Zadanie 2.1. (p\(\ast\)) Niech \(m,n\in\mathbb{N}\). Wykonaj działania.
- \((2x^{n+4}-3x^{n+2}+9x^{n+1}-x^n) - (-2x^n+9x^{n+1}-5x^{n+4})\;\),
- \((x^n-1)(x^{n+1}+1)\;\),
- \((x^{n+2}-5x^n)(3x^{n-1}-x^{n+1})\;\),
- \((2x^{n+m} - x^{2n+2m})(4x^{2n+2m}+5x^{n+m}-1)\;\),
- \((x^m-8x^n)^2\;\),
- \((6x^n-x^m)(6x^n+x^m)\;\),
- \((x^n+1)(x^{2n}-x^n+1)\;\).
Zadanie 2.2. (p) Dane są wielomiany \(W(x)=x^3-3x^2+4x-7\;\), \(P(x) = x^3-3\;\) oraz \(Q(x)=-2x^3+1\;\). Wyznacz i zapisz w postaci uporządkowanej wielomiany:
- \(W(x)+P(x)\;\),
- \(Q(x)-P(x)\;\),
- \(W(x)-P(x)Q(x)\;\),
- \(2[P(x)]^2Q(x)\;\),
- \(-[xP(x)-2xQ(x)]^2+3W(x)\;\).
Zadanie 2.3. (p\(\ast\))
- Wyznacz stopień wielomianu
\( P_n(x) =(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\ldots(1+x^{2^n}) \)
i współczynnik przy jego najwyższej potędze. - Zapisz w postaci uporządkowanej wielomian
\( (x-1)P_5(x).\;\)
Zadanie 2.4. (p) Wyznacz stopień sumy wielomianów \(P(x)=8x^5+3x^3+1\;\) i \(Q(x)= ax^7+9\;\) w zależności od \(a\;\).
Zadanie 2.5. (p) Wyznacz stopień sumy wielomianów
\(
P(x)=3ax^3+5x+6\quad \textrm{i}\quad Q(x)= -x^3-2x^2\;\)
w zależności od \(a\;\).
Zadanie 2.6. (p\(\ast\)) Wyznacz stopień sumy wielomianów
\(
P(x)=(a+1)x^4+x+8\quad \textrm{i}\quad Q(x)=(b-2)x^3+2x^2+5\;\)
w zależności od \(a\;\) i \(b\;\).
Zadanie 2.7. (p\(\ast\)) Podaj przykłady wielomianów \(P(x)\;\) i \(Q(x)\qquad\;\) spełniających warunki:
\(
\mathrm{st}P(x)=3,\quad \mathrm{st}Q(x)=3,\quad \mathrm{st}(P(x)+Q(x))=2.\;
\)
Zadanie 2.8. (p\(\ast\)) Podaj przykłady wielomianów \(P(x)\;\) i \(Q(x)\qquad\;\) spełniających warunki:
\(
\mathrm{st}P(x)=2,\quad \mathrm{st}Q(x)=2,\quad \mathrm{st}(P(x)-Q(x))=0.\;
\)
Zadanie 2.9. (p\(\ast\)) Podaj przykłady wielomianów \(P(x)\;\) i \(Q(x)\qquad\;\) spełniających warunki:
\(
\mathrm{st}P(x)\cdot Q(x)=\max\{\mathrm{st}P(x),\mathrm{st}Q(x)\}.\;
\)