Zadanie 1

Oto konstrukcja drzewa Sterna-Brocota:
zaczynamy od dwóch ułamków: ⁰⁄₁ i ¹⁄₀ (ten drugi reprezentuje +∞)
między każde dwa kolejne elementy ^m⁄_n i ^m'⁄_n' wstawiamy ułamek (m+m')/(n+n').
Udowodnij, że w ten sposób uzyskamy wszystkie dodatnie ułamki nieskracalne, każdy dokładnie raz.

Zadanie 2

Udowodnij, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, z których środkowa jest sześcianem, dzieli się przez 504.

Zadanie 3

Niech n = 100. Czy φ(n) to najmniejsza liczba λ o tej własności, że jeśli a⊥n, to a^λ≡1(mod n)? Uogólnij tę obserwację.

Zadanie 4

Udowodnij, że istnieje 2011 kolejnych liczb naturalnych, z których każda jest podzielna przez sześcian liczby naturalnej >1.

Zadanie 5

Niech F(1) = 2, F(k+1) = 2^F(k). Oblicz F(5) mod 2009.

Zadanie 6

Znajdź najmniejszą liczbę o sumie cyfr 204 podzielną przez 204.

Zadanie 7

Znajdź konstruktywny dowód chińskiego twierdzenia o resztach (czyli podaj efektywny algorytm znajdowania elementu spełniającego stosowny układ kongruencji).