Działania na wielomianach (zadania)

Zadanie 2.1. (p$\ast$) Niech $m,n\in\mathbb{N}$. Wykonaj działania.

1. $(2x^{n+4}-3x^{n+2}+9x^{n+1}-x^n) - (-2x^n+9x^{n+1}-5x^{n+4})\;$,
2. $(x^n-1)(x^{n+1}+1)\;$,
3. $(x^{n+2}-5x^n)(3x^{n-1}-x^{n+1})\;$,
4. $(2x^{n+m} - x^{2n+2m})(4x^{2n+2m}+5x^{n+m}-1)\;$,
5. $(x^m-8x^n)^2\;$,
6. $(6x^n-x^m)(6x^n+x^m)\;$,
7. $(x^n+1)(x^{2n}-x^n+1)\;$.

Zadanie 2.2. (p) Dane są wielomiany $W(x)=x^3-3x^2+4x-7\;$, $P(x) = x^3-3\;$ oraz $Q(x)=-2x^3+1\;$. Wyznacz i zapisz w postaci uporządkowanej wielomiany:

1. $W(x)+P(x)\;$,
2. $Q(x)-P(x)\;$,
3. $W(x)-P(x)Q(x)\;$,
4. $2[P(x)]^2Q(x)\;$,
5. $-[xP(x)-2xQ(x)]^2+3W(x)\;$.

Zadanie 2.3. (p$\ast$)

1. Wyznacz stopień wielomianu
   $P_n(x) =(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\ldots(1+x^{2^n})$
   i współczynnik przy jego najwyższej potędze.
2. Zapisz w postaci uporządkowanej wielomian
   $(x-1)P_5(x).\;$

Zadanie 2.4. (p) Wyznacz stopień sumy wielomianów $P(x)=8x^5+3x^3+1\;$ i $Q(x)= ax^7+9\;$ w zależności od $a\;$.

Zadanie 2.5. (p) Wyznacz stopień sumy wielomianów
$P(x)=3ax^3+5x+6\quad \textrm{i}\quad Q(x)= -x^3-2x^2\;$
w zależności od $a\;$.

Zadanie 2.6. (p$\ast$) Wyznacz stopień sumy wielomianów
$P(x)=(a+1)x^4+x+8\quad \textrm{i}\quad Q(x)=(b-2)x^3+2x^2+5\;$
w zależności od $a\;$ i $b\;$.

Zadanie 2.7. (p$\ast$) Podaj przykłady wielomianów $P(x)\;$ i $Q(x)\qquad\;$ spełniających warunki:
$\mathrm{st}P(x)=3,\quad \mathrm{st}Q(x)=3,\quad \mathrm{st}(P(x)+Q(x))=2.\;$

Zadanie 2.8. (p$\ast$) Podaj przykłady wielomianów $P(x)\;$ i $Q(x)\qquad\;$ spełniających warunki:
$\mathrm{st}P(x)=2,\quad \mathrm{st}Q(x)=2,\quad \mathrm{st}(P(x)-Q(x))=0.\;$

Zadanie 2.9. (p$\ast$) Podaj przykłady wielomianów $P(x)\;$ i $Q(x)\qquad\;$ spełniających warunki:
$\mathrm{st}P(x)\cdot Q(x)=\max\{\mathrm{st}P(x),\mathrm{st}Q(x)\}.\;$