right)^{\frac 13}\;,
  10. \left({2^2}\right)^{\frac 13}=\left({2}^{\frac 13}\right)^2\;, ({0,001})^{\frac 15}=\left({(0,1)^3}\right)^{\frac 15}=\left({0,1}^{\frac 15}\right)^3\;.
∎

Zadanie 4.21 Wykonaj obliczenia. Wskaż własności potęgi, które zostały wykorzystane.

  1. {108}^{\frac 13}\cdot {50}^{\frac 13}\;,
  2. 8^{\frac 12}\cdot\left(2\cdot{2}^{\frac 12}\right)^3\;,
  3. {5}^{\frac 12}\cdot {25}^{\frac 14}\;,
  4. \frac{{32}^{\frac 14}}{{128}^{\frac 14}}\;,
  5. \left(\frac{3}{4}\cdot \left({\left(\frac{4}{3}\right)^5}\right)^{\frac 12}\right)^{\frac 13}\;,
  6. \left({\left(\frac{27}{8}\right)^5\cdot 1000^5}\right)^{\frac 13}\;.

Rozwiązanie:

  1. {108}^{\frac 13}\cdot {50}^{\frac 13}= ({3^3\cdot 4})^{\frac 13}\cdot ({2\cdot 25})^{\frac 13}\stackrel{(f)}{=}({3^3})^{\frac 13}\cdot {4}^{\frac 13}\cdot {2}^{\frac 13}\cdot {25}^{\frac 13}\stackrel{(b,f)}{=}3\cdot {8}^{\frac 13}\cdot {25}^{\frac 13}= 6\cdot {25}^{\frac 13}\;.
  2. 8^{\frac 12}\cdot\left(2\cdot{2}^{\frac 12}\right)^3= ({4\cdot 2})^{\frac 12} \cdot 2^3\cdot\left({2}^{\frac 12}\right)^3\stackrel{(f)}{=}{4}^{\frac 12}\cdot {2}^{\frac 12}\cdot 8\cdot\left({2}^{\frac 12}\right)^2\cdot {2}^{\frac 12}\stackrel{(a)}{=} 2\cdot {2}^{\frac 12}\cdot 8 \cdot 2\cdot {2}^{\frac 12}\stackrel{(a)}{=}32\cdot({2}^{\frac 12})^2\stackrel{(a)}{=} 32\cdot2= 64\;.
  3. {5}^{\frac 12}\cdot {25}^{\frac 14}\stackrel{(a)}{=} {5}^{\frac 12}\cdot \left({\left(5^{\frac 12}\right)^4}\right)^{\frac 14}\stackrel{(b)}{=} {5}^{\frac 12}\cdot {5}^{\frac 12}\stackrel{(a)}{=}5\;
    lub
    {5}^{\frac 12}\cdot {25}^{\frac 14}\stackrel{(i)}{=} {5}^{\frac 12}\cdot \left({{25}^{\frac 12}}\right)^{\frac 12}= \sqrt{5}\cdot {5}^{\frac 12}\stackrel{(f)}{=}{25}^{\frac 12}= 5.\;
  4. \frac{{32}^{\frac 14}}{{128}^{\frac 14}} \stackrel{(g)}{=} \left({\frac{32}{128}}\right)^{\frac 14}= \left({\frac{1}{4}}\right)^{\frac 14}\stackrel{(h)}{=} \frac{1}{{4}^{\frac 14}}\stackrel{(i)}{=}\frac{1}{\left({{4}^{\frac 12}}\right)^{\frac 12}}= \frac{1}{{2}^{\frac 12}}\;.
  5. \left(\frac{3}{4}\cdot \left({\left(\frac{4}{3}\right)^5}\right)^{\frac 12}\right)^{\frac 13}\stackrel{(b)}{=} \left({\left(\left(\frac{3}{4}\right)^2\right)^{\frac 12}}\cdot \left(\left(\frac{4}{3}\right)^5\right)^{\frac 12}\right)^{\frac 13} \stackrel{(f)}{=} \left(\left({\left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot\left(\frac{4}{3}\right)^5}\right)^{\frac 12}\right)^{\frac 13}= \left({\left({\left(\frac{4}{3}\right)^3}\right)^{\frac 12}}\right)^{\frac 13} \stackrel{(i)}{=} \left(\left(\frac{4}{3}\right)^3\right)^{\frac 16} \stackrel{(c)}{=} \left(\left(\left(\frac{4}{3}\right)^3\right)^{\frac 13}\right)^{\frac 12} \stackrel{(b)}{=} \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac 12} \stackrel{(g)}{=} \frac{4^{\frac 12}}{3^{\frac 12}}= \frac{2}{{3}^{\frac 12}}\;.
  6. \left({\left(\frac{27}{8}\right)^5\cdot 1000^5}\right)^{\frac 13}= \left({\left(\frac{27}{8}\cdot 1000\right)^5}\right)^{\frac 13}\stackrel{(j)}{=}\left(\left({\frac{27}{8}\cdot 1000}\right)^{\frac 13}\right)^{5} \stackrel{(f,g)}{=}\left(\frac{{27}^{\frac 13}}{{8}^{\frac 13}}\cdot{1000}^{\frac 13}\right)^5= \left(\frac{3}{2}\cdot 10\right)^5= (15)^5\;.
∎

Zadanie 4.22 Wykonaj działania:

  1. {9}^{\frac{1}{4}}+2\cdot{6}^{\frac 12}+3\cdot{4}^{\frac 14}-3\cdot{2}^{\frac 12}+ 2\cdot{3}^{\frac 13}+{2}^{\frac 12}\cdot {27}^{\frac 12}\;,
  2. \left(\left({\frac 12}\right)^{\frac 13}+ \left({\frac 13}\right)^{\frac 13}\right)\cdot\left({2}^{\frac 13}- {6}^{\frac 13}\right)\;,
  3. \left({6-3\cdot{2}^{\frac 12}}\right)^{\frac 15}\cdot \left({6+3\cdot{2}^{\frac 12}}\right)^{\frac 15}\;,
  4. \left({2}^{\frac 12}-{4}^{\frac 13}\right)\cdot\left({2}^{\frac 12} +{4}^{\frac 13}\right)+ 2\cdot{2}^{\frac 13}\;,
  5. \left(\frac 12\cdot {27}^{\frac 14}+\frac 94\cdot \left({\frac{8}{3}}\right)^{\frac 14} -0,6\cdot \left({\frac{1}{2}}\right)^{\frac 14}\right):\left(\frac{3}{4}\cdot\left({\frac{5}{6}}\right)^{\frac 14}\right)\;,
  6. \left({3}^{\frac 12}-2\cdot{2}^{\frac 13}\right)^3\;,
  7. \left(\left({12+{6}^{\frac 12}}\right)^{\frac 12}+ \left({12-{6}^{\frac 12}}\right)^{\frac 12}\right)^2\;.

Rozwiązanie:

  1. {9}^{\frac{1}{4}}+2\cdot{6}^{\frac 12}+ 3\cdot{4}^{\frac 14}-3\cdot{2}^{\frac 12}+2\cdot{3}^{\frac 13}+{2}^{\frac 12}\cdot {27}^{\frac 12}= {3}^{\frac 12} +2\cdot{6}^{\frac 12}+3\cdot{2}^{\frac 12}-3\cdot{2}^{\frac 12}+2\cdot{3}^{\frac 12}+{2}^{\frac 12}\cdot 3\cdot{3}^{\frac 12}= 3\cdot{3}^{\frac 12}+2\cdot{6}^{\frac 12}+3\cdot{6}^{\frac 12}= 3\cdot{3}^{\frac 12}+5\cdot{6}^{\frac 12}\;.
  2. \left(\left({\frac 12}\right)^{\frac 13}+ \left({\frac 13}\right)^{\frac 13}\right)\cdot\left({2}^{\frac 13}- {6}^{\frac 13}\right)= \left({\frac 12}\right)^{\frac 13}\cdot{2}^{\frac 13}-\left({\frac 12}\right)^{\frac 13}\cdot{6}^{\frac 13}+\left({\frac 13}\right)^{\frac 13}\cdot{2}^{\frac 13}-\left({\frac 13}\right)^{\frac 13}\cdot{6}^{\frac 13}= \left({\frac 12\cdot 2}\right)^{\frac 13}-\left({\frac 12\cdot 6}\right)^{\frac 13}+\left({\frac 13\cdot 2}\right)^{\frac 13}-\left({\frac 13\cdot 6}\right)^{\frac 13}= {1}^{\frac 13}-{3}^{\frac 13}+\left({\frac 23}\right)^{\frac 13}-{2}^{\frac 13}= 1+\left({\frac 23}\right)^{\frac 13}-{2}^{\frac 13}-{3}^{\frac 13}\;.
  3. \left({6-3\cdot{2}^{\frac 12}}\right)^{\frac 15}\cdot \left({6+3\cdot{2}^{\frac 12}}\right)^{\frac 15}= \left(\left(6-3\cdot{2}^{\frac 12}\right)\cdot\left({6+3\cdot{2}^{\frac 12}}\right)\right)^{\frac 15}= \left({6^2-\left(3\cdot{2}^{\frac 12}\right)^2}\right)^{\frac 15}=
    \left({36-3^2\cdot\left({2}^{\frac 12}\right)^2}\right)^{\frac 15}= \left({36-9\cdot 2}\right)^{\frac 15}= {18}^{\frac 15}\;.
  4. \left({2}^{\frac 12}-{4}^{\frac 13}\right)\cdot\left({2}^{\frac 12} +{4}^{\frac 13}\right)+ 2\cdot{2}^{\frac 13}= ({2}^{\frac 12})^2-({4}^{\frac 13})^2+2\cdot{2}^{\frac 13}= 2-{16}^{\frac 13}+2\cdot{2}^{\frac 13}= 2-2\cdot{2}^{\frac 13}+2\cdot{2}^{\frac 13}= 2\;.
  5. \left(\frac 12\cdot {27}^{\frac 14}+\frac 94\cdot \left({\frac{8}{3}}\right)^{\frac 14} -0,6\cdot \left({\frac{1}{2}}\right)^{\frac 14}\right):\left(\frac{3}{4}\cdot\left({\frac{5}{6}}\right)^{\frac 14}\right)=
    \left(\frac 12 \cdot{27}^{\frac 14}+\frac 94\cdot \left({\frac{8}{3}}\right)^{\frac 14} -\frac 35\cdot \left({\frac{1}{2}}\right)^{\frac 14}\right)\cdot\frac{4}{3}\cdot\left({\frac{6}{5}}\right)^{\frac 14}=
    \frac 12 \cdot \frac 43 \cdot {27}^{\frac 14}\cdot \left({\frac{6}{5}}\right)^{\frac 14}+\frac 94 \cdot \frac{4}{3}\cdot \left({\frac{8}{3}}\right)^{\frac 14}\cdot \left({\frac{6}{5}}\right)^{\frac 14} -\frac 35 \cdot \frac 43\cdot\left({\frac{1}{2}}\right)^{\frac 14}\cdot\left({\frac{6}{5}}\right)^{\frac 14}=
    \frac 23 \cdot \left({3^3\cdot \frac{2\cdot 3}{5}}\right)^{\frac 14}+3\cdot\left({\frac{8}{3}\cdot \frac{2\cdot 3}{5}}\right)^{\frac 14} -\frac 45\cdot \left({\frac{1}{2}\cdot\frac{6}{5}}\right)^{\frac 14}= \frac 23 \cdot 3\cdot \left({\frac{2}{5}}\right)^{\frac 14}+3\cdot 2\cdot\left({\frac{1}{5}}\right)^{\frac 14} -\frac 45 \cdot\left({\frac{3}{5}}\right)^{\frac 14}= 2\cdot \frac{{2}^{\frac 14}}{{5}^{\frac 14}}+6\cdot \frac{1}{{5}^{\frac 14}} -\frac 45\cdot \frac{{3}^{\frac 14}}{{5}^{\frac 14}} = \frac{1}{{5}^{\frac 14}}\cdot\left( 2\cdot{2}^{\frac 14}+6-\frac 45 \cdot{3}^{\frac 14}\right)\;.
  6. \left({3}^{\frac 12}-2\cdot{2}^{\frac 13}\right)^3= \left({3}^{\frac 12}\right)^3-3\cdot\left({3}^{\frac 12}\right)^2\cdot 2\cdot{2}^{\frac 13}+3\cdot{3}^{\frac 12}\cdot\left(2\cdot{2}^{\frac 13}\right)^2-(2\cdot{2}^{\frac 13})^3=
    3\cdot{3}^{\frac 12}-3\cdot 3\cdot 2\cdot{2}^{\frac 13}+3\cdot{3}^{\frac 12}\cdot 4 \cdot{4}^{\frac 13}-8\cdot{8}^{\frac 13}= 3\cdot{3}^{\frac 12}-18\cdot{2}^{\frac 13}+12\cdot{3}^{\frac 12}\cdot {4}^{\frac 13}-16\;.
  7. \left(\left({12+{6}^{\frac 12}}\right)^{\frac 12}+ \left({12-{6}^{\frac 12}}\right)^{\frac 12}\right)^2= \left(\left({12+{6}^{\frac 12}}\right)^{\frac 12}\right)^2+\left(\left({12-{6}^{\frac 12}}\right)^{\frac 12}\right)^2+ 2\cdot\left({12+{6}^{\frac 12}}\right)^{\frac 12}\cdot\left({12+{6}^{\frac 12}}\right)^{\frac 12}= 12+{6}^{\frac 12}+12-{6}^{\frac 12}+2\cdot\left({\left(12+{6}^{\frac 12}\right)\cdot\left(12-{6}^{\frac 12}\right)}\right)^{\frac 12}= 24+2\cdot\left({144-6}\right)^{\frac 12}= 24+2\cdot{138}^{\frac 12}\;.
∎

Uwaga 4.23 (Ważna!) Pojawia się pytanie, czy notację wykładniczą wprowadza się również w przypadku podstaw ujemnych, jeśli wykładnikami są liczby postaci \frac{1}{2p+1}\;, gdzie p\in\mathrm{C}_+\;. Dotychczas w aktualnych podręcznikach szkolnych to zagadnienie na ogół nie było poruszane, chociaż pewne informacje można znaleźć np. w podręczniku J. Piórka i Z. Pogody dla drugiej klasy z serii Z PEGAZEM. W podręcznikach akademickich analizy matematycznej na ogół używa się dla podstawy ujemnej symbolu a^{\frac{1}{2p+1}}\;, choć niektórzy w tej szczególnej sytuacji wolą używać zapisu \sqrt[2p+1]{a}\;. Wymienne używanie zapisów \sqrt[3]{x}\; i x^{\frac 13}\;, \sqrt[2p+1]{x}\; i x^{\frac{1}{2p+1}}\; rozpowszechniło się za pośrednictwem kalkulatorów. Mamy więc wiele argumentów za tym, by w tych wyjątkowych przypadkach dopuścić zapisy typu:
\sqrt[3]{-8}=(-8)^{\frac 13}, (-8)^{\frac 13}=-2, \ (-a)^{\frac 13}=-a^{\frac 13}, \ (-a)^{\frac{1}{2k+1}}=-a^{\frac{1}{2k+1}}
dla a\in\R\; i k\in\mathrm{C}_+\;. Jednakże w następnym paragrafie pokażemy, że:

  • jest możliwe rozszerzenie definicji na przypadek wykładników dodatnich wymiernych dla podstawy a\in \langle 0,+\infty)\;,
  • nie można przenieść tego w spójny sposób na potęgi o wykładniku wymiernym dla podstawy a\in (-\infty,0)\;.

Okaże się więc, że można mówić o liczbach 2^{\frac 35}\; i 2^{\frac{6}{10}}\; i będą to liczby równe, i nie można w spójny sposób wskazać liczb, które odpowiadałyby symbolom (-2)^{\frac 35}\;, (-2)^{\frac{6}{10}}\; tak, aby zachodziła równość (-2)^{\frac 35}=(-2)^{\frac{6}{10}}\;. I to właśnie powstrzymuje wielu matematyków przed używaniem symbolu (-8)^{\frac 13}\;. Wydaje się więc, że nie unikniemy stykania się z zapisami (-8)^{\frac 13}\;, ale można zrozumieć osoby, które wolą pozostać w tym wyjątkowym przypadku przy zapisie -\sqrt[3]{8}\;. Należy zwracać szczególną uwagę na te sprawy podczas lektury podręczników i zbiorów zadań, a specjalnie podczas analizy poleceń w konkretnych zadaniach. Zauważmy na koniec, że zarówno Twierdzenie 4.1 jak i Twierdzenie 4.12 obejmuje przypadek równania x^1=a\;. Oznacza to, że dla dowolnej liczby rzeczywistej równanie x^1=a\; ma jedyne rozwiązanie rzeczywiste i jest nim liczba a\;. Wynika

stąd, że dla a\in\R\;, a^{\frac11}=a=a^1\;.

∎



Theme by Dr. Radut.