Potęgi. Zadania 10-13

Liczba \(b\;\) jest o \(62,5%\;\) mniejsza od liczby \(a\;\).

Oblicz \(a\;\), \(b\;\) korzystając z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym oraz różnicę pomiędzy tymi liczbami. Oblicz jakim procentem większej liczby jest policzona wcześniej różnica liczb \(a\;\) i \(b\;\).

a = \(\frac{\left((0,5)^{2}\cdot 2^6\right)^2}{2^{-11}:(0,5)^{16}}=\) \(\frac{\left(2^{-2}\cdot 2^6\right)^2}{2^{-11}:2^{-16}}=\) \(\frac{(2^4)^2}{2^{-11-(-16)}}=\) \(\frac{2^8}{2^5}=\) 2³ = \(8\;\).
b = \(\frac{2^2\cdot (-3)^5\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{-5}+\frac{1}{9}\cdot(-3)^{12}}{-3\cdot 3^2\cdot 3^3\cdot 3^4}=\) \(\frac{2^2\cdot (-3^5)\cdot 3^5+3^{-2}\cdot 3^{12}}{-3^{1+2+3+4}}=\) \(\frac{-4\cdot 3^{10}+3^{10}}{-3^{10}}=\) \(\frac{3^{10}\cdot (-4+1)}{-3^{10}}=\) \(3\;\).
Różnica liczb \(a\;\) i \(b\;\) jest równa \(5\;\). Obliczmy teraz jakim procentem liczby \(a\;\) jest różnica liczb \(a\;\) i \(b\;\).

\(\frac{5}{8}\cdot 100%=62,5%.\)
Zatem liczba \(b\;\) jest o \(62,5%\;\) mniejsza od liczby \(a\;\).

1. \(3^{38}> 2^{57}\;\).
2. \(15^7<2^{28}\;\).
3. \(257^{18}>512^{16}\;\).
4. \(64^{14}<26^{21}\;\).
5. \(2^{\sqrt3}<3^{\sqrt{2}}\;\).

1. Przedstaw obie liczby w postaci potęgi o tym samym wykładniku i skorzystaj z faktu, że dla dowolnego \(k\in\mathrm{C}_+\;\) oraz dowolnych liczb rzeczywistych \(a>b>0\;\) mamy \(a^k>b^k\;\).
2. Przedstaw obie liczby w postaci potęgi o tym samym wykładniku i skorzystaj z faktu, że dla dowolnego \(k\in\mathrm{C}_+\;\) oraz dowolnych liczb rzeczywistych \(a>b>0\;\) mamy \(a^k>b^k\;\).
3. Zauważ, że \(512=2\cdot 256=2\cdot 2^8\;\).Skorzystaj z faktu, że dla dowolnego \(k\in\mathrm{C}_+\;\) oraz dowolnych liczb rzeczywistych \(a>b>0\;\) mamy \(a^k>b^k\;\).
4. Porównaj iloraz \(\frac{64^{14}}{26^{21}}\;\) z liczbą 1. Zauważ, że wykładniki potęg mają wspólny dzielnik 7.
5. Podnieś każdą z liczb do potęgi \(\sqrt{3}\;\) i porównaj otrzymane liczby korzystając z faktu, że dla dowolnej liczby rzeczywistej \(a>1\;\) jeśli \(0<x<y\;\), to \(a^x<a^y\;\). Następnie porównaj liczby \(2^{\sqrt3}\;\) i \(3^{\sqrt{2}}\;\) korzystając z tego, że dla dowolnych liczb \(k\in\mathrm{C}_+\;\) i \(a,b>0\;\), jeśli \(a^k>b^k\;\), to \(a>b\;\).

1. Zauważmy, że \(3^{38}=(3^2)^{19}=9^{19}\;\), ponadto \(2^{57}=(2^3)^{19}=8^{19}\;\). Ponieważ \(9>8\;\), to \(9^{19}>8^{19}\;\) (skorzystaliśmy z faktu, że dla dowolnego \(k\in\mathrm{C}_+\;\) oraz dowolnych liczb rzeczywistych \(a>b>0\;\) mamy \(a^k>b^k\;\)). Zatem \(3^{38}> 2^{57}\;\).
2. Zauważmy, że \(2^{28}=(2^4)^7=16^7\;\). Ponieważ \(16>15\;\), to \(16^7>15^7\;\) (korzystamy z faktu, że dla dowolnego \(k\in\mathrm{C}_+\;\) oraz dowolnych liczb rzeczywistych \(a>b>0\;\) mamy \(a^k>b^k\;\)). Zatem \(15^7<2^{28}\;\).
3. Zauważmy, że \(256^{18}=(2^8)^{18}=2^{144}= (2^9)^{16}=512^{16}.\;\) Ponieważ \(257>256\;\), to \(257^{18}>256^{18}\;\) (korzystamy z faktu, że dla dowolnego \(k\in\mathrm{C}_+\;\) oraz dowolnych liczb rzeczywistych \(a>b>0\;\) mamy \(a^k>b^k\;\)). Zatem \(257^{18}>512^{16}\;\).
4. I sposób: Porównamy iloraz \(\frac{64^{14}}{26^{21}}\;\) z liczbą 1.
   \(\frac{64^{14}}{26^{21}}=\left(\frac{64^2}{26^3}\right)^7=\left( \frac{2^{12}}{2^3\cdot 13^3}\right)^7=\left( \frac{2^{9}}{13^3}\right)^7= \left( \frac{512}{2197}\right)^7<1.\)
   Zatem \(64^{14}<26^{21}\;\).
   II sposób: Ponieważ \(26>25\;\), to \(26^{21}>25^{21}\;\) (korzystamy z faktu, że dla dowolnego \(k\in\mathrm{C}_+\;\) oraz dowolnych liczb rzeczywistych \(a>b>0\;\) mamy \(a^k>b^k\;\)). Ponadto \(25^{21}=(5^2)^{21}=5^{42}\;\). Dalej zauważmy, że ponieważ \(5>4\;\), to \(5^{42}>4^{42}\;\) oraz \(4^{42}=(4^3)^{14}=64^{14}\;\). Zatem \(64^{14}<26^{21}\;\).
5. Podnieśmy każdą z liczb do potęgi \(\sqrt{3}\;\), wówczas \(\left(2^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}}=2^3=8\;\) oraz \(\left(3^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{3}}=3^{\sqrt{6}}\;\). Ponieważ \(2<\sqrt{6}\;\), to \(3^2<3^{\sqrt{6}}\;\). Otrzymaliśmy więc, że \(\left(2^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}}=8<9=3^2<3^{\sqrt{6}}\;\). Korzystając z faktu, że dla dowolnych liczb \(k\in\mathrm{C}_+\;\), \(a,b>0\;\), jeśli \(a^k<b^k\;\), to \(a<b\;\) (dla \(k=\sqrt{3}, a=2^{\sqrt3},\ b=3^{\sqrt{2}}\;\)) mamy \(2^{\sqrt3}<3^{\sqrt{2}}.\;\)

1. \(5^{18}<2^{45}<4^{27}<3^{36}\;\).
2. \(0^{100}<(0,1)^{20}<(0,1)^{10}<63^7<32^9<16^{12}<18^{13}\;\).

1. Zauważ, że wykładniki wszystkich czterech potęg mają wspólny dzielnik Przedstaw każdą z liczb w postaci potęgi o tym samym wykładniku i skorzystaj z faktu, że dla dowolnego \(k\in\mathrm{C}_+\;\) oraz dowolnych liczb rzeczywistych \(a>b>0\;\) mamy \(a^k>b^k\;\).
2. Porównując liczby \((0,1)^{20}\;\) i \((0,1)^{10}\;\) skorzystaj z faktu, że dla dowolnej liczby rzeczywistej \(a\in (0,1)\;\) i dowolnych \(k,l\in \N\;\) jeśli \(k>l\;\), to \(a^k<a^l\;\). Aby porównać liczby \(32^9, 16^{12}, 63^7\;\) i \(18^{13}\;\) przedstaw je w postaci potęgi o podstawie \(2\;\) lub porównaj z pewną liczbą zapisaną w postaci potęgi o podstawie \(2\;\).

1. Przedstawmy każdą z liczb jako potęgę o wykładniku \(9\;\) w następujący sposób \(2^{45}=(2^5)^9=32^9\;\), \(3^{36}=(3^4)^9=81^9\;\), \(4^{27}=(4^3)^9=64^9\;\) oraz \(5^{18}=(5^2)^9=25^9\;\). Ponieważ \(25<32<64<81\;\), to \(25^9<32^9<64^9<81^9\;\) (skorzystaliśmy z faktu, że dla dowolnego \(k\in\mathrm{C}_+\;\) oraz dowolnych liczb rzeczywistych \(a>b>0\;\) mamy \(a^k>b^k\;\)). Zatem \(5^{18}<2^{45}<4^{27}<3^{36}.\;\)
2. Zauważmy, że \((0,1)^{20}<(0,1)^{10}\;\) ponieważ \(0,1\in (0,1)\;\) oraz \(20>10\;\). Ponadto najmniejszą ze wszystkich danych liczb jest \(0^{100}=0\;\). Pozostałe liczby są większe od \((0,1)^{10}\;\). Przedstawimy je w postaci potęgi o podstawie \(2\;\) lub porównamy z pewną liczbą zapisaną w postaci potęgi o podstawie \(2\;\) następująco:
   32⁹ = (2⁵)⁹ = 2⁴⁵,

   16¹² = (2⁴)¹² = 2⁴⁸,

   \(18^{13}=2^{13}\cdot 9^{13}>2^{13}\cdot 8^{13}=2^{13}\cdot 2^{39}=2^{52},\)

   63⁷ < 64⁷ = (2⁶)⁷ < 2⁴² < 2⁴⁵.
   Ostatecznie otrzymujemy, że \(0^{100}<(0,1)^{20}<(0,1)^{10}<63^7<32^9<16^{12}<18^{13}\;\).

\(2^{2048}\;\).

Pomnóż drugi składnik sumy przez \(1=(2-1)\;\), a następnie skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia \((A-B)(A+B)=A^2-B^2\;\).

Pomnóżmy drugi składnik sumy przez \(1=(2-1)\;\) oraz zastosujmy wzór skróconego mnożenia \((A-B)(A+B)=A^2-B^2\;\), wówczas
\(1+(2+1)\cdot(2^2+1)\cdot(2^4+1)\cdot(2^8+1)\cdot\ldots\cdot(2^{512}+1) \cdot(2^{1024}+1)=\;\)
\(1+(2-1)\cdot(2+1)\cdot(2^2+1)\cdot(2^4+1)\cdot(2^8+1)\cdot\ldots\cdot(2^{512}+1) \cdot(2^{1024}+1)=\;\)
\(1+(2^2-1)\cdot(2^2+1)\cdot(2^4+1)\cdot(2^8+1)\cdot\ldots\cdot(2^{512}+1) \cdot(2^{1024}+1)=\;\)
\(1+(2^4-1)\cdot(2^4+1)\cdot(2^8+1)\cdot\ldots\cdot(2^{512}+1)\cdot(2^{1024}+1).\;\)
Postępując kilkakrotnie w analogiczny sposób otrzymujemy:
\(1+(2^{512}-1)\cdot(2^{512}+1)\cdot(2^{1024}+1)=\) \(1+(2^{1024}-1) \cdot(2^{1024}+1)=\) 1 + 2²⁰⁴⁸ − 1 = \(2^{2048}\;\).