Potęgi. Zadania 10-13

Liczba $b\;$ jest o $62,5%\;$ mniejsza od liczby $a\;$.

Oblicz $a\;$, $b\;$ korzystając z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym oraz różnicę pomiędzy tymi liczbami. Oblicz jakim procentem większej liczby jest policzona wcześniej różnica liczb $a\;$ i $b\;$.

a = $\frac{\left((0,5)^{2}\cdot 2^6\right)^2}{2^{-11}:(0,5)^{16}}=$ $\frac{\left(2^{-2}\cdot 2^6\right)^2}{2^{-11}:2^{-16}}=$ $\frac{(2^4)^2}{2^{-11-(-16)}}=$ $\frac{2^8}{2^5}=$ 2³ = $8\;$.
b = $\frac{2^2\cdot (-3)^5\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{-5}+\frac{1}{9}\cdot(-3)^{12}}{-3\cdot 3^2\cdot 3^3\cdot 3^4}=$ $\frac{2^2\cdot (-3^5)\cdot 3^5+3^{-2}\cdot 3^{12}}{-3^{1+2+3+4}}=$ $\frac{-4\cdot 3^{10}+3^{10}}{-3^{10}}=$ $\frac{3^{10}\cdot (-4+1)}{-3^{10}}=$ $3\;$.
Różnica liczb $a\;$ i $b\;$ jest równa $5\;$. Obliczmy teraz jakim procentem liczby $a\;$ jest różnica liczb $a\;$ i $b\;$.

$\frac{5}{8}\cdot 100%=62,5%.$
Zatem liczba $b\;$ jest o $62,5%\;$ mniejsza od liczby $a\;$.

1. $3^{38}> 2^{57}\;$.
2. $15^7<2^{28}\;$.
3. $257^{18}>512^{16}\;$.
4. $64^{14}<26^{21}\;$.
5. $2^{\sqrt3}<3^{\sqrt{2}}\;$.

1. Przedstaw obie liczby w postaci potęgi o tym samym wykładniku i skorzystaj z faktu, że dla dowolnego $k\in\mathrm{C}_+\;$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $a>b>0\;$ mamy $a^k>b^k\;$.
2. Przedstaw obie liczby w postaci potęgi o tym samym wykładniku i skorzystaj z faktu, że dla dowolnego $k\in\mathrm{C}_+\;$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $a>b>0\;$ mamy $a^k>b^k\;$.
3. Zauważ, że $512=2\cdot 256=2\cdot 2^8\;$.Skorzystaj z faktu, że dla dowolnego $k\in\mathrm{C}_+\;$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $a>b>0\;$ mamy $a^k>b^k\;$.
4. Porównaj iloraz $\frac{64^{14}}{26^{21}}\;$ z liczbą 1. Zauważ, że wykładniki potęg mają wspólny dzielnik 7.
5. Podnieś każdą z liczb do potęgi $\sqrt{3}\;$ i porównaj otrzymane liczby korzystając z faktu, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $a>1\;$ jeśli $0<x<y\;$, to $a^x<a^y\;$. Następnie porównaj liczby $2^{\sqrt3}\;$ i $3^{\sqrt{2}}\;$ korzystając z tego, że dla dowolnych liczb $k\in\mathrm{C}_+\;$ i $a,b>0\;$, jeśli $a^k>b^k\;$, to $a>b\;$.

1. Zauważmy, że $3^{38}=(3^2)^{19}=9^{19}\;$, ponadto $2^{57}=(2^3)^{19}=8^{19}\;$. Ponieważ $9>8\;$, to $9^{19}>8^{19}\;$ (skorzystaliśmy z faktu, że dla dowolnego $k\in\mathrm{C}_+\;$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $a>b>0\;$ mamy $a^k>b^k\;$). Zatem $3^{38}> 2^{57}\;$.
2. Zauważmy, że $2^{28}=(2^4)^7=16^7\;$. Ponieważ $16>15\;$, to $16^7>15^7\;$ (korzystamy z faktu, że dla dowolnego $k\in\mathrm{C}_+\;$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $a>b>0\;$ mamy $a^k>b^k\;$). Zatem $15^7<2^{28}\;$.
3. Zauważmy, że $256^{18}=(2^8)^{18}=2^{144}= (2^9)^{16}=512^{16}.\;$ Ponieważ $257>256\;$, to $257^{18}>256^{18}\;$ (korzystamy z faktu, że dla dowolnego $k\in\mathrm{C}_+\;$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $a>b>0\;$ mamy $a^k>b^k\;$). Zatem $257^{18}>512^{16}\;$.
4. I sposób: Porównamy iloraz $\frac{64^{14}}{26^{21}}\;$ z liczbą 1.
   $\frac{64^{14}}{26^{21}}=\left(\frac{64^2}{26^3}\right)^7=\left( \frac{2^{12}}{2^3\cdot 13^3}\right)^7=\left( \frac{2^{9}}{13^3}\right)^7= \left( \frac{512}{2197}\right)^7<1.$
   Zatem $64^{14}<26^{21}\;$.
   II sposób: Ponieważ $26>25\;$, to $26^{21}>25^{21}\;$ (korzystamy z faktu, że dla dowolnego $k\in\mathrm{C}_+\;$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $a>b>0\;$ mamy $a^k>b^k\;$). Ponadto $25^{21}=(5^2)^{21}=5^{42}\;$. Dalej zauważmy, że ponieważ $5>4\;$, to $5^{42}>4^{42}\;$ oraz $4^{42}=(4^3)^{14}=64^{14}\;$. Zatem $64^{14}<26^{21}\;$.
5. Podnieśmy każdą z liczb do potęgi $\sqrt{3}\;$, wówczas $\left(2^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}}=2^3=8\;$ oraz $\left(3^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{3}}=3^{\sqrt{6}}\;$. Ponieważ $2<\sqrt{6}\;$, to $3^2<3^{\sqrt{6}}\;$. Otrzymaliśmy więc, że $\left(2^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}}=8<9=3^2<3^{\sqrt{6}}\;$. Korzystając z faktu, że dla dowolnych liczb $k\in\mathrm{C}_+\;$, $a,b>0\;$, jeśli $a^k<b^k\;$, to $a<b\;$ (dla $k=\sqrt{3}, a=2^{\sqrt3},\ b=3^{\sqrt{2}}\;$) mamy $2^{\sqrt3}<3^{\sqrt{2}}.\;$

1. $5^{18}<2^{45}<4^{27}<3^{36}\;$.
2. $0^{100}<(0,1)^{20}<(0,1)^{10}<63^7<32^9<16^{12}<18^{13}\;$.

1. Zauważ, że wykładniki wszystkich czterech potęg mają wspólny dzielnik Przedstaw każdą z liczb w postaci potęgi o tym samym wykładniku i skorzystaj z faktu, że dla dowolnego $k\in\mathrm{C}_+\;$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $a>b>0\;$ mamy $a^k>b^k\;$.
2. Porównując liczby $(0,1)^{20}\;$ i $(0,1)^{10}\;$ skorzystaj z faktu, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $a\in (0,1)\;$ i dowolnych $k,l\in \N\;$ jeśli $k>l\;$, to $a^k<a^l\;$. Aby porównać liczby $32^9, 16^{12}, 63^7\;$ i $18^{13}\;$ przedstaw je w postaci potęgi o podstawie $2\;$ lub porównaj z pewną liczbą zapisaną w postaci potęgi o podstawie $2\;$.

1. Przedstawmy każdą z liczb jako potęgę o wykładniku $9\;$ w następujący sposób $2^{45}=(2^5)^9=32^9\;$, $3^{36}=(3^4)^9=81^9\;$, $4^{27}=(4^3)^9=64^9\;$ oraz $5^{18}=(5^2)^9=25^9\;$. Ponieważ $25<32<64<81\;$, to $25^9<32^9<64^9<81^9\;$ (skorzystaliśmy z faktu, że dla dowolnego $k\in\mathrm{C}_+\;$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $a>b>0\;$ mamy $a^k>b^k\;$). Zatem $5^{18}<2^{45}<4^{27}<3^{36}.\;$
2. Zauważmy, że $(0,1)^{20}<(0,1)^{10}\;$ ponieważ $0,1\in (0,1)\;$ oraz $20>10\;$. Ponadto najmniejszą ze wszystkich danych liczb jest $0^{100}=0\;$. Pozostałe liczby są większe od $(0,1)^{10}\;$. Przedstawimy je w postaci potęgi o podstawie $2\;$ lub porównamy z pewną liczbą zapisaną w postaci potęgi o podstawie $2\;$ następująco:
   32⁹ = (2⁵)⁹ = 2⁴⁵,

   16¹² = (2⁴)¹² = 2⁴⁸,

   $18^{13}=2^{13}\cdot 9^{13}>2^{13}\cdot 8^{13}=2^{13}\cdot 2^{39}=2^{52},$

   63⁷ < 64⁷ = (2⁶)⁷ < 2⁴² < 2⁴⁵.
   Ostatecznie otrzymujemy, że $0^{100}<(0,1)^{20}<(0,1)^{10}<63^7<32^9<16^{12}<18^{13}\;$.

$2^{2048}\;$.

Pomnóż drugi składnik sumy przez $1=(2-1)\;$, a następnie skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia $(A-B)(A+B)=A^2-B^2\;$.

Pomnóżmy drugi składnik sumy przez $1=(2-1)\;$ oraz zastosujmy wzór skróconego mnożenia $(A-B)(A+B)=A^2-B^2\;$, wówczas
$1+(2+1)\cdot(2^2+1)\cdot(2^4+1)\cdot(2^8+1)\cdot\ldots\cdot(2^{512}+1) \cdot(2^{1024}+1)=\;$
$1+(2-1)\cdot(2+1)\cdot(2^2+1)\cdot(2^4+1)\cdot(2^8+1)\cdot\ldots\cdot(2^{512}+1) \cdot(2^{1024}+1)=\;$
$1+(2^2-1)\cdot(2^2+1)\cdot(2^4+1)\cdot(2^8+1)\cdot\ldots\cdot(2^{512}+1) \cdot(2^{1024}+1)=\;$
$1+(2^4-1)\cdot(2^4+1)\cdot(2^8+1)\cdot\ldots\cdot(2^{512}+1)\cdot(2^{1024}+1).\;$
Postępując kilkakrotnie w analogiczny sposób otrzymujemy:
$1+(2^{512}-1)\cdot(2^{512}+1)\cdot(2^{1024}+1)=$ $1+(2^{1024}-1) \cdot(2^{1024}+1)=$ 1 + 2²⁰⁴⁸ − 1 = $2^{2048}\;$.