Definicja 1.1. Jednomianem zmiennej \(x\;\) nazywamy każde wyrażenie algebraiczne, które jest liczbą rzeczywistą lub jest postaci \(ax^ n\;\), gdzie \(a\;\) jest liczbą rzeczywistą różną od \(0\;\), a \(n\;\) liczbą całkowitą dodatnią.
| Przykłady: |
|
\(3x^5,\quad -2x^7,\quad 5,\quad \sqrt {2}x^{123},\quad -x^4,\quad 0,\quad \pi,\quad (1-\sqrt[3]{2})x.\;\) |
Definicja 1.2. Wielomianem zmiennej \(x\;\) nazywamy każdą sumę skończonej liczby jednomianów. W szczególności każdy jednomian jest wielomianem.
| Przykłady: |
|
\(2x^4-3x^2+x^5-1,\quad 4x+2x^2-3x-x^2+5x^3-2,\quad -6x^{10},\quad \sqrt {3}x,\quad 0,\quad \pi ^2x+x^2,\quad 6.\;\) |
Definicja 1.3. Jeżeli w wielomianie składniki sumy są uporządkowane malejąco według potęg zmiennej, jak w zapisie
\(W(x) = a_ nx^ n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+a_0,\;\)
to mówimy, że wielomian \(W(x)\;\) zadany jest w postaci uporządkowanej. Liczby \(a_ n,a_{n-1},\ldots,a_0\;\) nazywamy współczynnikami wielomianu \(W(x)\;\), przy czym współczynnik \(a_0\;\) nazywa się wyrazem wolnym wielomianu \(W(x)\;\).
Uwaga 1.1. Każdy wielomian można zapisać w postaci uporządkowanej.
| Przykłady: |
|
Definicja 1.4. Jeżeli wielomian po uporządkowaniu ma postać \(W(x) = a_ nx^ n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+a_0\;\), gdzie \(a_ n\ne 0\;\) i \(n\;\) jest liczbą całkowitą dodatnią, to liczbę \(n\;\) nazywamy stopniem wielomianu \(W(x)\;\) i piszemy \(\mathrm{st}\, W(x)=n\;\).
Definicja 1.5. Przyjmujemy, że wielomian postaci \(W(x)=a_0\;\), gdzie \(a_0\;\) jest liczbą rzeczywistą różną od \(0\;\), jest stopnia \(0\;\) i piszemy \(\mathrm{st}\, W(x)=0\;\).
Definicja 1.6. Wielomian postaci \(W(x)=0\;\) nazywamy wielomianem zerowym. Stopnia wielomianu zerowego nie określamy.
Uwaga 1.2. Niektórzy autorzy przyjmują, że wielomian zerowy ma stopień \(-\infty\;\). Umowa ta upraszcza sformułowania wielu twierdzeń.
Ponieważ wielomiany są pewnego rodzaju wyrażeniami algebraicznymi, a wyrażenia algebraiczne można dodawać, odejmować i mnożyć, więc wielomiany mogą być zapisane na wiele różnych sposobów. Wielomiany zmiennej \(x\;\) oznaczamy zwykle symbolami \(W(x),P(x)\;\) itp.
| Przykłady: |
|
Niektóre wielomiany mają swoje nazwy.
Definicja 1.7. Dwumianami liniowymi (dwumianami) nazywamy wszystkie wielomiany postaci \(ax+b\;\), gdzie \(a,b\;\) są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i \(a\ne0.\;\)
Definicja 1.8. Trójmianami kwadratowymi nazywamy wszystkie wielomiany postaci \(ax^2+bx+c\;\), gdzie \(a,b,c\;\) są liczbami rzeczywistymi i \(a\ne 0\;\).
Spośród wymienionych powyżej przykładów \(T(x)\;\) jest dwumianem, a \(W(x)\;\) i \(C(x)\;\) są trójmianami kwadratowymi.
Uwaga 1.3. Wielomiany są szczególnymi wyrażeniami algebraicznymi zawierającymi jedną zmienną, która może przyjmować dowolne wartości rzeczywiste. Dlatego naturalne jest używanie terminu wartość wielomianu dla \(x=x_0\;\) na określenie wartości wyrażenia algebraicznego opisującego ten wielomian dla \(x=x_0\;\). Niektórzy autorzy używają także zwrotu wartość wielomianu w punkcie \(x_0\;\).
Zwróćmy uwagę na to, iż wyrażeniom algebraicznym, które opisują wielomiany zmiennej \(x\;\) nadane zostały specjalne oznaczenia, np. \(W(x),P(x),\ldots\;\) Te nazwy podobne są do zapisu funkcji i zawierają w sobie symbol zmiennej. Są wygodne z co najmniej trzech powodów:
- wskazują, iż rozważane wyrażenia algebraiczne należą do pewnej wyróżnionej rodziny wyrażeń zawierających jedną zmienną, której oznaczenie znamy,
- przypominają, że nie mamy do czynienia z liczbami, lecz wyrażeniami, dla których można obliczać ich wartości liczbowe, podstawiając za zmienną dowolną liczbę rzeczywistą,
- ułatwiają zapis symboliczny zwrotu wartością wielomianu \(W(x)\;\) dla \(x=x_0\;\) jest \(y_0\;\) — wystarczy bowiem zapisać \(W(x_0)=y_0\;\).
| Przykłady: |
|
Przyjmujemy (porównaj przykłady 3. i 4.) że wielomiany stopnia zerowego oraz wielomian zerowy są także wielomianami zmiennej \(x\;\). Oznacza to, że wielomian \(W(x)\;\) zadany przez liczbę rzeczywistą \(c\;\) (co zapisujemy \(W(x)=c\;\) ) przyjmuje dla dowolnej liczby rzeczywistej \(x_0\;\) stałą wartość \(W(x_0)=c\;\).