Wielomiany i ich wartości dla danych liczb (ćwiczenia)

Ćwiczenie 1.1. Czy \(W(x)\;\) jest wielomianem zmiennej \(x\;\)?

1. \(W(x)=(x-3)(x^2+x+1)(x+2)\;\)
2. \(W(x)=3x^2-2x+5x^7-2x^3+x^2-4x\;\)
3. \(W(x)=3x^3+2x^2+x-x^{-1}-2x^{-2}\;\)
4. \(W(x)=3x^3+2^{-1}x^2+5^{\frac{1}{2}}x-1\;\)
5. \(W(x)=5x^4\;\)
6. \(W(x)=5\;\)
7. \(W(x)=0\;\)
8. \(W(x)=cx^2+ax-b\;\), \(a,b\in \mathbb{N}\;\), \(c\in \mathbb{R}\;\)
9. \(W(x)=4x^3-2x^2+3\sqrt{x}-2\;\)

Ćwiczenie 1.2. Określić stopień następujących wielomianów:

1. \(W(x)=6-4x^3-2x^7+7x^2\;\)
2. \(P(x)=6x^2-2x^4+5x-x^4+x-2\;\)
3. \(Q(x)=2x^4-4x^3-2x+x^2-3x^4+6+3x^3+x^4-1\;\)
4. \(V(x)=(x^2+5x)(x^2-5x)\;\)
5. \(Z(x)=(x^3+2x)^2-x^6-4x^4-4x^2-4\;\)
6. \(R(x)=x^3-2x^2+x-x(x^2-2x+1)\;\)

Ćwiczenie 1.3. Które spośród wielomianów spełniają podane warunki?

1. Wielomian jest stopnia co najmniej czwartego i ma dokładnie trzy niezerowe współczynniki.
   1. \(W_1(x)= x^4+2x^3-x^2\;\)
   2. \(W_2(x)=-5x^5-x+2\;\)
   3. \(W_3(x)=x^3-2x+7\;\),
   4. \(W_4(x)=-\frac{1}{2}x^4-3x^2+\frac{3}{4}x-3\;\).
2. Wielomian jest stopnia co najwyżej siódmego i wszystkie jego niezerowe współczynniki są ujemne.
   1. \(W_1(x)=-\frac{1}{3}x^4-x^3-6x^2-5x-1\;\),
   2. \(W_2(x)=-\pi x^7-\sqrt{2}x^6-x^4-\frac{1}{\sqrt{3}}x^3-x^2-x-5\;\),
   3. \(W_3(x)=-3x^2-4x-5\;\),
   4. \(W_4(x)=x^7-2x^6-3x^5-4x^4-3x^3-2x^2-1\;\)
3. Wielomian jest stopnia trzeciego i wszystkie jego współczynniki są nieujemne.
   1. \(W_1(x)=x^3+3x^2+x+2\;\),
   2. \(W_2(x)=x^3-1\;\),
   3. \(W_3(x)=2x^3+\frac{1}{2}\;\),
   4. \(W_4(x)=x^2+3x+5\;\).

Ćwiczenie 1.4. Określić minimalną liczbę, która może być stopniem wielomianu spełniającego podane warunki:

1. Dokładnie dwa jego współczynniki są ujemne i co najmniej trzy są dodatnie.
2. Co najwyżej trzy jego współczynniki są niezerowe i co najmniej jeden jest większy od \(2\;\).
3. Co najmniej trzy jego współczynniki są dodatnie i co najmniej dwa są niezerowe.

Część 2.

Ćwiczenie 1.5. Obliczyć wartość podanego wielomianu dla danych \(x_0\;\), \(x_1\;\), \(x_2\;\):

1. \(W(x)=3x^3-4x^2+x-2\;\) dla \(x_0=0\;\), \(x_1=-2\;\) dla \(x_2=1\;\)
2. \(W(x)=(x^2-3x+5)(x-3)(x+4)\;\) dla \(x_0=3\;\), \(x_1=0\;\), \(x_2=4\;\)
3. \(W(x)=x^3-3x^2+x\;\) dla \(x_0=1\;\), \(x_1=a+2\;\), \(x_2=b+h\;\)
4. \(W(x)=ax^5+2a^2x^3+3a^4x^2-a^4x+a^6\;\) dla \(x_0=1\;\), \(x_1=a\;\), \(x_2=a^2\;\)
5. \(W(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\quad\;\) dla \(x_0=1\;\), \(x_1=-1\;\), \(x_2=0\;\)
6. \(W(x)= 5x^5+2x^4+6x^3+5x^2+8x+2\quad\;\) dla \(x_0=10\;\), \(x_1=0\;\), \(x_2=-1\quad\;\)