Skip to Content

Potęgi. Zadania 7-9

śr., 09/15/2010 - 15:11 — ciebie

Zadanie 1.7 Uprość podane wyrażenia, zakładając, że mają one sens liczbowy, a podstawy potęg są liczbami dodatnimi:

  1. \(\frac{x^{n+2}-x^{n+3}}{x^{n+1}-x^{n+4}}\;\),
  2. \(\frac{x^{n+45}-x^{n+12}}{x^{n+12}-x^{n+23}+x^{n+34}}\;\),
  3. \(\frac{\left((p^{-1}+q^{-1})^2+(p^{-1}-q^{-1})^2\right)^{-1}} {\left((p^{-1}+q^{-1})^2-(p^{-1}-q^{-1})^2\right)^{-1}}\;\),
  4. \(\sqrt{\frac{(4b+5)^2+32b^2-50+(4b-5)^2}{(4b-5)^2+(4b+5)^2+50-32b^2}}\;\),
  5. \(\frac{2^{x+y}-2^{2y+1}}{2^x-2^{2y+1}-2^{y+1}+2^{x+y}}\cdot 2^{-y}: \left(1+2^{y+1}+2^{2y}\right)^{-1}\;\),
  6. \(\frac{a^4\sqrt[3]{a^4bc}+b\sqrt[3]{ab^7c}+c\sqrt[3]{abc^{10}}} {\sqrt[5]{a^{25}b^5}: \sqrt[3]{b^3}+\frac{b^2c}{\sqrt[3]{b^{-3}c^3}}+ \sqrt[4]{c^{16}a^2b^5}:(b^{\frac54}\sqrt{a})}\;\),
  7. \(\left(y^{\frac{2n}{m-n}}\right)^{\frac 1n}: \left(y^{\frac{(m-n)^2+4mn}{m^2-n^2}}\right)^{\frac 1m}\;\),
  8. \(\frac{\left(a^{\frac 1m}-a^{\frac 1n}\right)^2+4a^{\frac{m+n}{mn}}} {\left(a^{\frac2m}-a^{\frac 2n}\right)\left(\sqrt[m]{a^{m+1}}+\sqrt[n]{a^{n+1}}\right)}\;\).


Odpowiedź:

  1. \(\frac{x}{1+x+x^2}\;\).
  2. \(x^{11}+1\;\).
  3. \(\frac{2pq}{p^2+q^2}\;\).
  4. \(\frac{4}{5}b\;\).
  5. \(1+2^y\;\).
  6. \(\sqrt[3]{abc}\;\).
  7. \(y^{\frac 1m}\;\).
  8. \(\frac{1}{a\left(\sqrt[m]{a}-\sqrt[n]{a}\right)}\;\).


Wskazówka:

  1. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku rzeczywistym i ze wzoru skróconego mnożenia \(A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)\;\).
  2. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku rzeczywistym i ze wzoru skróconego mnożenia \(A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)\;\).
  3. I sposób: Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym oraz ze wzorów skróconego mnożenia
    1. \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\;\),
    2. \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\;\),
    3. \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\;\).

    II sposób: Dokonaj podstawienia: \(A=p^{-1}\;\), \(B=q^{-1}\;\), a następnie skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym oraz ze wzorów skróconego mnożenia

    1. \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\;\),
    2. \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\;\).

  4. I sposób: Skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia
    1. \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\;\),
    2. \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\;\),
    3. \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\;\),

    oraz z faktu, że \(\sqrt{c^2}=|c|\;\) dla dowolnego \(c\in\R\;\).
    II sposób: Skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia

    1. \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\;\),
    2. \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\;\),

    dokonaj redukcji wyrazów podobnych i skorzystaj z faktu, że

    \(\sqrt{c^2}=|c|\;\) dla dowolnego \(c\in\R\;\).

  5. I sposób: Wyodrębnij w zapisie wyrażenia \(2^x\;\) i \(2^y\;\). Wyłącz wspólny czynnik przed nawias w liczniku i mianowniku, następnie skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku rzeczywistym i ze wzoru skróconego mnożenia \(A^2+2AB+B^2=(A+B)^2\;\).
    II sposób: Dokonaj podstawienia: \(A=2^x\;\) i \(B=2^y\;\), a następnie skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym oraz ze wzoru skróconego mnożenia \(1+2B+B^2=(1+B)^2\;\).
  6. Skorzystaj z własności działań na pierwiastkach arytmetycznych oraz z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  7. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku rzeczywistym i ze wzorów skróconego mnożenia
    1. \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\;\),
    2. \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\;\),
    3. \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\;\).
  8. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku rzeczywistym oraz ze wzorów skróconego mnożenia
    1. \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\;\),
    2. \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\;\),
    3. \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\;\).


Rozwiązanie:

  1. \(\frac{x^{n+2}-x^{n+3}}{x^{n+1}-x^{n+4}}=\) \( \frac{x^{n+2}(1-x)}{x^{n+1}(1-x^3)}=\) \(x^{n+2-(n+1)}\cdot\frac{1-x}{1-x^3}=\) \( x\cdot\frac{1-x}{(1-x)(1+x+x^2)}=\) \(\frac{x}{1+x+x^2}\;\).
  2. \(\frac{x^{n+45}-x^{n+12}}{x^{n+12}-x^{n+23}+x^{n+34}} =\) \( \frac{x^{n+12}(x^{33}+1)}{x^{n+12}(1-x^{11}+x^{22})}=\) \( \frac{(x^{11}+1)(x^{22}-x^{11}+1)}{1-x^{11}+x^{22}}=\) \( x^{11}+1\;\).
  3. I sposób: \(\frac{\left((p^{-1}+q^{-1})^2+(p^{-1}-q^{-1})^2\right)^{-1}} {\left((p^{-1}+q^{-1})^2-(p^{-1}-q^{-1})^2\right)^{-1}}=\) \( \left(\frac{p^{-2}+2p^{-1}q^{-1}+q^{-2}+p^{-2}-2p^{-1}q^{-1}+q^{-2}} {\left(p^{-1}+q^{-1}+p^{-1}-q^{-1}\right)\left(p^{-1}+q^{-1}-p^{-1}+q^{-1}\right)} \right)^{-1}=\)
    \( \left(\frac{2p^{-2}+2q^{-2}} {\left(2p^{-1}\right)\left(2q^{-1}\right)} \right)^{-1}=\) \( \left(\frac{2(p^{-2}+q^{-2})} {4p^{-1}q^{-1}}\right)^{-1}=\) \( \left(\frac{p^{-2}+q^{-2}} {2p^{-1}q^{-1}}\right)^{-1}=\) \( \left(\frac12\left({p^{-2}+q^{-2}}\right)pq\right)^{-1}=\) \( \left(\frac12\right)^{-1}\cdot\left(p^{-1}q+ q^{-1}p\right)^{-1}=\) \( 2\left(\frac qp +\frac pq\right)^{-1}=\) \( 2\left(\frac{q^2+p^2}{pq}\right)^{-1}=\) \(\frac{2pq}{p^2+q^2}\;\).

    II sposób: \(\frac{\left((p^{-1}+q^{-1})^2+(p^{-1}-q^{-1})^2\right)^{-1}} {\left((p^{-1}+q^{-1})^2-(p^{-1}-q^{-1})^2\right)^{-1}}=\) \( \Big/\mbox{podstawmy } A=p^{-1}, B= q^{-1}\Big/=\)
    \( \frac{\left((A+B)^2+(A-B)^2\right)^{-1}} {\left((A+B)^2-(A-B)^2\right)^{-1}}=\) \( \left(\frac{(A+B)^2+(A-B)^2} {(A+B)^2-(A-B)^2}\right)^{-1}=\) \( \frac{(A+B)^2-(A-B)^2} {(A+B)^2+(A-B)^2}=\)
    \( \frac{A^2+2AB+B^2-\left(A^2-2AB+B^2\right)} {A^2+2AB+B^2+A^2-2AB+B^2}=\) \( \frac{4AB}{2A^2+2B^2} =\) \( \frac{2AB}{A^2+B^2}= \Big/\mbox{wracamy do liter } p, q\Big/=\)
    \( \frac{\frac{2}{pq}}{\left(\frac 1p\right)^2+\left(\frac 1q\right)^2}=\) \(\frac{2}{pq}\cdot\frac{p^2q^2}{q^2+p^2}=\) \( \frac{2pq}{p^2+q^2}\;\).

  4. I sposób: \(\sqrt{\frac{(4b+5)^2+32b^2-50+(4b-5)^2}{(4b-5)^2+(4b+5)^2+50-32b^2}}=\) \( \sqrt{\frac{(4b+5)^2+2(16b^2-25)+(4b-5)^2}{(4b-5)^2+(4b+5)^2-2(16b^2-25)}}=\)
    \( \sqrt{\frac{(4b+5)^2+2((4b)^2-5^2)+(4b-5)^2}{(4b-5)^2-2((4b)^2-5^2)+(4b+5)^2}}=\)
    \( \sqrt{\frac{(4b+5)^2+2(4b-5)(4b+5)+(4b-5)^2}{(4b-5)^2-2(4b-5)(4b+5)+(4b+5)^2}}=\) \( \sqrt{\frac{(4b+5+4b-5)^2}{\left(4b-5-(4b+5)\right)^2}}=\) \( \sqrt{\frac{(8b)^2}{(-10)^2}}=\) \( \sqrt{\frac{64}{100}b^2}=\) \(\frac{8}{10}\sqrt{b^2}=\) \(\frac{4}{5}|b|=\) \(\frac45 b\;\) (ostatnia równość wynika z treści zadania, gdyż założyliśmy, że podstawy potęg są dodatnie, zatem \(b>0\;\)).
    II sposób: \(\sqrt{\frac{(4b+5)^2+32b^2-50+(4b-5)^2}{(4b-5)^2+(4b+5)^2+50-32b^2}}=\)
    \( \sqrt{\frac{16b^2+40b+25+32b^2-50+16b^2-40b+25}{16b^2-40b+25+16b^2+40b+25+50-32b^2}}=\) \( \sqrt{\frac{64b^2}{100}}=\) \( \sqrt{\frac{64}{100}b^2}=\) \(\frac{8}{10}\sqrt{b^2}=\) \(\frac{4}{5}|b|=\) \(\frac45 b\;\) (ostatnia równość wynika z treści zadania, gdyż założyliśmy, że podstawy potęg są dodatnie, zatem \(b>0\;\)).
  5. I sposób: \(\frac{2^{x+y}-2^{2y+1}}{2^x-2^{2y+1}-2^{y+1}+2^{x+y}}\cdot 2^{-y}: \left(1+2^{y+1}+2^{2y}\right)^{-1}=\)
    \( \frac{2^{y}\left(2^x-2^{y+1}\right)}{2^x\left(1+2^y\right)-2^{y+1}\left(1+2^y\right)} \cdot 2^{-y}: \left(1+2^{y+1}+2^{2y}\right)^{-1}=\) \( \frac{2^y\left(2^x-2^{y+1}\right)}{\left(2^x-2^{y+1}\right)\left(1+2^y\right)}\cdot 2^{-y}\cdot \left(1+2\cdot 2^{y}+(2^y)^2\right)=\) \( \frac{2^y}{1+2^y}\cdot 2^{-y}\cdot \left(1+2^y\right)^2=\) \(1+2^y\;\).

    II sposób: \(\frac{2^{x+y}-2^{2y+1}}{2^x-2^{2y+1}-2^{y+1}+2^{x+y}}\cdot 2^{-y}: \left(1+2^{y+1}+2^{2y}\right)^{-1}=\) \(\Big/\mbox{podstawmy }A=2^x, B= 2^y\Big/= \frac{AB-2B^2}{A-2B^2-2B+AB}\cdot B^{-1}: \left(1+2B+B^2\right)^{-1}=\) \( \frac{B(A-2B)}{A(1+B)-2B(B+1)}\cdot \frac 1B\cdot \left(1+2B+B^2\right)=\) \( \frac{B(A-2B)}{(A-2B)(1+B)}\cdot \frac 1B\cdot \left(1+B\right)^2=\) \(1+B=\Big/\mbox{wracamy do liter } x,y\Big/=1+2^y\;\).

  6. \(\frac{a^4\sqrt[3]{a^4bc}+b\sqrt[3]{ab^7c}+c\sqrt[3]{abc^{10}}} {\sqrt[5]{a^{25}b^5}: \sqrt[3]{b^3}+\frac{b^2c}{\sqrt[3]{b^{-3}c^3}}+ \sqrt[4]{c^{16}a^2b^5}:(b^{\frac54}\sqrt{a})}=\)
    \( \frac{a^4\sqrt[3]{a^3abc}+b\sqrt[3]{b^6abc}+c\sqrt[3]{c^9abc}} {\sqrt[5]{\left(a^{5}b\right)^5}: b+\frac{b^2c}{\sqrt[3]{\left(b^{-1}c\right)^3}}+ \sqrt[4]{\left(c^4\right)^4a^2b^5}:(b^{\frac54}\sqrt{a})}=\)
    \( \frac{a^4\cdot a\sqrt[3]{abc}+b\cdot b^2\sqrt[3]{abc}+c\cdot c^3\sqrt[3]{abc}}{\left(a^{5}b\right): b+\frac{b^2c}{{\left(b^{-1}c\right)}}+ \sqrt[4]{\left(c^4\right)^4}\cdot\sqrt[4]{a^2}\cdot b^{\frac54}: (b^{\frac54}{a}^{\frac12})}=\)
    \( \frac{a^5\sqrt[3]{abc}+b^3\sqrt[3]{abc}+c^4\sqrt[3]{abc}} {a^5\cdot b\cdot b^{-1}+{b^2cbc^{-1}}+ c^4\cdot a^{\frac 12}\cdot b^{\frac54}\cdot b^{-\frac54}\cdot {a}^{-\frac 12}}=\) \( \frac{\left(a^5+b^3+c^4\right)\sqrt[3]{abc}}{a^5+b^3+c^4}=\) \(\sqrt[3]{abc}\;\).
  7. \(\left(y^{\frac{2n}{m-n}}\right)^{\frac 1n}: \left(y^{\frac{(m-n)^2+4mn}{m^2-n^2}}\right)^{\frac 1m}=\) \( \left(y^{\frac{2n}{m-n}\cdot\frac 1n}\right): \left(y^{\frac{m^2-2mn+n^2+4mn}{m^2-n^2}}\right)^{\frac 1m}=\) \( \left(y^{\frac{2}{m-n}}\right): \left(y^{\frac{m^2+2mn+n^2}{(m-n)(m+n)}}\right)^{\frac 1m}=\) \( \left(y^{\frac{2}{m-n}}\right): \left(y^{\frac{(m+n)^2}{(m-n)(m+n)}}\right)^{\frac 1m}=\) \( \left(y^{\frac{2}{m-n}}\right): \left(y^{\frac{m+n}{m-n}}\right)^{\frac 1m}=\) \( \left(y^{\frac{2}{m-n}}\right): \left(y^{\frac{m+n}{m-n}\cdot\frac 1m}\right)=\)
    \( \left(y^{\frac{2}{m-n}}\right): \left(y^{\frac{m+n}{m(m-n)}}\right)=\) \( y^{\frac{2}{m-n}-\frac{m+n}{m(m-n)}}=\) \( y^{\frac{2m-(m+n)}{m(m-n)}}=\) \( y^{\frac{m-n}{m(m-n)}}=\) \( y^{\frac 1m}\;\).
  8. \(\frac{\left(a^{\frac 1m}-a^{\frac 1n}\right)^2+4a^{\frac{m+n}{mn}}} {\left(a^{\frac2m}-a^{\frac 2n}\right)\left(\sqrt[m]{a^{m+1}}+\sqrt[n]{a^{n+1}}\right)}=\) \( \frac{\left(a^{\frac 1m}\right)^2-2a^{\frac 1m}a^{\frac 1n}+\left(a^{\frac 1n}\right)^2+4a^{\frac{1}{n}+\frac 1m}} {\left(a^{\frac2m}-a^{\frac 2n}\right)\left({a^{\frac{m+1}{m}}}+{a^{\frac{n+1}{n}}}\right)}=\)
    \( \frac{\left(a^{\frac 1m}\right)^2+2a^{\frac 1m}a^{\frac 1n}+\left(a^{\frac 1n}\right)^2}{\left(a^{\frac2m}-a^{\frac 2n}\right)\left({a^{1+\frac{1}{m}}}+{a^{1+\frac{1}{n}}}\right)}=\) \( \frac{\left(a^{\frac 1m}+a^{\frac 1n}\right)^2} {\left(\left(a^{\frac1m}\right)^2-\left(a^{\frac 1n}\right)^2\right)\left({a\cdot a^{\frac{1}{m}}}+a\cdot a^{\frac{1}{n}}\right)}=\)
    \( \frac{\left(a^{\frac 1m}+a^{\frac 1n}\right)^2}{\left(a^{\frac1m}-a^{\frac 1n}\right)\left(a^{\frac1m}+a^{\frac 1n}\right)\cdot a\cdot\left({a^{\frac{1}{m}}}+a^{\frac{1}{n}}\right)}=\) \( \frac{\left(a^{\frac 1m}+a^{\frac 1n}\right)^2}{a\left(a^{\frac1m}-a^{\frac 1n}\right)\left(a^{\frac1m}+a^{\frac 1n}\right)^2}=\) \( \frac{1}{a\left(\sqrt[m]{a}-\sqrt[n]{a}\right)}\;\).
∎

Zadanie 1.8 Uprość wyrażenie, a następnie oblicz jego wartość liczbową wiedząc, że \(a=8\;\), \(b=2\;\), \(c=2\sqrt{17}\;\).

  1. \(\frac{(a^2c+b^2c)(a^2c-b^2c)}{(a^2+b^2)(a^4-b^4)}\;\),
  2. \(\frac{(a^2-b^2)(a^3-b^3)}{(a^2-2ab+b^2)(c^2a+c^2b)}\;\),
  3. \(\frac{6a^3}{1-a^3}: \frac{3a^{13}}{a^{11}+a^{12}+a^{13}}\;\),
  4. \(\frac{\left(b^\frac{5}{6}a^{-\frac{1}{6}}+b^\frac{1}{3}a^\frac{1}{3}\right)^2+ \left(b^\frac{5}{6}a^{-\frac{1}{6}}- b^\frac{1}{3}a^\frac{1}{3}\right)^2} {\left(a^{-\frac{1}{3}}-b^{-\frac{1}{3}}\right)\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+ a^\frac{1}{3} b^\frac{1}{3}\right)}-2a+\frac{4a^2}{a-b}\;\),
  5. \(\left(\frac{3}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}+1}- \frac{3}{a+1}-\frac{1-a^\frac{1}{3}}{\sqrt[3]{a^2}-1}\right)^{-1}\cdot \left(1+a^{-\frac{1}{3}}\right)^2- a^{-\frac{2}{3}}\;\).


Odpowiedź:

  1. Wyrażenie po uproszczeniu: \(\frac{c^2}{a^2+b^2}\;\). Wartość liczbowa: \(1\;\).
  2. Wyrażenie po uproszczeniu: \(\frac{a^2+ab+b^2}{c^2}\;\). Wartość liczbowa: \(\frac{21}{17}\;\).
  3. Wyrażenie po uproszczeniu: \(\frac{2a}{1-a}\;\). Wartość liczbowa: \(-\frac{16}{7}\;\).
  4. Wyrażenie po uproszczeniu: \(2(a+b)\;\). Wartość liczbowa: \(20\;\).
  5. Wyrażenie po uproszczeniu: \(a^{\frac13}\;\). Wartość liczbowa: \(2\;\).


Wskazówka:

  1. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku naturalnym oraz ze wzoru skróconego mnożenia \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\;\).
  2. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku naturalnym oraz ze wzorów skróconego mnożenia
    1. \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\;\),
    2. \(A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)\;\),
    3. \(A^2-2AB+B^2=(A-B)^2\;\).
  3. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku naturalnym oraz ze wzoru skróconego mnożenia \(A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)\;\).
  4. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym oraz ze wzorów skróconego mnożenia
    1. \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\;\),
    2. \((A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3\;\),
    3. \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\;\).
  5. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym oraz ze wzorów skróconego mnożenia
    1. \((A^2-AB+B^2)(A+B)=A^3+B^3\;\),
    2. \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\;\),
    3. \(A^2+2AB+B^2=(A+B)^2\;\).


Rozwiązanie:

  1. \(\frac{(a^2c+b^2c)(a^2c-b^2c)}{(a^2+b^2)(a^4-b^4)}=\) \( \frac{c(a^2+b^2)\cdot c(a^2-b^2)}{(a^2+b^2)(a^2+b^2)(a^2-b^2)}=\) \(\frac{c^2}{a^2+b^2}\;\).
    Wartość tego wyrażenia dla \(a=8\;\), \(b=2\;\) i \(c=2\sqrt{17}\;\) jest równa \(\frac{(2\sqrt{17})^2}{8^2+2^2}=\frac{4\cdot 17}{64+4}= \frac{68}{68}=1\;\).
  2. \(\frac{(a^2-b^2)(a^3-b^3)}{(a^2-2ab+b^2)(c^2a+c^2b)}=\) \( \frac{(a-b)(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(a-b)^2\cdot c^2\cdot (a+b)}=\) \( \frac{a^2+ab+b^2}{c^2}\;\).
    Wartość tego wyrażenia dla \(a=8\;\), \(b=2\;\) i \(c=2\sqrt{17}\;\) jest równa \(\frac{8^2+8\cdot 2+2^2}{(2\sqrt{17})^2}=\frac{64+16+4}{4\cdot 17}= \frac{84}{68}=\frac{21}{17}\;\).
  3. \(\frac{6a^3}{1-a^3}: \frac{3a^{13}}{a^{11}+a^{12}+a^{13}}=\) \(\frac{6a^3}{1-a^3}\cdot \frac{a^{11}+a^{12}+a^{13}}{3a^{13}}=\) \(\frac{6a^3}{(1-a)(1+a+a^2)}\cdot \frac{a^{11}(1+a+a^{2})}{3a^{13}}=\) \(\frac{2a^{14}}{a^{13}(1-a)}=\) \(\frac{2a}{1-a}\;\).
    Wartość tego wyrażenia dla \(a=8\;\) jest równa \(\frac{2\cdot 8}{1-8}=-\frac{16}{7}\;\).
  4. \(\frac{\left(b^\frac{5}{6}a^{-\frac{1}{6}}+b^\frac{1}{3}a^\frac{1}{3}\right)^2+ \left(b^\frac{5}{6}a^{-\frac{1}{6}}- b^\frac{1}{3}a^\frac{1}{3}\right)^2} {\left(a^{-\frac{1}{3}}-b^{-\frac{1}{3}}\right)\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+ a^\frac{1}{3} b^\frac{1}{3}\right)}-2a+\frac{4a^2}{a-b}=\)
    \( \frac{\left(b^\frac{5}{6}a^{-\frac{1}{6}}\right)^2+ 2b^\frac{5}{6}a^{-\frac{1}{6}}b^\frac{1}{3}a^\frac{1}{3} +\left(b^\frac{1}{3}a^\frac{1}{3}\right)^2+ \left(b^\frac{5}{6}a^{-\frac{1}{6}}\right)^2 - 2b^\frac{5}{6}a^{-\frac{1}{6}}b^\frac{1}{3}a^\frac{1}{3} +\left(b^\frac{1}{3}a^\frac{1}{3}\right)^2} {\left(a^{-\frac{1}{3}}-b^{-\frac{1}{3}}\right)\left({a^{\frac23}}+{b^{\frac23}}+ a^\frac{1}{3} b^\frac{1}{3}\right)}-2a+\frac{4a^2}{a-b}=\)
    \( \frac{2\left(\left(b^\frac{5}{6}a^{-\frac{1}{6}}\right)^2+ \left(b^\frac{1}{3}a^\frac{1}{3}\right)^2\right)} {\left(\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}}-\frac{1}{b^{\frac{1}{3}}}\right) \left({a^{\frac23}}+ a^\frac{1}{3} b^\frac{1}{3}+{b^{\frac23}}\right)}-\frac{2a(a-b)}{a-b}+ \frac{4a^2}{a-b}=\)
    \( \frac{2\left(b^\frac{5}{3}a^{-\frac{1}{3}}+ b^\frac{2}{3}a^\frac{2}{3}\right)} {\frac{b^{\frac{1}{3}}-a^{\frac13}}{a^{\frac13}b^{\frac{1}{3}}}\cdot \left({a^{\frac23}}+ a^\frac{1}{3} b^\frac{1}{3}+{b^{\frac23}}\right)}-\frac{2a(a-b)-4a^2}{a-b}=\)
    \( \frac{2\left(b^\frac{5}{3}a^{-\frac{1}{3}}+ b^\frac{2}{3}a^\frac{2}{3}\right)a^{\frac13}b^{\frac{1}{3}}} {\left(b^{\frac{1}{3}}-a^{\frac13}\right)\left({b^{\frac23}}+ a^\frac{1}{3} b^\frac{1}{3}+{a^{\frac23}}\right)} -\frac{2a^2-2ab-4a^2}{a-b}=\) \( \frac{2\left(b^2+ ba\right)}{b-a} -\frac{-2a^2-2ab}{a-b}=\) \( \frac{2\left(b^2+ ab\right)}{b-a} +\frac{-2a^2-2ab}{b-a}=\) \(\frac{2b^2+2ab-2a^2-2ab}{b-a}=\) \( \frac{2(b^2-a^2)}{b-a}=\) \(\frac{2(b-a)(b+a)}{b-a}=\) \(2(a+b)\;\).
    Wartość tego wyrażenia dla \(a=8\;\) i \(b=2\;\) jest równa \(2(a+b)=2\cdot (8+2)=20\;\).
  5. \(\left(\frac{3}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}+1}- \frac{3}{a+1}-\frac{1-a^\frac{1}{3}}{\sqrt[3]{a^2}-1}\right)^{-1}\cdot \left(1+a^{-\frac{1}{3}}\right)^2-a^{-\frac{2}{3}}=\)
    \( \left(\frac{3\left(a^{\frac13}+1\right)}{\left(a^{\frac23}-a^{\frac13}+1\right) \left(a^{\frac13}+1\right)}- \frac{3}{a+1}+\frac{a^\frac{1}{3}-1}{a^{\frac23}-1}\right)^{-1}\cdot \left(1+\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}}\right)^2-a^{-\frac{2}{3}}=\)
    \( \left(\frac{3\left(a^{\frac13}+1\right)}{a+1}- \frac{3}{a+1}+\frac{a^\frac{1}{3}-1}{\left(a^{\frac13}-1\right) \left(a^{\frac13}+1\right)}\right)^{-1}\cdot \left(1+\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}}\right)^2-a^{-\frac{2}{3}}=\)
    \( \left(\frac{3a^{\frac13}+3-3}{a+1}+ \frac{1}{a^{\frac13}+1}\right)^{-1}\cdot \left(\frac{a^{\frac{1}{3}}+1}{a^{\frac{1}{3}}}\right)^2-a^{-\frac{2}{3}}=\)
    \( \left(\frac{3a^{\frac13}}{a+1}+ \frac{a^{\frac23}-a^{\frac13}+1}{\left(a^{\frac13}+1\right) \left(a^{\frac23}-a^{\frac13}+1\right)}\right)^{-1}\cdot \frac{\left(a^{\frac{1}{3}}+1\right)^2}{\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2} -a^{-\frac{2}{3}}=\)
    \( \left(\frac{3a^{\frac13}}{a+1}+ \frac{a^{\frac23}-a^{\frac13}+1}{a+1}\right)^{-1}\cdot \frac{\left(a^{\frac{1}{3}}+1\right)^2}{a^{\frac{2}{3}}} -a^{-\frac{2}{3}}=\)
    \( \left(\frac{3a^{\frac13}+a^{\frac23}-a^{\frac13}+1}{a+1}\right)^{-1}\cdot \left(a^{\frac{1}{3}}+1\right)^2a^{-\frac{2}{3}} -a^{-\frac{2}{3}}=\) \( \left(\frac{a^{\frac23}+2a^{\frac13}+1}{a+1}\right)^{-1}\cdot \left(a^{\frac{1}{3}}+1\right)^2a^{-\frac{2}{3}} -a^{-\frac{2}{3}}=\) \( \left(\frac{\left(a^{\frac13}+1\right)^2}{a+1}\right)^{-1}\cdot \left(a^{\frac{1}{3}}+1\right)^2a^{-\frac{2}{3}} -a^{-\frac{2}{3}}=\) \( \frac{a+1}{\left(a^{\frac13}+1\right)^2}\cdot \left(a^{\frac{1}{3}}+1\right)^2a^{-\frac{2}{3}} -a^{-\frac{2}{3}}=\)
    \( (a+1)a^{-\frac23}-a^{-\frac23}=\) \((a+1-1)a^{-\frac23}=\) \(a\cdot a^{-\frac23}=\) \(a^{\frac13}.\;\)
    Wartość tego wyrażenia dla \(a=8\;\) jest równa \(8^{\frac13}=2\;\).
∎

Zadanie 1.9 Wiedząc, że

  1. \(\sqrt{8-a}+\sqrt{5+a}=5\;\), oblicz \((8-a)(5+a)\;\),
  2. \(\sqrt[3]{2-a}+\sqrt[3]{2+a}=2\;\), oblicz \(\sqrt[3]{4-a^2}\;\).


Odpowiedź:

  1. \(36\;\).
  2. \(\frac23\;\).


Wskazówka:

  1. Podnieś obie strony równości \(\sqrt{8-a}+\sqrt{5+a}=5\;\) do kwadratu.
  2. Podnieś obie strony równości \(\sqrt[3]{2-a}+\sqrt[3]{2+a}=2\;\) do sześcianu.


Rozwiązanie:

  1. Po podniesieniu obu stron równości \(\sqrt{8-a}+\sqrt{5+a}=5\;\) do kwadratu otrzymujemy, że \(\left(\sqrt{8-a}+\sqrt{5+a}\right)^2=5^2=25\;\). Stąd
    25 = \(\left(\sqrt{8-a}+\sqrt{5+a}\right)^2=\) \(\left(\sqrt{8-a}\right)^2+ 2\sqrt{8-a}\cdot\sqrt{5+a}+\left(\sqrt{5+a}\right)^2=\) \( 8-a+2\sqrt{(8-a)(5+a)}+5+a=\) \(13+2\sqrt{(8-a)(5+a)}\;\), czyli
    \(25-13=2\sqrt{(8-a)(5+a)}\)
    co jest równoważne temu, że
    \(6=\sqrt{(8-a)(5+a)},\)
    zatem
    (8 − a)(5 + a) = 36.
  2. Równość \(\sqrt[3]{2-a}+\sqrt[3]{2+a}=2\;\) jest równoważna równości \(\left(\sqrt[3]{2-a}+\sqrt[3]{2+a}\right)^3=2^3=8\;\). Otrzymujemy
    8 = \(\left(\sqrt[3]{2-a}+\sqrt[3]{2+a}\right)^3=\)
    \( \left(\sqrt[3]{2-a}\right)^3+ 3\left(\sqrt[3]{2-a}\right)^2\sqrt[3]{2+a}+ 3\sqrt[3]{2-a}\left(\sqrt[3]{2+a}\right)^2+\left(\sqrt[3]{2+a}\right)^3=\)
    \( 2-a+3\sqrt[3]{(2-a)^2}\cdot\sqrt[3]{2+a}+3\sqrt[3]{2-a}\cdot\sqrt[3]{(2+a)^2}+2+a=\)
    \( 4 +3\sqrt[3]{(2-a)^2(2+a)}+3\sqrt[3]{(2-a)(2+a)^2}=\)
    \( 4 +3\sqrt[3]{(2-a)(2-a)(2+a)}+3\sqrt[3]{(2-a)(2+a)(2+a)}=\)
    \( 4 +3\sqrt[3]{(2-a)(4-a^2)}+3\sqrt[3]{(4-a^2)(2+a)}=\)
    \( 4+ 3\sqrt[3]{4-a^2}\cdot\sqrt[3]{2-a}+ 3\sqrt[3]{4-a^2}\cdot\sqrt[3]{2+a}=\)
    \( 4+3\sqrt[3]{4-a^2}\underbrace{(\sqrt[3]{2-a}+\sqrt[3]{2+a})}\limits_{=2}=\) \( 4+3\sqrt[3]{4-a^2}\cdot 2\;\), czyli
    \(8=4+6\sqrt[3]{4-a^2}.\)
    co jest równoważne temu, że
    \(\frac 46=\sqrt[3]{4-a^2},\)
    zatem
    \(\sqrt[3]{4-a^2}=\frac23.\)
∎



Theme by Dr. Radut.