Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to Content

Potęgi. Zadania 7-9

śr., 09/15/2010 - 15:11 — ciebie

Zadanie 1.7 Uprość podane wyrażenia, zakładając, że mają one sens liczbowy, a podstawy potęg są liczbami dodatnimi:

  1. xn+2−xn+3xn+1−xn+4,
  2. xn+45−xn+12xn+12−xn+23+xn+34,
  3. ((p−1+q−1)2+(p−1−q−1)2)−1((p−1+q−1)2−(p−1−q−1)2)−1,
  4. √(4b+5)2+32b2−50+(4b−5)2(4b−5)2+(4b+5)2+50−32b2,
  5. 2x+y−22y+12x−22y+1−2y+1+2x+y⋅2−y:(1+2y+1+22y)−1,
  6. a43√a4bc+b3√ab7c+c3√abc105√a25b5:3√b3+b2c3√b−3c3+4√c16a2b5:(b54√a),
  7. (y2nm−n)1n:(y(m−n)2+4mnm2−n2)1m,
  8. (a1m−a1n)2+4am+nmn(a2m−a2n)(m√am+1+n√an+1).


Odpowiedź:

  1. x1+x+x2.
  2. x11+1.
  3. 2pqp2+q2.
  4. 45b.
  5. 1+2y.
  6. 3√abc.
  7. y1m.
  8. 1a(m√a−n√a).


Wskazówka:

  1. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku rzeczywistym i ze wzoru skróconego mnożenia A3−B3=(A−B)(A2+AB+B2).
  2. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku rzeczywistym i ze wzoru skróconego mnożenia A3+B3=(A+B)(A2−AB+B2).
  3. I sposób: Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym oraz ze wzorów skróconego mnożenia
    1. (A+B)2=A2+2AB+B2,
    2. (A−B)2=A2−2AB+B2,
    3. A2−B2=(A−B)(A+B).

    II sposób: Dokonaj podstawienia: A=p−1, B=q−1, a następnie skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym oraz ze wzorów skróconego mnożenia

    1. (A+B)2=A2+2AB+B2,
    2. (A−B)2=A2−2AB+B2.

  4. I sposób: Skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia
    1. A2−B2=(A−B)(A+B),
    2. (A+B)2=A2+2AB+B2,
    3. (A−B)2=A2−2AB+B2,

    oraz z faktu, że √c2=|c| dla dowolnego c∈\R.
    II sposób: Skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia

    1. (A+B)2=A2+2AB+B2,
    2. (A−B)2=A2−2AB+B2,

    dokonaj redukcji wyrazów podobnych i skorzystaj z faktu, że

    √c2=|c| dla dowolnego c∈\R.

  5. I sposób: Wyodrębnij w zapisie wyrażenia 2x i 2y. Wyłącz wspólny czynnik przed nawias w liczniku i mianowniku, następnie skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku rzeczywistym i ze wzoru skróconego mnożenia A2+2AB+B2=(A+B)2.
    II sposób: Dokonaj podstawienia: A=2x i B=2y, a następnie skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym oraz ze wzoru skróconego mnożenia 1+2B+B2=(1+B)2.
  6. Skorzystaj z własności działań na pierwiastkach arytmetycznych oraz z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  7. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku rzeczywistym i ze wzorów skróconego mnożenia
    1. (A−B)2=A2−2AB+B2,
    2. (A+B)2=A2+2AB+B2,
    3. A2−B2=(A−B)(A+B).
  8. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku rzeczywistym oraz ze wzorów skróconego mnożenia
    1. (A−B)2=A2−2AB+B2,
    2. (A+B)2=A2+2AB+B2,
    3. A2−B2=(A−B)(A+B).


Rozwiązanie:

  1. xn+2−xn+3xn+1−xn+4= xn+2(1−x)xn+1(1−x3)= xn+2−(n+1)⋅1−x1−x3= x⋅1−x(1−x)(1+x+x2)= x1+x+x2.
  2. xn+45−xn+12xn+12−xn+23+xn+34= xn+12(x33+1)xn+12(1−x11+x22)= (x11+1)(x22−x11+1)1−x11+x22= x11+1.
  3. I sposób: ((p−1+q−1)2+(p−1−q−1)2)−1((p−1+q−1)2−(p−1−q−1)2)−1= (p−2+2p−1q−1+q−2+p−2−2p−1q−1+q−2(p−1+q−1+p−1−q−1)(p−1+q−1−p−1+q−1))−1=
    (2p−2+2q−2(2p−1)(2q−1))−1= (2(p−2+q−2)4p−1q−1)−1= (p−2+q−22p−1q−1)−1= (12(p−2+q−2)pq)−1= (12)−1⋅(p−1q+q−1p)−1= 2(qp+pq)−1= 2(q2+p2pq)−1= 2pqp2+q2.

    II sposób: ((p−1+q−1)2+(p−1−q−1)2)−1((p−1+q−1)2−(p−1−q−1)2)−1= /podstawmy A=p−1,B=q−1/=
    ((A+B)2+(A−B)2)−1((A+B)2−(A−B)2)−1= ((A+B)2+(A−B)2(A+B)2−(A−B)2)−1= (A+B)2−(A−B)2(A+B)2+(A−B)2=
    A2+2AB+B2−(A2−2AB+B2)A2+2AB+B2+A2−2AB+B2= 4AB2A2+2B2= 2ABA2+B2=/wracamy do liter p,q/=
    2pq(1p)2+(1q)2= 2pq⋅p2q2q2+p2= 2pqp2+q2.

  4. I sposób: √(4b+5)2+32b2−50+(4b−5)2(4b−5)2+(4b+5)2+50−32b2= √(4b+5)2+2(16b2−25)+(4b−5)2(4b−5)2+(4b+5)2−2(16b2−25)=
    √(4b+5)2+2((4b)2−52)+(4b−5)2(4b−5)2−2((4b)2−52)+(4b+5)2=
    √(4b+5)2+2(4b−5)(4b+5)+(4b−5)2(4b−5)2−2(4b−5)(4b+5)+(4b+5)2= √(4b+5+4b−5)2(4b−5−(4b+5))2= √(8b)2(−10)2= √64100b2= 810√b2= 45|b|= 45b (ostatnia równość wynika z treści zadania, gdyż założyliśmy, że podstawy potęg są dodatnie, zatem b>0).
    II sposób: √(4b+5)2+32b2−50+(4b−5)2(4b−5)2+(4b+5)2+50−32b2=
    √16b2+40b+25+32b2−50+16b2−40b+2516b2−40b+25+16b2+40b+25+50−32b2= √64b2100= √64100b2= 810√b2= 45|b|= 45b (ostatnia równość wynika z treści zadania, gdyż założyliśmy, że podstawy potęg są dodatnie, zatem b>0).
  5. I sposób: 2x+y−22y+12x−22y+1−2y+1+2x+y⋅2−y:(1+2y+1+22y)−1=
    2y(2x−2y+1)2x(1+2y)−2y+1(1+2y)⋅2−y:(1+2y+1+22y)−1= 2y(2x−2y+1)(2x−2y+1)(1+2y)⋅2−y⋅(1+2⋅2y+(2y)2)= 2y1+2y⋅2−y⋅(1+2y)2= 1+2y.

    II sposób: 2x+y−22y+12x−22y+1−2y+1+2x+y⋅2−y:(1+2y+1+22y)−1= /podstawmy A=2x,B=2y/=AB−2B2A−2B2−2B+AB⋅B−1:(1+2B+B2)−1= B(A−2B)A(1+B)−2B(B+1)⋅1B⋅(1+2B+B2)= B(A−2B)(A−2B)(1+B)⋅1B⋅(1+B)2= 1+B=/wracamy do liter x,y/=1+2y.

  6. a43√a4bc+b3√ab7c+c3√abc105√a25b5:3√b3+b2c3√b−3c3+4√c16a2b5:(b54√a)=
    a43√a3abc+b3√b6abc+c3√c9abc5√(a5b)5:b+b2c3√(b−1c)3+4√(c4)4a2b5:(b54√a)=
    a4⋅a3√abc+b⋅b23√abc+c⋅c33√abc(a5b):b+b2c(b−1c)+4√(c4)4⋅4√a2⋅b54:(b54a12)=
    a53√abc+b33√abc+c43√abca5⋅b⋅b−1+b2cbc−1+c4⋅a12⋅b54⋅b−54⋅a−12= (a5+b3+c4)3√abca5+b3+c4= 3√abc.
  7. (y2nm−n)1n:(y(m−n)2+4mnm2−n2)1m= (y2nm−n⋅1n):(ym2−2mn+n2+4mnm2−n2)1m= (y2m−n):(ym2+2mn+n2(m−n)(m+n))1m= (y2m−n):(y(m+n)2(m−n)(m+n))1m= (y2m−n):(ym+nm−n)1m= (y2m−n):(ym+nm−n⋅1m)=
    (y2m−n):(ym+nm(m−n))= y2m−n−m+nm(m−n)= y2m−(m+n)m(m−n)= ym−nm(m−n)= y1m.
  8. (a1m−a1n)2+4am+nmn(a2m−a2n)(m√am+1+n√an+1)= (a1m)2−2a1ma1n+(a1n)2+4a1n+1m(a2m−a2n)(am+1m+an+1n)=
    (a1m)2+2a1ma1n+(a1n)2(a2m−a2n)(a1+1m+a1+1n)= (a1m+a1n)2((a1m)2−(a1n)2)(a⋅a1m+a⋅a1n)=
    (a1m+a1n)2(a1m−a1n)(a1m+a1n)⋅a⋅(a1m+a1n)= (a1m+a1n)2a(a1m−a1n)(a1m+a1n)2= 1a(m√a−n√a).
∎

Zadanie 1.8 Uprość wyrażenie, a następnie oblicz jego wartość liczbową wiedząc, że a=8, b=2, c=2√17.

  1. (a2c+b2c)(a2c−b2c)(a2+b2)(a4−b4),
  2. (a2−b2)(a3−b3)(a2−2ab+b2)(c2a+c2b),
  3. 6a31−a3:3a13a11+a12+a13,
  4. (b56a−16+b13a13)2+(b56a−16−b13a13)2(a−13−b−13)(3√a2+3√b2+a13b13)−2a+4a2a−b,
  5. (33√a2−3√a+1−3a+1−1−a133√a2−1)−1⋅(1+a−13)2−a−23.


Odpowiedź:

  1. Wyrażenie po uproszczeniu: c2a2+b2. Wartość liczbowa: 1.
  2. Wyrażenie po uproszczeniu: a2+ab+b2c2. Wartość liczbowa: 2117.
  3. Wyrażenie po uproszczeniu: 2a1−a. Wartość liczbowa: −167.
  4. Wyrażenie po uproszczeniu: 2(a+b). Wartość liczbowa: 20.
  5. Wyrażenie po uproszczeniu: a13. Wartość liczbowa: 2.


Wskazówka:

  1. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku naturalnym oraz ze wzoru skróconego mnożenia A2−B2=(A−B)(A+B).
  2. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku naturalnym oraz ze wzorów skróconego mnożenia
    1. A2−B2=(A−B)(A+B),
    2. A3−B3=(A−B)(A2+AB+B2),
    3. A2−2AB+B2=(A−B)2.
  3. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku naturalnym oraz ze wzoru skróconego mnożenia A3−B3=(A−B)(A2+AB+B2).
  4. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym oraz ze wzorów skróconego mnożenia
    1. (A+B)2=A2+2AB+B2,
    2. (A−B)(A2+AB+B2)=A3−B3,
    3. A2−B2=(A−B)(A+B).
  5. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym oraz ze wzorów skróconego mnożenia
    1. (A2−AB+B2)(A+B)=A3+B3,
    2. A2−B2=(A−B)(A+B),
    3. A2+2AB+B2=(A+B)2.


Rozwiązanie:

  1. (a2c+b2c)(a2c−b2c)(a2+b2)(a4−b4)= c(a2+b2)⋅c(a2−b2)(a2+b2)(a2+b2)(a2−b2)= c2a2+b2.
    Wartość tego wyrażenia dla a=8, b=2 i c=2√17 jest równa (2√17)282+22=4⋅1764+4=6868=1.
  2. (a2−b2)(a3−b3)(a2−2ab+b2)(c2a+c2b)= (a−b)(a+b)(a−b)(a2+ab+b2)(a−b)2⋅c2⋅(a+b)= a2+ab+b2c2.
    Wartość tego wyrażenia dla a=8, b=2 i c=2√17 jest równa 82+8⋅2+22(2√17)2=64+16+44⋅17=8468=2117.
  3. 6a31−a3:3a13a11+a12+a13= 6a31−a3⋅a11+a12+a133a13= 6a3(1−a)(1+a+a2)⋅a11(1+a+a2)3a13= 2a14a13(1−a)= 2a1−a.
    Wartość tego wyrażenia dla a=8 jest równa 2⋅81−8=−167.
  4. (b56a−16+b13a13)2+(b56a−16−b13a13)2(a−13−b−13)(3√a2+3√b2+a13b13)−2a+4a2a−b=
    (b56a−16)2+2b56a−16b13a13+(b13a13)2+(b56a−16)2−2b56a−16b13a13+(b13a13)2(a−13−b−13)(a23+b23+a13b13)−2a+4a2a−b=
    2((b56a−16)2+(b13a13)2)(1a13−1b13)(a23+a13b13+b23)−2a(a−b)a−b+4a2a−b=
    2(b53a−13+b23a23)b13−a13a13b13⋅(a23+a13b13+b23)−2a(a−b)−4a2a−b=
    2(b53a−13+b23a23)a13b13(b13−a13)(b23+a13b13+a23)−2a2−2ab−4a2a−b= 2(b2+ba)b−a−−2a2−2aba−b= 2(b2+ab)b−a+−2a2−2abb−a= 2b2+2ab−2a2−2abb−a= 2(b2−a2)b−a= 2(b−a)(b+a)b−a= 2(a+b).
    Wartość tego wyrażenia dla a=8 i b=2 jest równa 2(a+b)=2⋅(8+2)=20.
  5. (33√a2−3√a+1−3a+1−1−a133√a2−1)−1⋅(1+a−13)2−a−23=
    (3(a13+1)(a23−a13+1)(a13+1)−3a+1+a13−1a23−1)−1⋅(1+1a13)2−a−23=
    (3(a13+1)a+1−3a+1+a13−1(a13−1)(a13+1))−1⋅(1+1a13)2−a−23=
    (3a13+3−3a+1+1a13+1)−1⋅(a13+1a13)2−a−23=
    (3a13a+1+a23−a13+1(a13+1)(a23−a13+1))−1⋅(a13+1)2(a13)2−a−23=
    (3a13a+1+a23−a13+1a+1)−1⋅(a13+1)2a23−a−23=
    (3a13+a23−a13+1a+1)−1⋅(a13+1)2a−23−a−23= (a23+2a13+1a+1)−1⋅(a13+1)2a−23−a−23= ((a13+1)2a+1)−1⋅(a13+1)2a−23−a−23= a+1(a13+1)2⋅(a13+1)2a−23−a−23=
    (a+1)a−23−a−23= (a+1−1)a−23= a⋅a−23= a13.
    Wartość tego wyrażenia dla a=8 jest równa 813=2.
∎

Zadanie 1.9 Wiedząc, że

  1. √8−a+√5+a=5, oblicz (8−a)(5+a),
  2. 3√2−a+3√2+a=2, oblicz 3√4−a2.


Odpowiedź:

  1. 36.
  2. 23.


Wskazówka:

  1. Podnieś obie strony równości √8−a+√5+a=5 do kwadratu.
  2. Podnieś obie strony równości 3√2−a+3√2+a=2 do sześcianu.


Rozwiązanie:

  1. Po podniesieniu obu stron równości √8−a+√5+a=5 do kwadratu otrzymujemy, że (√8−a+√5+a)2=52=25. Stąd
    25 = (√8−a+√5+a)2= (√8−a)2+2√8−a⋅√5+a+(√5+a)2= 8−a+2√(8−a)(5+a)+5+a= 13+2√(8−a)(5+a), czyli
    25−13=2√(8−a)(5+a)
    co jest równoważne temu, że
    6=√(8−a)(5+a),
    zatem
    (8 − a)(5 + a) = 36.
  2. Równość 3√2−a+3√2+a=2 jest równoważna równości (3√2−a+3√2+a)3=23=8. Otrzymujemy
    8 = (3√2−a+3√2+a)3=
    (3√2−a)3+3(3√2−a)23√2+a+33√2−a(3√2+a)2+(3√2+a)3=
    2−a+33√(2−a)2⋅3√2+a+33√2−a⋅3√(2+a)2+2+a=
    4+33√(2−a)2(2+a)+33√(2−a)(2+a)2=
    4+33√(2−a)(2−a)(2+a)+33√(2−a)(2+a)(2+a)=
    4+33√(2−a)(4−a2)+33√(4−a2)(2+a)=
    4+33√4−a2⋅3√2−a+33√4−a2⋅3√2+a=
    4+33√4−a2(3√2−a+3√2+a)⏟=2= 4+33√4−a2⋅2, czyli
    8=4+63√4−a2.
    co jest równoważne temu, że
    46=3√4−a2,
    zatem
    3√4−a2=23.
∎



Theme by Dr. Radut.