Processing math: 100%
Skip to Content

Wielomiany i ich wartości dla danych liczb (zadania)

pt., 09/10/2010 - 13:07 — ciebie

Zadanie 1.1. (p) Które spośród wielomianów spełniają podane warunki?

  1. jest stopnia czwartego i ma co najwyżej dwa współczynniki równe 2.
    • W1(x)=2x4+2x3−x+2,
    • W2(x)=x4+1,
    • W3(x)=−x4−x3+2x2+2,
    • W4(x)=2x3+x2+x+2,
  2. jest stopnia co najwyżej piątego i przynajmniej dwa jego współczynniki są ułamkami właściwymi.
    • W1(x)=13x5+35,
    • W2(x)=x3+23x2+38x+57,
    • W3(x)=12x2+x5−x4−34x3−85x+47,
    • W4(x)=43x5−32x3+65x+12
  3. jest stopnia co najwyżej czwartego i co najmniej trzy jego współczynniki są różne od 0.
    • W1(x)=3x4+5,
    • W2(x)=x5+x4−4x3+12x2+8x+4,
    • W3(x)=x4x3+x2−x,
    • W4(x)=x3+2x2−3x+4.

Zadanie 1.2. (p) Określić minimalną liczbę, która może być stopniem wielomianu spełniającego podane warunki:

  1. Co najmniej trzy jego współczynniki są większe od 3 i co najmniej cztery spośród niezerowych są mniejsze niż 5.
  2. Co najmniej dwa jego współczynniki są równe 3 lub co najmniej trzy jego współczynniki są równe 2.

Zadanie 1.3. (p) Określić stopień wielomianu W(x)=(x3−1)(x3+1)−(x2−4)3

Zadanie 1.4. (p∗∗) Określić stopień następujących wielomianów w zależności od parametrów a i b.

  1. W(x)=ax5−(b+2)x3+(a−1)x2−3x,
  2. W(x)=(a−1)x4−bx3+abx2−x+5,
  3. W(x)=(a2−4)x3+(a+2)x2−(a−2)x+2,
  4. W(x)=(a−b)x4+(a+1)x3−bx2+3x−a,
  5. W(x)=(ax−1)(bx+2).

Zadanie 1.5. (p) Znaleźć wielomian W(x), wiedząc, że

  1. jego stopień równy jest 2 oraz W(0)=2, W(2)=12, W(−2)=24,
  2. jego stopień równy jest 3 oraz W(1)=6, W(−1)=2, W(0)=−4 i współczynnik przy x3 jest równy 2.

Zadanie 1.6. (p∗∗) Znaleźć wielomian W(x), wiedząc, że

  1. jego stopień równy jest 3, W(2)=−3, W(−2)=13, wyraz wolny jest o 3 większy niż współczynnik przy x3 i cztery razy mniejszy niż współczynnik przy x.
  2. jego stopień równy jest 4, ma zerowe współczynniki przy nieparzystych potęgach x, W(−1)=2, W(0)=−W(1) oraz współczynnik przy x2 jest trzy razy większy niż współczynnik przy x4.

Zadanie 1.7. (p) Obliczyć sumę wszystkich współczynników danego wielomianu

  1. W(x)=(5x3−2x2−4)5+(−x+2)8.
  2. W(x)=(x2−2x+1)1410
  3. W(x)=(4x−11x+6)966
  4. W(x)=(3x5−2x4+4x−3)10−(2x3+x2−3x+1)10

Zadanie 1.8. (r∗)

  1. Znaleźć sumę współczynników przy parzystych potęgach zmiennej wielomianu W(x), wiedząc, że W(1)=17 i W(−1)=−5.
  2. Znaleźć sumę współczynników przy nieparzystych potęgach zmiennej wielomianu W(x), wiedząc, że W(1)=35 i W(−1)=−3.
  3. Znaleźć sumę współczynników przy parzystych potęgach zmiennej wielomianu W(x)=(3x2+x−3)7.

Zadanie 1.9. (r) Wielomian W(x) ma współczynniki całkowite i wyraz wolny równy 0. Co można powiedzieć o podzielności

  1. W(2) przez 2
  2. W(2) przez 4
  3. W(3) przez 3
  4. W(3) przez 9
  5. W(m) przez m , gdzie m jest dowolną liczbą całkowitą różną od 0
  6. W(m) przez m2 , gdzie m jest dowolną liczbą całkowitą różną od 0

Zadanie 1.10. (r∗) Jaki warunek musi spełniać wielomian W(x) o współczynnikach całkowitych, którego wyraz wolny może być różny od 0, aby

  1. liczba W(2) była podzielna przez 2,
  2. liczba W(2) była podzielna przez 4,
  3. liczba W(2) była podzielna przez 8,
  4. liczba W(m) była podzielna przez m, gdzie m jest dowolną liczbą całkowitą różną od 0?
  5. liczba W(m) była podzielna przez m2, gdzie m jest dowolną liczbą całkowitą różną od 0?

Zadanie 1.11. (r∗) Dany jest wielomian W(x)=7x4−23x3+7x2+6x+3. Znaleźć resztę z dzielenia liczby W(5) przez 5 i przez 25.

Zadanie 1.12. (p) Rozstrzygnąć, czy podane wyrażenie jest wielomianem. Jeśli tak, podać jego stopień, jeśli nie, uzasadnić dlaczego.

  1. W(x)=x2−4x+2
  2. W(x)=x3+1x+1
  3. W(x)=x4−1x2+1
  4. W(x)=x4−1x2−1

Zadanie 1.13. (r) Rozstrzygnąć, czy podane wyrażenie jest wielomianem. Jeśli tak, podać jego stopień, jeśli nie, uzasadnić dlaczego.

  1. W(x)=(√x+1)2−2√x
  2. W(x)=(√|x|+1)2−2√|x|
  3. W(x)=(√|2x−1|−3)2+6√|2x−1|
  4. W(x)=√x2+2x+1
  5. W(x)=√x4+2x2+1



Theme by Dr. Radut.