Granice jednostronne funkcji

Dzięki liniowemu porządkowi jaki mamy w $\displaystyle\mathbb{R},$ dla funkcji prowadzących z podzbiorów $\displaystyle\mathbb{R}$ możemy mówić o tak zwanych granicach jednostronnych w punkcie $x_0.$ Mamy z nimi do czynienia w przypadku, gdy w definicji granicy ograniczymy się do ciągów leżących po jednej stronie punktu $x_0$ (w przypadku definicji Heinego) lub do części przedziału leżącej po jednej stronie punktu $x_0$ (w przypadku definicji Cauchy'ego).

Definicja 8.13. [Granice jednostronne funkcji]

Niech $A\subseteq \mathbb{R},$ niech $x_0$ będzie punktem skupienia zbioru $A\cap (x_0,+\infty)$ oraz niech $\displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R}$ będzie funkcją. Granicę prawostronną funkcji $f$ w punkcie $x_0$ oznaczamy $\displaystyle \lim_{x \to x_0^+}f(x)$ lub $f(x_0^+)$ i definiujemy jako

$\begin{array} {rclcl} \displaystyle\lim_{x \to x_0^+}f(x) & = & g & \ \ \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow}\ \ & \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A\cap(x_0,+\infty):\ \ \bigg[\big|x-x_0\big|\le \delta\ \Longrightarrow\ \ \big|f(x)-g\big| < \varepsilon\bigg] \\ & & & \ \ \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow}\ \ & \forall \{x_n\}\subseteq A\cap(x_0,+\infty):\ \ \bigg[x_n\longrightarrow x_0\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow g\bigg]. \end{array}$

Niech $A\subseteq \mathbb{R},$ niech $x_0$ będzie punktem skupienia zbioru $A\cap (-\infty,x_0)$ oraz niech $\displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R}$ będzie funkcją. Granicę lewostronną funkcji $f$ w punkcie $x_0$ oznaczamy $\displaystyle \lim_{x \to x_0^-}f(x)$ lub $f(x_0^-)$ i definiujemy jako

$\begin{array} {rclcl} \displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f(x) & = & g & \ \ \stackrel{Cauchy}{\Longleftrightarrow}\ \ & \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A\cap(-\infty,x_0):\ \ \bigg[\big|x-x_0\big|\le \delta\ \Longrightarrow\ \ \big|f(x)-g\big| < \varepsilon\bigg] \\ & & & \ \ \stackrel{Heine}{\Longleftrightarrow}\ \ & \forall \{x_n\}\subseteq A\cap(-\infty,x_0):\ \ \bigg[x_n\longrightarrow x_0\ \Longrightarrow\ f(x_n)\longrightarrow g\bigg]. \end{array}$

Jako ćwiczenie pozostawiamy samodzielnie zdefiniowanie granic jednostronnych niewłaściwych funkcji w punkcie.

Łatwo zaobserwować, że granica funkcji $f$ w punkcie $x_0$ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice jednostronne w tym punkcie i są sobie równe.

Dla funkcji określonej na podzbiorze liczb rzeczywistych możemy też mówić o ciągłości jednostronnej.

Definicja 8.15.

Niech $A\subseteq \mathbb{R}$ oraz niech $\displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb{R}$ będzie funkcją oraz niech $x_0\in A.$
Mówimy, że funkcja $f$ jest prawostronnie ciągła w punkcie $x_0\in\mathbb{R}$

$\begin{align*} \stackrel{\textrm{Cauchy}}{\Longleftrightarrow} & & \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A:\ \ \bigg[x\in[x_0,x_0+\delta) \ \Longrightarrow\ \big|f(x)-f(x_0)\big| < \varepsilon\bigg]; \\ \stackrel{\textrm{Heine}}{\Longleftrightarrow} & & \forall \{x_n\}\subseteq A\cap [x_0,+\infty):\ \ \bigg[\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0 \ \Longrightarrow\ \lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)=f(x_0)\bigg]. \end{align*}$

Mówimy, że funkcja $f$ jest lewostronnie ciągła w punkcie $x_0\in\mathbb{R}$

$\begin{align*} \stackrel{\textrm{Cauchy}}{\Longleftrightarrow} & & \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A:\ \ \bigg[x\in(x_0-\delta,x_0] \ \Longrightarrow\ \big|f(x)-f(x_0)\big| < \varepsilon\bigg]; \\ \stackrel{\textrm{Heine}}{\Longleftrightarrow} & & \forall \{x_n\}\subseteq A\cap (-\infty,x_0]:\ \ \bigg[\lim\limits_{n \to +\infty} x_n=x_0 \ \Longrightarrow\ \lim\limits_{n \to +\infty} f(x_n)=f(x_0)\bigg]. \end{align*}$

wykresy

Przykład 8.16.

Rozważmy funkcję $f\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ daną wzorem

$f(x) \ =\left \{ \begin{array} {lll} \displaystyle -x+1 & \textrm{dla} & \displaystyle x\le 0, \\ \displaystyle \mathrm{tg}\, x & \textrm{dla} & \displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{2}, \\ \displaystyle x-\frac{\pi}{2} & \textrm{dla} & \displaystyle \frac{\pi}{2}\le x. \\ \end{array} \right .$

Funkcja ta jest lewostronnie ciągła w punkcie $x=0$ oraz prawostronnie ciągła w punkcie $\displaystyle x=\frac{\pi}{2},$ ale nie jest prawostronnie ciągła w punkcie $x=0$ oraz nie jest lewostronnie ciągła w punkcie $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}.$ W pozostałych punktach $x\in\mathbb{R}$ funkcja jest ciągła, a więc w szczególności lewostronnie ciągła i prawostronnie ciągła.

Kolejne twierdzenie podaje związek między ciągłością, a ciągłością lewostronną i prawostronną. Jest ono natychmiastową konsekwencją definicji.

Twierdzenie 8.17.

Funkcja $f\colon\mathbb{R}\supseteq A\longrightarrow\mathbb{R}$ jest ciągła w punkcie $x_0\in A$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie lewostronnie ciągła i prawostronnie ciągła.