Zadanie 1.1. (p) Które spośród wielomianów spełniają podane warunki?
- jest stopnia czwartego i ma co najwyżej dwa współczynniki równe \(2\;\).
- \(W_1(x)=2x^4+2x^3-x+2\;\),
- \(W_2(x)=x^4+1\;\),
- \(W_3(x)=-x^4-x^3+2x^2+2\;\),
- \(W_4(x)=2x^3+x^2+x+2\;\),
- jest stopnia co najwyżej piątego i przynajmniej dwa jego współczynniki są ułamkami właściwymi.
- \(W_1(x)=\frac{1}{3}x^5+\frac{3}{5}\;\),
- \(W_2(x)=x^3+\frac{2}{3}x^2+\frac{3}{8}x+\frac{5}{7}\;\),
- \(W_3(x)=\frac{1}{2}x^2+x^5-x^4-\frac{3}{4}x^3-\frac{8}{5}x+\frac{4} {7}\;\),
- \(W_4(x)=\frac{4}{3}x^5-\frac{3}{2}x^3+\frac{6}{5}x+\frac{1}{2}\;\)
- jest stopnia co najwyżej czwartego i co najmniej trzy jego współczynniki są różne od 0.
- \(W_1(x)=3x^4+5\;\),
- \(W_2(x)=x^5+x^4-4x^3+\frac{1}{2}x^2+8x+4\;\),
- \(W_3(x)=x^4 x^3+x^2-x\;\),
- \(W_4(x)=x^3+2x^2-3x+4\;\).
Zadanie 1.2. (p) Określić minimalną liczbę, która może być stopniem wielomianu spełniającego podane warunki:
- Co najmniej trzy jego współczynniki są większe od \(3\;\) i co najmniej cztery spośród niezerowych są mniejsze niż \(5\;\).
- Co najmniej dwa jego współczynniki są równe \(3\;\) lub co najmniej trzy jego współczynniki są równe \(2\;\).
Zadanie 1.3. (p) Określić stopień wielomianu \(W(x)=(x^3-1)(x^3+1)-(x^2-4)^3\;\)
Zadanie 1.4. (p\(\ast\ast\)) Określić stopień następujących wielomianów w zależności od parametrów \(a\;\) i \(b\;\).
- \(W(x)=ax^5-(b+2)x^3+(a-1)x^2-3x\;\),
- \(W(x)=(a-1)x^4 - bx^3 + abx^2-x+5\;\),
- \(W(x)=(a^2-4)x^3+(a+2)x^2-(a-2)x+2\;\),
- \(W(x)=(a-b)x^4+(a+1)x^3-bx^2 +3x -a\;\),
- \(W(x)=(ax-1)(bx+2)\;\).
Zadanie 1.5. (p) Znaleźć wielomian \(W(x)\;\), wiedząc, że
- jego stopień równy jest \(2\;\) oraz \(W(0)=2\;\), \(W(2)=12\;\), \(W(-2)=24\;\),
- jego stopień równy jest \(3\;\) oraz \(W(1)=6\;\), \(W(-1)=2\;\), \(W(0)=-4\;\) i współczynnik przy \(x^3\; \) jest równy \(2\;\).
Zadanie 1.6. (p\(\ast\ast\)) Znaleźć wielomian \(W(x)\;\), wiedząc, że
- jego stopień równy jest \(3\;\), \(W(2)=-3\;\), \(W(-2)=13\;\), wyraz wolny jest o \(3\;\) większy niż współczynnik przy \(x^3\;\) i cztery razy mniejszy niż współczynnik przy \(x\;\).
- jego stopień równy jest \(4\;\), ma zerowe współczynniki przy nieparzystych potęgach \(x\;\), \(W(-1)=2\;\), \(W(0)=-W(1)\;\) oraz współczynnik przy \(x^2\;\) jest trzy razy większy niż współczynnik przy \(x^4\;\).
Zadanie 1.7. (p) Obliczyć sumę wszystkich współczynników danego wielomianu
- \(W(x)=(5x^3-2x^2-4)^5+(-x+2)^8\;\).
- \(W(x)=(x^2-2x+1)^{1410}\;\)
- \(W(x)=(4x-11x+6)^{966}\;\)
- \(W(x)=(3x^5-2x^4+4x-3)^{10}-(2x^3+x^2-3x+1)^{10}\;\)
Zadanie 1.8. (r\(\ast\))
- Znaleźć sumę współczynników przy parzystych potęgach zmiennej wielomianu \(W(x)\;\), wiedząc, że \(W(1)=17\;\) i \(W(-1)=-5\;\).
- Znaleźć sumę współczynników przy nieparzystych potęgach zmiennej wielomianu \(W(x)\;\), wiedząc, że \(W(1)=35\;\) i \(W(-1)=-3\;\).
- Znaleźć sumę współczynników przy parzystych potęgach zmiennej wielomianu \(W(x)=(3x^2+x-3)^7\;\).
Zadanie 1.9. (r) Wielomian \(W(x)\;\) ma współczynniki całkowite i wyraz wolny równy \(0\;\). Co można powiedzieć o podzielności
- \(W(2)\;\) przez \(2\;\)
- \(W(2)\;\) przez \(4\;\)
- \(W(3)\;\) przez \(3\;\)
- \(W(3)\;\) przez \(9\;\)
- \(W(m)\;\) przez \(m\;\) , gdzie \(m\;\) jest dowolną liczbą całkowitą różną od \(0\;\)
- \(W(m)\;\) przez \(m^2\;\) , gdzie \(m\;\) jest dowolną liczbą całkowitą różną od \(0\;\)
Zadanie 1.10. (r\(\ast\)) Jaki warunek musi spełniać wielomian \(W(x)\;\) o współczynnikach całkowitych, którego wyraz wolny może być różny od \(0\;\), aby
- liczba \(W(2)\;\) była podzielna przez \(2\;\),
- liczba \(W(2)\;\) była podzielna przez \(4\;\),
- liczba \(W(2)\;\) była podzielna przez \(8\;\),
- liczba \(W(m)\;\) była podzielna przez \(m\;\), gdzie \(m\;\) jest dowolną liczbą całkowitą różną od \(0\;\)?
- liczba \(W(m)\;\) była podzielna przez \(m^2\;\), gdzie \(m\;\) jest dowolną liczbą całkowitą różną od \(0\;\)?
Zadanie 1.11. (r\(\ast\)) Dany jest wielomian \(W(x)=7x^4-23x^3+7x^2+6x+3\;\). Znaleźć resztę z dzielenia liczby \(W(5)\;\) przez \(5\;\) i przez \(25\;\).
Zadanie 1.12. (p) Rozstrzygnąć, czy podane wyrażenie jest wielomianem. Jeśli tak, podać jego stopień, jeśli nie, uzasadnić dlaczego.
- \(W(x)=\frac{x^2-4}{x+2}\;\)
- \(W(x)=\frac{x^3+1}{x+1}\;\)
- \(W(x)=\frac{x^4-1}{x^2+1}\;\)
- \(W(x)=\frac{x^4-1}{x^2-1}\;\)
Zadanie 1.13. (r) Rozstrzygnąć, czy podane wyrażenie jest wielomianem. Jeśli tak, podać jego stopień, jeśli nie, uzasadnić dlaczego.
- \(W(x)=(\sqrt{x}+1)^2-2\sqrt{x}\;\)
- \(W(x)=(\sqrt{|x|}+1)^2-2\sqrt{|x|}\;\)
- \(W(x)=(\sqrt{|2x-1|}-3)^2+6\sqrt{|2x-1|}\;\)
- \(W(x)=\sqrt{x^2+2x+1}\;\)
- \(W(x)=\sqrt{x^4+2x^2+1}\;\)