Dzięki liniowemu porządkowi jaki mamy w \( \displaystyle\mathbb{R}, \) dla funkcji prowadzących z podzbiorów \( \displaystyle\mathbb{R} \) możemy mówić o tak zwanych granicach jednostronnych w punkcie \( x_0. \) Mamy z nimi do czynienia w przypadku, gdy w definicji granicy ograniczymy się do ciągów leżących po jednej stronie punktu \( x_0 \) (w przypadku definicji Heinego) lub do części przedziału leżącej po jednej stronie punktu \( x_0 \) (w przypadku definicji Cauchy'ego).
Definicja 8.13. [Granice jednostronne funkcji]
Niech \( A\subseteq \mathbb{R}, \) niech \( x_0 \) będzie punktem skupienia zbioru \( A\cap (x_0,+\infty) \) oraz niech \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R} \) będzie funkcją. Granicę prawostronną funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) oznaczamy \( \displaystyle \lim_{x \to x_0^+}f(x) \) lub \( f(x_0^+) \) i definiujemy jako
\( \begin{array} {rclcl} \displaystyle\lim_{x \to x_0^+}f(x) & = & g & \ \ \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow}\ \ & \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A\cap(x_0,+\infty):\ \ \bigg[\big|x-x_0\big|\le \delta\ \Longrightarrow\ \ \big|f(x)-g\big| < \varepsilon\bigg] \\ & & & \ \ \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow}\ \ & \forall \{x_n\}\subseteq A\cap(x_0,+\infty):\ \ \bigg[x_n\longrightarrow x_0\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow g\bigg]. \end{array} \)
Niech \( A\subseteq \mathbb{R}, \) niech \( x_0 \) będzie punktem skupienia zbioru \( A\cap (-\infty,x_0) \) oraz niech \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R} \) będzie funkcją. Granicę lewostronną funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) oznaczamy \( \displaystyle \lim_{x \to x_0^-}f(x) \) lub \( f(x_0^-) \) i definiujemy jako
\( \begin{array} {rclcl} \displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f(x) & = & g & \ \ \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow}\ \ & \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A\cap(-\infty,x_0):\ \ \bigg[\big|x-x_0\big|\le \delta\ \Longrightarrow\ \ \big|f(x)-g\big| < \varepsilon\bigg] \\ & & & \ \ \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow}\ \ & \forall \{x_n\}\subseteq A\cap(-\infty,x_0):\ \ \bigg[x_n\longrightarrow x_0\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow g\bigg]. \end{array} \)
Jako ćwiczenie pozostawiamy samodzielnie zdefiniowanie granic jednostronnych niewłaściwych funkcji w punkcie.
Łatwo zaobserwować, że granica funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice jednostronne w tym punkcie i są sobie równe.
Dla funkcji określonej na podzbiorze liczb rzeczywistych możemy też mówić o ciągłości jednostronnej.
Definicja 8.15.
Niech \( A\subseteq \mathbb{R} \) oraz niech \( \displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb{R} \) będzie funkcją oraz niech \( x_0\in A. \)
Mówimy, że funkcja \( f \) jest prawostronnie ciągła w punkcie \( x_0\in\mathbb{R} \)
\( \begin{align*} \stackrel{\textrm{Cauchy}}{\Longleftrightarrow} & & \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A:\ \ \bigg[x\in[x_0,x_0+\delta) \ \Longrightarrow\ \big|f(x)-f(x_0)\big| < \varepsilon\bigg]; \\ \stackrel{\textrm{Heine}}{\Longleftrightarrow} & & \forall \{x_n\}\subseteq A\cap [x_0,+\infty):\ \ \bigg[\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0 \ \Longrightarrow\ \lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)=f(x_0)\bigg]. \end{align*} \)
Mówimy, że funkcja \( f \) jest lewostronnie ciągła w punkcie \( x_0\in\mathbb{R} \)
\( \begin{align*} \stackrel{\textrm{Cauchy}}{\Longleftrightarrow} & & \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A:\ \ \bigg[x\in(x_0-\delta,x_0] \ \Longrightarrow\ \big|f(x)-f(x_0)\big| < \varepsilon\bigg]; \\ \stackrel{\textrm{Heine}}{\Longleftrightarrow} & & \forall \{x_n\}\subseteq A\cap (-\infty,x_0]:\ \ \bigg[\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0 \ \Longrightarrow\ \lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)=f(x_0)\bigg]. \end{align*} \)
Przykład 8.16.
Rozważmy funkcję \( f\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \) daną wzorem
\( f(x) \ =\left \{ \begin{array} {lll} \displaystyle -x+1 & \textrm{dla} & \displaystyle x\le 0, \\ \displaystyle \mathrm{tg}\, x & \textrm{dla} & \displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{2}, \\ \displaystyle x-\frac{\pi}{2} & \textrm{dla} & \displaystyle \frac{\pi}{2}\le x. \\ \end{array} \right . \)
Funkcja ta jest lewostronnie ciągła w punkcie \( x=0 \) oraz prawostronnie ciągła w punkcie \( \displaystyle x=\frac{\pi}{2}, \) ale nie jest prawostronnie ciągła w punkcie \( x=0 \) oraz nie jest lewostronnie ciągła w punkcie \( \displaystyle x=\frac{\pi}{2}. \) W pozostałych punktach \( x\in\mathbb{R} \) funkcja jest ciągła, a więc w szczególności lewostronnie ciągła i prawostronnie ciągła.
Kolejne twierdzenie podaje związek między ciągłością, a ciągłością lewostronną i prawostronną. Jest ono natychmiastową konsekwencją definicji.
Twierdzenie 8.17.
Funkcja \( f\colon\mathbb{R}\supseteq A\longrightarrow\mathbb{R} \) jest ciągła w punkcie \( x_0\in A \) wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie lewostronnie ciągła i prawostronnie ciągła.