Processing math: 100%
Skip to Content

Wielomiany i ich wartości dla danych liczb

pt., 09/10/2010 - 10:27 — ciebie

Definicja 1.1. Jednomianem zmiennej x nazywamy każde wyrażenie algebraiczne, które jest liczbą rzeczywistą lub jest postaci axn, gdzie a jest liczbą rzeczywistą różną od 0, a n liczbą całkowitą dodatnią.

Przykłady:

3x5,−2x7,5,√2x123,−x4,0,π,(1−3√2)x.

Definicja 1.2. Wielomianem zmiennej x nazywamy każdą sumę skończonej liczby jednomianów. W szczególności każdy jednomian jest wielomianem.

Przykłady:

2x4−3x2+x5−1,4x+2x2−3x−x2+5x3−2,−6x10,√3x,0,π2x+x2,6.

Definicja 1.3. Jeżeli w wielomianie składniki sumy są uporządkowane malejąco według potęg zmiennej, jak w zapisie
W(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0,
to mówimy, że wielomian W(x) zadany jest w postaci uporządkowanej. Liczby an,an−1,…,a0 nazywamy współczynnikami wielomianu W(x), przy czym współczynnik a0 nazywa się wyrazem wolnym wielomianu W(x).

Uwaga 1.1. Każdy wielomian można zapisać w postaci uporządkowanej.

Przykłady:
  1. x+2x4−3x−20x2−3x2+x4=3x4−23x2−2x,
  2. x5−5x4+10x3−10x2+5x−1−x5=−5x4+10x3−10x2+5x−1,
  3. x4+2x3−4x−1−5x4+4x3+4x4−6x3=−4x−1,
  4. x+πx2+x2=(π+1)x2+x,
  5. wszystkie jednomiany są wielomianami uporządkowanymi.

Definicja 1.4. Jeżeli wielomian po uporządkowaniu ma postać W(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0, gdzie an≠0 i n jest liczbą całkowitą dodatnią, to liczbę n nazywamy stopniem wielomianu W(x) i piszemy stW(x)=n.

Definicja 1.5. Przyjmujemy, że wielomian postaci W(x)=a0, gdzie a0 jest liczbą rzeczywistą różną od 0, jest stopnia 0 i piszemy stW(x)=0.

Definicja 1.6. Wielomian postaci W(x)=0 nazywamy wielomianem zerowym. Stopnia wielomianu zerowego nie określamy.

Uwaga 1.2. Niektórzy autorzy przyjmują, że wielomian zerowy ma stopień −∞. Umowa ta upraszcza sformułowania wielu twierdzeń.

Ponieważ wielomiany są pewnego rodzaju wyrażeniami algebraicznymi, a wyrażenia algebraiczne można dodawać, odejmować i mnożyć, więc wielomiany mogą być zapisane na wiele różnych sposobów. Wielomiany zmiennej x oznaczamy zwykle symbolami W(x),P(x) itp.

Przykłady:
  1. W(x)=3x2+2x−4,      stW(x)=2.
  2. R(x)=5x−2x2+2x4+12x5+1=12x5+2x4−2x2+5x+1,     stR(x)=5.
  3. T(x)=2−4x=−4x+2,     stT(x)=1.
  4. S(x)=x5+2x4−3x−x5=2x4−3x,     stS(x)=4.
  5. Z(x)=−2,     stZ(x)=0.
  6. G(x)=0,     dla tego wielomianu nie definiujemy stopnia.
  7. H(x)=45x7,     stH(x)=7.
  8. C(x)=2x(x−3)=2x2−6x,     stC(x)=2.
  9. D(x)=2(x+1)3=2x3+6x2+6x+2,     stD(x)=3.
  10. E(x)=(2x−1)4−16x4=−32x3+24x2−8x+1,     stE(x)=3.

Niektóre wielomiany mają swoje nazwy.

Definicja 1.7. Dwumianami liniowymi (dwumianami) nazywamy wszystkie wielomiany postaci ax+b, gdzie a,b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i a≠0.

Definicja 1.8. Trójmianami kwadratowymi nazywamy wszystkie wielomiany postaci ax2+bx+c, gdzie a,b,c są liczbami rzeczywistymi i a≠0.

Spośród wymienionych powyżej przykładów T(x) jest dwumianem, a W(x) i C(x) są trójmianami kwadratowymi.

Uwaga 1.3. Wielomiany są szczególnymi wyrażeniami algebraicznymi zawierającymi jedną zmienną, która może przyjmować dowolne wartości rzeczywiste. Dlatego naturalne jest używanie terminu wartość wielomianu dla x=x0 na określenie wartości wyrażenia algebraicznego opisującego ten wielomian dla x=x0. Niektórzy autorzy używają także zwrotu wartość wielomianu w punkcie x0.

Zwróćmy uwagę na to, iż wyrażeniom algebraicznym, które opisują wielomiany zmiennej x nadane zostały specjalne oznaczenia, np. W(x),P(x),… Te nazwy podobne są do zapisu funkcji i zawierają w sobie symbol zmiennej. Są wygodne z co najmniej trzech powodów:

  • wskazują, iż rozważane wyrażenia algebraiczne należą do pewnej wyróżnionej rodziny wyrażeń zawierających jedną zmienną, której oznaczenie znamy,
  • przypominają, że nie mamy do czynienia z liczbami, lecz wyrażeniami, dla których można obliczać ich wartości liczbowe, podstawiając za zmienną dowolną liczbę rzeczywistą,
  • ułatwiają zapis symboliczny zwrotu wartością wielomianu W(x) dla x=x0 jest y0 — wystarczy bowiem zapisać W(x0)=y0.
Przykłady:
  1. Wartością wielomianu W(x)=6x3+2x2−x+1
    dla x=3 jest liczba W(3)=6⋅33+2⋅32−3+1=178.
  2. Wartością wielomianu P(x)=3x(x+2)(x2−1)
    dla x=1 jest liczba P(1)=3⋅1⋅(1+2)(12−1)=0,
    dla x=2 jest liczba P(2)=3⋅2⋅(2+2)⋅(22−1)=6⋅4⋅3=72.
  3. Wartością wielomianu stopnia zerowego T(x)=5 dla x=3 jest liczba T(3)=5, dla x=−151 jest liczba T(−151)=5 i, ogólnie, dla dowolnej liczby rzeczywistej x0 wartością wielomianu jest liczba T(x0)=5.
  4. Wartością wielomianu zerowego E(x)=0 dla każdej liczby rzeczywistej x0 jest liczba E(x0)=0.
  5. Wartością wielomianu S(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0 dla x=0 jest liczba S(0)=a0.
  6. Wartością wielomianu S(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0 dla x=1 jest liczba S(1)=an+an−1+…+a1+a0.

Przyjmujemy (porównaj przykłady 3. i 4.) że wielomiany stopnia zerowego oraz wielomian zerowy są także wielomianami zmiennej x. Oznacza to, że wielomian W(x) zadany przez liczbę rzeczywistą c (co zapisujemy W(x)=c ) przyjmuje dla dowolnej liczby rzeczywistej x0 stałą wartość W(x0)=c.



Theme by Dr. Radut.