Powstaje naturalne pytanie, czy reszta \( \displaystyle R_{n+1} \) we wzorze Maclaurina stanowi ciąg zbieżny do zera, jeśli funkcja \( \displaystyle f \) jest klasy \( \displaystyle C^\infty \) w przedziale zawierającym punkt \( \displaystyle 0 \)? Negatywna odpowiedź na to pytanie zawarta jest w kolejnym przykładzie.
Przykład 10.19.
Funkcja
\( \displaystyle f(x)=\Bigg\{\begin{array}{ll} 0 & \text{ dla }x\leq 0 \\ \exp(-\frac{1}{x}) & \text{ dla } x>0 \end{array} \)
jest różniczkowalna w każdym punkcie \( \displaystyle x\in \mathbb{R} \). W szczególności zerują się wszystkie pochodne w punkcie zero, tj.
\( \displaystyle \forall k=0,1,2,3,\dots \ : f^{(k)}(0)=0, \)
(fakt ten wykażemy w kolejnym module), czyli wszystkie współczynniki wielomianu Taylora o środku w zerze są zerowe. Z twierdzenia Taylora mamy równość: \( \displaystyle f(h)=T_{0}^n(h)+R_{n+1}=0+R_{n+1} \). Zwróćmy uwagę, że dla dowolnej liczby \( \displaystyle h>0 \) funkcja \( \displaystyle f \) przyjmuje wartość dodatnią, więc reszta \( \displaystyle R_{n+1} \) nie stanowi ciągu zbieżnego do zera.
Twierdzenie Taylora nie jest optymalnym narzędziem do przybliżania dowolnych funkcji różniczkowalnych za pomocą wielomianów, gdyż - jak pokazaliśmy w powyższym przykładzie - istnieją funkcje klasy \( \displaystyle C^\infty \) (czyli takie, które mają ciągłe pochodne dowolnie wysokiego rzędu), których nie da się w rozsądny sposób przybliżyć za pomocą wielomianów Taylora \( \displaystyle T_a ^n f \).
Prawdziwe jest jednak twierdzenie, które gwarantuje możliwość przybliżania funkcji ciągłych na przedziale domkniętym wielomianami.
Karl Weierstrass (1815-1897)
Twierdzenie 10.20. [twierdzenie Weierstrassa]
Funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można przybliżać jednostajnie za pomocą wielomianów, tzn. jeśli \( \displaystyle f:[a,b] \mapsto\mathbb{R} \) jest funkcją ciągłą, to istnieje ciąg wielomianów \( \displaystyle w_n \) taki, że
\( \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sup\{|f(t)-w_n(t)|, a\leq t\leq b\}=0. \)
Dowód tego ważnego twierdzenia wykracza poza ramy tego kursu. Można natomiast łatwo podać efektywną konstrukcję ciągu wielomianów, które przybliżają jednostajnie daną funkcję ciągłą na przedziale \( \displaystyle [0,1] \).
Definicja 10.21.
Niech \( \displaystyle f:[0,1]\mapsto \mathbb{R} \) będzie funkcją ciągłą. Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej \( \displaystyle n=0,1,2,\dots \) definiujemy wielomian Bernsteina rzędu \( \displaystyle n \) funkcji \( \displaystyle f \) wzorem
\( \displaystyle B_n f(t)=\sum_{k=0}^n f \left ( \frac {k} {n} \right) \ {n \choose k}t^{k}(1-t)^{n-k}. \)
Uwaga 10.22.
Podobieństwo wzoru definiującego wielomian Bernsteina do wzoru dwumianowego Newtona nie jest przypadkowe. Weźmy np. funkcję \( \displaystyle f(x)=1 \), stałą w przedziale \( \displaystyle [0,1] \). Wówczas na mocy wzoru Newtona
\( \displaystyle B_n f(t)=\sum_{k=0}^n 1 \cdot {n \choose k}t^{k}(1-t)^{n-k}=(t+1-t)^n=1. \)
Zauważmy, że wielomian Bernsteina rzędu \( \displaystyle n \) jest wielomianem stopnia nie wyższego niż \( \displaystyle n \). Można wykazać, że jeśli \( \displaystyle w \) jest wielomianem stopnia nie wyższego niż \( \displaystyle n \), to \( \displaystyle B_n w(t)=w(t) \) dla dowolnej liczby \( \displaystyle t \). Przypomnijmy, że analogiczną własność mają również wielomiany Taylora (zob. uwaga 10.14.).
Najciekawszą własność ciągu wielomianów Bernsteina podaje
Twierdzenie 10.23. [twierdzenie Bernsteina]
Jeśli \( \displaystyle f:[0,1]\mapsto\mathbb{R} \) jest dowolną funkcją ciągłą, to ciąg wielomianów Bernsteina zmierza do \( \displaystyle f \) jednostajnie na przedziale \( \displaystyle [0,1] \), to znaczy
\( \displaystyle \lim_{n\to \infty}\sup\{|f(t)-B_n(t)|, 0\leq t\leq 1\}=0. \)
Krótki, szczegółowy dowód tego faktu przeprowadzony w oparciu o nierówność Czebyszewa (zob. wykład z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki) można znaleźć na przykład w podręczniku P.Billingsleya, Prawdopodobieństwo i miara, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1987, str. 91-92. Zwróćmy uwagę, że twierdzenie Weierstrassa zachodzi nawet dla funkcji klasy \( \displaystyle C^0 \), tj. takich, od których nie wymagamy, aby były różniczkowalne w którymkolwiek punkcie. Przykład takiej funkcji, która jest tylko ciągła i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie, podaliśmy w poprzednim module.