Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to Content

Działania na wielomianach

pt., 09/10/2010 - 10:32 — ciebie


2. Działania na wielomianach

Wielomiany zmiennej x, jako jednomiany lub ich sumy, można dodawać i odejmować. W wyniku tych działań, po ewentualnej redukcji wyrazów podobnych, otrzymujemy znów jednomiany lub ich sumy czyli wielomiany. Zatem sumy i różnice wielomianów zmiennej x są także wielomianami zmiennej x.

Przykłady:
  1. Niech W(x)=−3x3+4x2+1 i F(x)=x5−4x2−2.
    Wówczas
    W(x)+F(x)=−3x3+4x2_+1__+x5−4x2_−2__=x5−3x3−1,W(x)−F(x)=−3x3+4x2+1−(x5−4x2−2)==−3x3+4x2_+1__−x5+4x2_+2__==−x5−3x3+8x2+3.
    Zauważmy, że stW(x)=3, stF(x)=5, st(W(x)+F(x))=5, st(W(x)−F(x))=5.
  2. Niech W(x)=−x3+x i F(x)=x3+x2−x+1.
    Wówczas
    W(x)+F(x)=−x3_+x__+x3_+x2−x__+1=x2+1,W(x)−F(x)=−x3_+x__−x3_−x2+x__−1=−2x3−x2+2x−1.
    Zauważmy, że stW(x)=3, stF(x)=3, st(W(x)+F(x))=2, st(W(x)−F(x))=3.
  3. Niech W(x)=x4−x+2 i F(x)=−x4+x−2.
    Wówczas
    W(x)+F(x)=x4_−x__+2+(−x4)_+x__−2=0,W(x)−F(x)=x4−x+2−(−x4+x−2)=x4_−x__+2+x4_−x__+2=2x4−2x+4.
    Zauważmy, że stW(x)=4, stF(x)=4, W(x)+F(x) jest wielomianem zerowym, st(W(x)−F(x))=4.
  4. Niech W(x)=5x6−2x5+x+2 i F(x)=0.
    Wówczas
    W(x)+F(x)=5x6−2x5+x+2+0=W(x),W(x)−F(x)=5x6−2x5+x+2−0=W(x),F(x)−W(x)=0−(5x6−2x5+x+2)=−5x6+2x5−x−2.
    Zauważmy, że stW(x)=6, F(x) jest wielomianem zerowym, st(W(x)+F(x))=6,st(W(x)−F(x))=6, st(F(x)−W(x))=6

Uwaga 2.1. Dodawanie i odejmowanie wielomianów sprowadza się do pewnych operacji na współczynnikach. Można je zapisać w sposób analogiczny do operacji pisemnego dodawania i odejmowania liczb naturalnych. Obliczenia z przykładu 1. można zapisać następująco:

Z ostatniego wiersza tabeli odczytujemy W(x)+F(x)=x5−3x3−1.

Image:tabelkaT12.png

Z ostatniego wiersza tabeli odczytujemy W(x)−F(x)=−x5−3x3+8x2+3.

Ta obserwacja pozwala dostrzec podobieństwa między dodawaniem i odejmowaniem liczb oraz dodawaniem i odejmowaniem wielomianów. Nie jest ważna kolejność sumowanych wielomianów. W sumach kilku wielomianów można przestawiać składniki i łączyć je w grupy, a prawidłowość wykonania odejmowania wielomianów można sprawdzić przez dodanie wyniku odejmowania do odjemnika.

Image:End_of_proof.gif

Odwołując się do mechanizmu tworzenia sumy i różnicy wielomianów zmiennej x, można sformułować twierdzenie.

Twierdzenie 2.1.:
  1. Suma i różnica wielomianów niezerowych jest albo wielomianem zerowym, albo ma stopień nie większy niż największy ze stopni wielomianów, na których wykonujemy działanie.
  2. Suma i różnica wielomianów zerowych jest wielomianem zerowym.
  3. Wielomian będący sumą lub różnicą dwóch wielomianów, z których tylko jeden jest niezerowy, ma ten sam stopień co rozważany wielomian niezerowy.
Image:End_of_proof.gif

Wielomiany będące jednomianami lub sumami jednomianów mnożymy zgodnie z zasadami mnożenia sum algebraicznych. Ponieważ iloczyn jednomianów jest jednomianem, więc w wyniku mnożenia wielomianów uzyskujemy jednomiany lub ich sumy, czyli wielomiany.

Przykłady:
  1. Niech W(x)=2x5−x2+1 i F(x)=x3−2x.
    Wówczas
    W(x)⋅F(x)=(2x5−x2+1)(x3−2x)==2x8−4x6−x5+2x3+x3−2x==2x8−4x6−x5+3x3−2x.
    Zauważmy, że stW(x)=5, stF(x)=3, st(W(x)⋅F(x))=8=stW(x)+stF(x).
  2. Niech W(x)=x100−1 i F(x)=x2+4.
    Wówczas
    W(x)⋅F(x)=(x100−1)(x2+4)=x102+4x100−x2−4.
    Zauważmy, że stW(x)=100, stF(x)=2, st(W(x)⋅F(x))=102=stW(x)+stF(x).
  3. Niech W(x)=7 i F(x)=x3+3x.
    Wówczas
    W(x)⋅F(x)=7(x3+3x)=7x3+21x.
    Zauważmy, że stW(x)=0, stF(x)=3, st(W(x)⋅F(x))=3=stW(x)+stF(x).
  4. Niech W(x)=−1 i F(x)=4x3−2x7+x−5.
    Wówczas
    W(x)⋅F(x)=(−1)(4x3−2x2+x−5)=−4x3+2x2−x+5.
    Zamiast (−1)F(x) piszemy −F(x). Zauważmy, że stW(x)=0, stF(x)=3, st(W(x)⋅F(x))=3=stW(x)+stF(x).
  5. Niech W(x)=0 i F(x)=x1000+2x2+x−1.
    Wówczas
    W(x)⋅F(x)=0(x1000+2x2+x−1)=0,
    czyli iloczyn jest wielomianem zerowym.

Uwaga 2.2. Mnożenie wielomianów również sprowadza się do pewnych operacji na współczynnikach. Można je powiązać z mnożeniem pisemnym liczb naturalnych, chociaż analogia jest może trudniejsza do dostrzeżenia.

Niech W(x)=3x4+2x2−x+4, F(x)=−2x2+5x−3.

Image:tabelkaT13.png

Interpretacja wyniku w tabeli jest następująca:

W(x)⋅F(x)=−6x6+15x5−13x4+12x3−19x2+23x−12.

Innym sposobem mnożenia wielomianów jest następująca procedura zademonstrowana na przykładzie wielomianów W(x)=3x4+2x2−x+4 i F(x)=−2x5+5x−3.

1. Rozpisujemy oba uporządkowane wielomiany w tabeli umieszczając jednomiany jednego z nich w wierszu, a drugiego w kolumnie.

Image:tabelkaT14.png

2. Wypełniamy wolne pola tabeli wpisując iloczyny jednomianów występujące w odpowiednich wierszu i kolumnie.

Image:tabelkaT15.png

3. Dostrzegamy, że na "przekątnych" powstają jednomiany z tą samą potęgą zmiennej. 4. Sumujemy jednomiany o wspólnej potędze zmiennej i dokonujemy redukcji. 5. Suma otrzymanych w taki sposób jednomianów daje wielomian W(x)⋅F(x)=−6x6+15x5−13x4+12x3−19x2+23x−12

Image:End_of_proof.gif

Rozumiejąc mechanizm tworzenia iloczynu wielomianów, łatwo sobie uświadomić, że podobnie jak w przypadku mnożenia liczb, przy mnożeniu wielomianów nie jest ważna kolejność czynników. Można też w sytuacji mnożenia kilku wielomianów przez siebie przestawiać je i łączyć w pary, co może ułatwić rachunki.

Przykład 2.3.:

Niech W(x)=x−2, P(x)=2x2+3, R(x)=x+2. Zamiast liczyć iloczyn W(x)⋅P(x)⋅R(x) w podanej kolejności, można obliczyć (W(x)⋅R(x))⋅P(x).
W(x)⋅P(x)⋅R(x)=(W(x)⋅R(x))⋅P(x)=((x−2)(x+2))(2x2+3)==(x2−4)(2x2+3)=2x4+3x2−8x2−12=2x4−5x2−12.

Jeszcze raz odwołując się do mechanizmu tworzenia iloczynu wielomianów, można sformułować twierdzenie.

Twierdzenie 2.2.:
  1. Stopień iloczynu dwóch wielomianów niezerowych jest sumą stopni wielomianów występujących w iloczynie.
  2. Iloczyn wielomianu zerowego przez dowolny wielomian jest wielomianem zerowym.


Theme by Dr. Radut.