Processing math: 50%

Granice niewłaściwe

Granice niewłaściwe


Podobnie jak dla ciągów tak i dla funkcji możemy mówić o granicy niewłaściwej. Będziemy rozważać funkcje, których wartości zmierzają do + (lub ), gdy argumenty zmierzają do pewnego punktu skupienia dziedziny. Wprowadzimy następujące definicje.

Definicja 8.10. [Granica niewłaściwa funkcji]

Niech AR oraz x0R punktem skupienia zbioru A.

Mówimy, że f ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego) + w punkcie x0, jeśli

MR  δ>0  xA{x0}:  [|xx0|<δ    f(x)>M.]

Mówimy, że f ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego) w punkcie x0, jeśli

MR  δ>0  xA{x0}:  [|xx0|<δ    f(x)<M.]

wykres

Mówimy, że f ma granicę niewłaściwą w (sensie Heinego) + w punkcie x0, jeśli

{xn}A{x0}:  [lim

Mówimy, że f ma granicę niewłaściwą (w sensie Heinego) -\infty punkcie x_0, jeśli

\forall \{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[ \lim\limits_{n \to +\infty} x_n = x_0 \ \ \Longrightarrow\ \ \lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)= -\infty \bigg].

wykresy

W przypadku funkcji prowadzącej z podzbioru \displaystyle\mathbb{R} w \displaystyle\mathbb{R} oprócz wcześniej zdefiniowanych granic funkcji w punkcie oraz granic niewłaściwych można także rozważać tak zwane granice w "punktach niewłaściwych", to znaczy granice w +\infty lub -\infty (o ile +\infty lub -\infty są punktami skupienia dziedziny).

Podobnie jak na początku wykładu tak i tutaj wszystkie rodzaje definicji granic mają swoje odpowiedniki Cauchy'ego i Heinego. Podobnie jak miało to miejsce poprzednio obie wersje definicji są sobie równoważne.

Definicja 8.11. [Granica funkcji w punkcie niewłaściwym]

Niech g\in\mathbb{R} oraz niech \displaystyle f\colon \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} będzie funkcją.

\begin{array} {rlclcl} \displaystyle\lim_{x \to +\infty} & f(x) & = & g & \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow} & \forall \varepsilon>0\ \ \exists M\in\mathbb{R}\ \ \forall x\in \mathbb{R}:\ \ \bigg[x\ge M\ \Longrightarrow\ \ \big|f(x)-g\big| < \varepsilon\bigg], \\ & & & & \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow} & \forall \{x_n\}\subseteq \mathbb{R}:\ \ \bigg[x_n\longrightarrow+\infty\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow g\bigg], \\ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} & f(x) & = & g & \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow} & \forall \varepsilon>0\ \ \exists M\in\mathbb{R}\ \ \forall x\in \mathbb{R}:\ \ \bigg[x\le M\ \Longrightarrow\ \ \big|f(x)-g\big| < \varepsilon\bigg], \\ & & & & \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow} & \forall \{x_n\}\subseteq \mathbb{R}:\ \ \bigg[x_n\longrightarrow-\infty\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow g\bigg], \end{array}

wykresy 4

W końcu możemy także mówić o granicach niewłaściwych w punktach niewłaściwych. Odpowiednie definicje Cauchy'ego i Heinego (równoważne sobie) podane są poniżej.

Definicja 8.12. [Granica niewłaściwa funkcji w punkcie niewłaściwym]

Niech \displaystyle f\colon \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} będzie funkcją.

\begin{array} {rlclcl} \displaystyle\lim_{x \to +\infty} & f(x) & = & +\infty & \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow} & \forall N\in\mathbb{R}\ \ \exists M\in\mathbb{R}\ \ \forall x\in \mathbb{R}:\ \ \bigg[x\ge M\ \Longrightarrow\ \ f(x)\ge N\bigg] \\ & & & & \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow} & \forall \{x_n\}\subseteq \mathbb{R}:\ \ \bigg[x_n\longrightarrow+\infty\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow +\infty\bigg], \\ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} & f(x) & = & -\infty & \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow} & \forall N\in\mathbb{R}\ \ \exists M\in\mathbb{R}\ \ \forall x\in \mathbb{R}:\ \ \bigg[x\ge M\ \Longrightarrow\ \ f(x)\le N\bigg] \\ & & & & \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow} & \forall \{x_n\}\subseteq \mathbb{R}:\ \ \bigg[x_n\longrightarrow+\infty\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow -\infty\bigg], \\ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} & f(x) & = & +\infty & \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow} & \forall N\in\mathbb{R}\ \ \exists M\in\mathbb{R}\ \ \forall x\in \mathbb{R}:\ \ \bigg[x\le M\ \Longrightarrow\ \ f(x)\ge N\bigg] \\ & & & & \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow} & \forall \{x_n\}\subseteq \mathbb{R}:\ \ \bigg[x_n\longrightarrow-\infty\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow +\infty\bigg], \\ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} & f(x) & = & -\infty & \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow} & \forall N\in\mathbb{R}\ \ \exists M\in\mathbb{R}\ \ \forall x\in \mathbb{R}:\ \ \bigg[x\le M\ \Longrightarrow\ \ f(x)\le N\bigg] \\ & & & & \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow} & \forall \{x_n\}\subseteq \mathbb{R}:\ \ \bigg[x_n\longrightarrow-\infty\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow -\infty\bigg] \end{array}

wykresy