Funkcje wielomianowe

pt., 09/10/2010 - 11:56 — ciebie

8. Funkcje wielomianowe

Wielomiany są to pewne szczególne wyrażenia algebraiczne. W postaci uporządkowanej opisane są przy pomocy wzoru
\( W(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0, \;\)
gdzie \(n\;\) jest ustaloną liczbą całkowitą nieujemną, \(a_0,a_1,\ldots,a_n\;\) są ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Za zmienną \(x\;\) można podstawić dowolną liczbę rzeczywistą \(x_0\;\) i otrzymana w ten sposób liczba \(a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\ldots+a_1x_0+a_0\;\) nazywa się wartością wielomianu dla \(x=x_0\;\).

Wśród wielomianów wyróżnia się między innymi

wielomian zerowy, który dla każdej liczby \(x_0\;\) przyjmuje wartość \(0\;\),
wielomiany stopnia zerowego przyjmujące tę samą wartość, różną od \(0\;\), dla wszystkich liczb rzeczywistych podstawionych za zmienną,
wielomiany stopnia pierwszego, postaci \(W(x)=a_1x+a_0\;\), gdzie \(a_0,a_1\;\) są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i \(a_1\ne 0\;\),
wielomiany stopnia drugiego, postaci \(W(x)=a_2x^2+a_1x+a_0\;\), gdzie \(a_0,a_1,a_2\qquad\;\) są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i \(a_2\ne 0\;\).

Z wymienionymi wyżej wielomianami spotykamy się w nauczaniu szkolnym matematyki znacznie wcześniej niż z pojęciem wielomianu. Pierwsze trzy wielomiany poznaje się w trakcie nauki o funkcji liniowej, a ostatni przy omawianiu funkcji kwadratowej.

Funkcja liniową nazywamy funkcję \(f\;\) określoną w zbiorze liczb rzeczywistych, przyjmującą wartości rzeczywiste (\(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\;\)), zadaną dla każdego argumentu \(x\in\mathbb{R}\;\) wzorem \(f(x)=ax+b\;\), gdzie \(a,b\;\) sa ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Wyrażenie algebraiczne \(ax+b\;\) opisujące sposób obliczania wartości funkcji \(f\;\) dla argumentu \(x\;\) jest

wielomianem zerowym, jeśli \(a=0\;\) i \(b=0\;\),
wielomianem stopnia zerowego, jeśli \(a=0\;\) i \(b\ne 0\;\),
wielomianem stopnia pierwszego, gdy \(a\ne0\;\) i \(b\in\mathbb{R}\;\).

Funkcją kwadratową nazywamy funkcję \(g\;\) określoną w zbiorze liczb rzeczywistych, przyjmującą wartości rzeczywiste (\(g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\;\)), zadaną dla każdego argumentu \(x\in\mathbb{R}\;\) wzorem \(g(x)=ax+bx+c\;\), gdzie \(a,b,c\;\) sa ustalonymi liczbami rzeczywistymi i \(a\ne0\;\). Wyrażenie algebraiczne \(ax^2+bx+c\;\) opisujące sposób obliczania wartości funkcji \(g\;\) dla liczby \(x\;\) jest wielomianem drugiego stopnia.

Naturalne jest wprowadzenie następującej definicji

Definicja 8.1. Funkcję \(h\;\) określoną w zbiorze liczb rzeczywistych, przyjmującą wartości rzeczywiste (\(h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\;\)), zadaną dla każdego argumentu \(x\in\mathbb{R}\;\) wzorem
\( h(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0, \;\)
gdzie \(n\;\) jest ustaloną liczbą całkowitą nieujemną i \(a_0,a_1,\ldots,a_n\;\) sa ustalonymi liczbami rzeczywistymi nazywamy funkcją wielomianową. Jeśli \(a_n\ne0\;\), to mówimy, że funkcja \(h\;\) jest funkcją wielomianową stopnia \(n\;\).

Uwaga 8.1. Wykresy funkcji wielomianowych są zróżnicowane. Wykresem każdej funkcji liniowej jest prosta, a wykresem kwadratowej - parabola. Wykresy funkcji wielomianowych stopnia wyższego niż 2 mają bardzo rozmaite kształty. Poniżej podajemy kilka przykładów.

\(f_1(x) = (x+3)(x+1)(x-2)\;\), czyli \(f_1(x)=x^3+2x^2-5x-6\;\),
\(f_2(x) = (x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)\;\), czyli \(f_2(x) = x^5+5x^4+5x^3-5x^2-6x\;\),
\(f_3(x) = -2x^2(x-1)(x+3)\;\), czyli \(f_3(x) = -2x^4-4x^3+6x^2\;\),
\(f_4(x) = (x^2+1)(x-4)(x+4)\;\), czyli \(f_4(x) = x^4-15x^2-16\;\),
\(f_5(x) = (x-3)^2(x+3)^2\;\), czyli \(f_5(x) = x^4-18x^2+81\;\),
\(f_6(x) = (x-1)(x+2)(6x^2+1)\;\), czyli \(f_6(x) = 6x^4+6x^3-11x^2+x-2\;\).

\(f_1(x) = (x+3)(x+1)(x-2)\;\)	\(f_2(x) = (x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)\;\)
\(f_3(x) = -2x^2(x-1)(x+3)\;\)	\(f_4(x) = (x^2+1)(x-4)(x+4)\;\)
\(f_5(x) = (x-3)^2(x+3)^2\;\)	\(f_6(x) = (x-1)(x+2)(6x^2+1)\;\)

Porównajmy wykresy funkcji \(f_1-f_6\;\) z "wykresami znaków" wielomianów określających te funkcje (patrz Nierówności wielomianowe Metoda II). Korzystamy z postaci iloczynowej każdego z wielomianów.

\(f_1(x) = (x+3)(x+1)(x-2)\;\)	\(f_2(x) = (x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)\;\)
\(f_3(x) = -2x^2(x-1)(x+3)\;\)	\(f_4(x) = (x^2+1)(x-4)(x+4)\;\)
\(f_5(x) = (x-3)^2(x+3)^2\;\)	\(f_6(x) = (x-1)(x+2)(6x^2+1)\;\)

W przypadku funkcji \(f_1\;\), \(f_2\;\), \(f_3\;\), \(f_5\;\) wykresy funkcji i "wykresy znaków" wielomianów są bardzo podobne. "Wykresy znaków" wielomianów dobrze przybliżają nam zarys wykresów funkcji, są jak gdyby jej szkicami. Będzie tak zawsze, gdy w rozkładzie wielomianu jedynymi czynnikami nierozkładalnymi są czynniki liniowe.

"Wykresy znaków" wielomianów opisujących funkcje \(f_4\;\) i \(f_6\;\) istotnie różnią się kształtem od wykresów funkcji. W przypadku funkcji \(f_4\;\) decyduje o tym czynnik \(x^2+1\;\) pojawiający się w postaci iloczynowej wielomianu; w przypadku funkcji \(f_6\;\) czynnik \(6x^2+1\;\).

Prawidłowa jest intuicja:

"Wykres znaków" wielomianu \(W(x)\;\) stanowi pewne przybliżenie wykresu funkcji wielomianowej \(y=W(x)\;\). Nie może być jednak traktowany jako wykres funkcji.

∎

Uwaga 8.2. Porównajmy wykresy funkcji