Uwaga 8.18.
Podobnie jak w przypadku granic ciągów, tak i teraz w przypadku granic funkcji w punkcie można mówić o symbolach nieoznaczonych. Z symbolem nieoznaczonym mamy do czynienia, gdy z istnienia granic dwóch funkcji w danym punkcie nie można określić jednoznacznie granicy funkcji, która powstanie z tych funkcji w wyniku wykonania danego działania (dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, potęgowania).
Kolejne twierdzenie podaje granice pewnych funkcji. Zazwyczaj mamy tu do czynienia z symbolami nieoznaczonymi, dlatego nad znakiem "=" podajemy jaki symbol nieoznaczony tu występuje.
Elementarne dowody tego twierdzenia można znaleźć w podręcznikach z analizy matematycznej. Pominiemy je w tym miejscu, gdyż będą one znacznie łatwiejsze, gdy zapoznamy się z rachunkiem różniczkowym i regułą de l'Hospitala.
Twierdzenie 8.19. [Granice specjalne]
(1) lim
(2) \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to +\infty}a^xx^{\alpha} \ \stackrel{0\cdot\infty}{=}\ 0. dla a\in(0,1),\displaystyle\alpha\ge 0.
(3) \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ 1 oraz \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ 1.
(4) \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} \ \stackrel{1^{\infty}}{=}\ e,\displaystyle\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (1+x)^{\frac{1}{x}} \ \stackrel{\infty^0}{=}\ 1.
(5) \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ \ln a, dla a>0, (w szczególności \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ 1 )
(6) \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ \frac{1}{\ln a}, dla a>0,a\ne 1, (w szczególności \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ 1 ).
(7) \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} (1+\frac{a}{x})^x \ \stackrel{1^{\infty}}{=}\ e^a, dla a\in\mathbb{R}.
(8) \displaystyle\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^a-1}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ a, dla a\in\mathbb{R}.
Twierdzenie 8.20.
(1) Każdy wielomian w\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} jest funkcją ciągłą.
(2) Funkcja potęgowa \displaystyle (0,+\infty)\ni x\longmapsto x^{\alpha}\in\mathbb{R} ( \displaystyle\alpha\in\mathbb{R} ) jest ciągła.
(3) Funkcja wykładnicza \displaystyle (0,+\infty)\ni x\longmapsto a^x\in\mathbb{R} ( a>0 ) jest ciągła.
(4) Funkcje trygonometryczne \displaystyle\sin,\displaystyle\cos,\displaystyle\mathrm{tg}\,,\displaystyle\mathrm{ctg}\, są ciągłe.
Dowód 8.20.
[Szkic] (Ad (1)) Łatwo pokazać (na przykład z definicji Heinego), iż funkcja stała f(x)=c (gdzie c\in\mathbb{R} ) oraz funkcja identycznościowa g(x)=x są ciągłe w \displaystyle\mathbb{R}. Ponieważ każdy wielomian powstaje jako sumy i iloczyny tych dwóch funkcji, zatem korzystając z twierdzenia o "arytmetyce" granic funkcji (twierdzenie 8.8.) wnioskujemy, że dowolny wielomian jest ciągły.
(Ad (2)-(4)) Dowody tych punktów wykraczają poza materiał tego wykładu.