Przybliżanie funkcji ciągłych wielomianami

wykres

Powstaje naturalne pytanie, czy reszta $\displaystyle R_{n+1}$ we wzorze Maclaurina stanowi ciąg zbieżny do zera, jeśli funkcja $\displaystyle f$ jest klasy $\displaystyle C^\infty$ w przedziale zawierającym punkt $\displaystyle 0$? Negatywna odpowiedź na to pytanie zawarta jest w kolejnym przykładzie.

Przykład 10.19.

Funkcja

$\displaystyle f(x)=\Bigg\{\begin{array}{ll} 0 & \text{ dla }x\leq 0 \\ \exp(-\frac{1}{x}) & \text{ dla } x>0 \end{array}$

jest różniczkowalna w każdym punkcie $\displaystyle x\in \mathbb{R}$. W szczególności zerują się wszystkie pochodne w punkcie zero, tj.

$\displaystyle \forall k=0,1,2,3,\dots \ : f^{(k)}(0)=0,$

(fakt ten wykażemy w kolejnym module), czyli wszystkie współczynniki wielomianu Taylora o środku w zerze są zerowe. Z twierdzenia Taylora mamy równość: $\displaystyle f(h)=T_{0}^n(h)+R_{n+1}=0+R_{n+1}$. Zwróćmy uwagę, że dla dowolnej liczby $\displaystyle h>0$ funkcja $\displaystyle f$ przyjmuje wartość dodatnią, więc reszta $\displaystyle R_{n+1}$ nie stanowi ciągu zbieżnego do zera.

Twierdzenie Taylora nie jest optymalnym narzędziem do przybliżania dowolnych funkcji różniczkowalnych za pomocą wielomianów, gdyż - jak pokazaliśmy w powyższym przykładzie - istnieją funkcje klasy $\displaystyle C^\infty$ (czyli takie, które mają ciągłe pochodne dowolnie wysokiego rzędu), których nie da się w rozsądny sposób przybliżyć za pomocą wielomianów Taylora $\displaystyle T_a ^n f$.

Prawdziwe jest jednak twierdzenie, które gwarantuje możliwość przybliżania funkcji ciągłych na przedziale domkniętym wielomianami.

rycina

Karl Weierstrass (1815-1897)

Twierdzenie 10.20. [twierdzenie Weierstrassa]

Funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można przybliżać jednostajnie za pomocą wielomianów, tzn. jeśli $\displaystyle f:[a,b] \mapsto\mathbb{R}$ jest funkcją ciągłą, to istnieje ciąg wielomianów $\displaystyle w_n$ taki, że

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sup\{|f(t)-w_n(t)|, a\leq t\leq b\}=0.$

Dowód tego ważnego twierdzenia wykracza poza ramy tego kursu. Można natomiast łatwo podać efektywną konstrukcję ciągu wielomianów, które przybliżają jednostajnie daną funkcję ciągłą na przedziale $\displaystyle [0,1]$.

wykres

Definicja 10.21.

Niech $\displaystyle f:[0,1]\mapsto \mathbb{R}$ będzie funkcją ciągłą. Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej $\displaystyle n=0,1,2,\dots$ definiujemy wielomian Bernsteina rzędu $\displaystyle n$ funkcji $\displaystyle f$ wzorem

$\displaystyle B_n f(t)=\sum_{k=0}^n f \left ( \frac {k} {n} \right) \ {n \choose k}t^{k}(1-t)^{n-k}.$

Uwaga 10.22.

Podobieństwo wzoru definiującego wielomian Bernsteina do wzoru dwumianowego Newtona nie jest przypadkowe. Weźmy np. funkcję $\displaystyle f(x)=1$, stałą w przedziale $\displaystyle [0,1]$. Wówczas na mocy wzoru Newtona

$\displaystyle B_n f(t)=\sum_{k=0}^n 1 \cdot {n \choose k}t^{k}(1-t)^{n-k}=(t+1-t)^n=1.$

Zauważmy, że wielomian Bernsteina rzędu $\displaystyle n$ jest wielomianem stopnia nie wyższego niż $\displaystyle n$. Można wykazać, że jeśli $\displaystyle w$ jest wielomianem stopnia nie wyższego niż $\displaystyle n$, to $\displaystyle B_n w(t)=w(t)$ dla dowolnej liczby $\displaystyle t$. Przypomnijmy, że analogiczną własność mają również wielomiany Taylora (zob. uwaga 10.14.).

Najciekawszą własność ciągu wielomianów Bernsteina podaje

Twierdzenie 10.23. [twierdzenie Bernsteina]

Jeśli $\displaystyle f:[0,1]\mapsto\mathbb{R}$ jest dowolną funkcją ciągłą, to ciąg wielomianów Bernsteina zmierza do $\displaystyle f$ jednostajnie na przedziale $\displaystyle [0,1]$, to znaczy

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sup\{|f(t)-B_n(t)|, 0\leq t\leq 1\}=0.$

Krótki, szczegółowy dowód tego faktu przeprowadzony w oparciu o nierówność Czebyszewa (zob. wykład z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki) można znaleźć na przykład w podręczniku P.Billingsleya, Prawdopodobieństwo i miara, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1987, str. 91-92. Zwróćmy uwagę, że twierdzenie Weierstrassa zachodzi nawet dla funkcji klasy $\displaystyle C^0$, tj. takich, od których nie wymagamy, aby były różniczkowalne w którymkolwiek punkcie. Przykład takiej funkcji, która jest tylko ciągła i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie, podaliśmy w poprzednim module.