Formy kwadratowe

Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem o charakterystyce różnej od 2. Odwzorowanie

$f:V\longrightarrow {\mathbb K}$

nazywamy formą kwadratową, jeśli istnieje odwzorowanie dwuliniowe

$\Phi : V^2\longrightarrow {\mathbb K}$

takie, że

$\Phi (v,v)=f(v)$

dla każdego $v\in V$ . Mówimy, że odwzorowanie dwuliniowe $\Phi$ indukuje formę kwadratową $f$ .

Udowodnimy najpierw następujący lemat

Lemat 0.1

Dla formy kwadratowej $f:V\longrightarrow {\mathbb K}$ istnieje dokładnie jedno odwzorowanie dwuliniowe symetryczne $\phi : V^2\longrightarrow {\mathbb K}$ indukujące $f$ .

Dowód

Niech $\Phi$ będzie pewnym odwzorowaniem dwuliniowym indukującym $f$ . Zdefiniujmy odwzorowanie $\phi$ następująco

$\phi (u,v)= (1+1)^{-1}\left (\Phi (u,v) +\Phi (v,u)\right ).$

Odwzorowanie to jest dwuliniowe, symetryczne i indukuje $f$ . Zauważmy, że tutaj właśnie wykorzystaliśmy założenie, że charakterystyka ciała ${\mathbb K}$ jest różna od $2$ .

Jedyność symetrycznego $\phi$ indukującego $f$ wykazujemy jak następuje.

Niech $\phi '$ , $\phi ''$ będą odwzorowaniami dwuliniowymi symetrycznymi indukującymi $f$ . Wtedy $\phi =\phi '-\phi ''$ jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym takim, że $\phi (v,v)=0$ dla każdego $v\in V$ . Wykorzystując dwuliniowość i symetrię $\phi$ otrzymujemy następujące równości

$0=\phi (u+v, u+v)=\phi (u,u)+ 2\phi (u,v) +\phi (v,v)=2\phi (u,v)$

dla dowolnych wektorów $u,v\in V$ . A zatem $\phi ' (u,v)=\phi ''(u,v)$ dla dowolnych $u,v\in V$ .

Jedyne dwuliniowe odwzorowanie symetryczne indukujące $f$ nazywa się odwzorowaniem dwuliniowym skojarzonym z formą kwadratową $f$ .

Dla odwzorowania dwuliniowego $\Phi$ rozważamy odwzorowanie

$\tilde \Phi:V\ni v\longrightarrow \{ V\ni u\longrightarrow \Phi (u,v)\in {\mathbb K}\}\in V^*.$ (0.1)

Odwzorowanie to jest oczywiście liniowe.

Od tego momentu zakładamy, że wszystkie rozważane w tym wykładzie przestrzenie są skończenie wymiarowe.

Macierz odwzorowania dwuliniowego

Niech $e_1,...e_n$ będzie bazą przestrzeni $V$ zaś $e^*_1,...,e^*_n$ będzie jej bazą dualną. Znajdźmy macierz odwzorowania $\tilde \Phi$ przy tak wybranych baz. Skorzystajmy ze wzoru (5.4) z Wykładu IV.

Otrzymujemy następujące równości

$\begin{aligned} \tilde \Phi (e_j)&= (\tilde\Phi (e_j))(e_1)e^*_1+...+(\tilde \Phi (e_j))(e_n)e^*_n\\ &= \Phi (e_j, e_1)e^*_1+...+\Phi (e_j, e_n)e^*_n. \end{aligned}$

Oznacza to, że poszukiwana macierz $\tilde \Phi$ jest równa macierzy $[\Phi (e_i, e_j)]$ . Macierz tę nazywamy macierzą odwzorowania dwuliniowego w bazie $e_1,...,e_n$ .

Jeżeli $\phi$ jest odwzorowaniem dwuliniowym skojarzonym z formą kwadratową $f$ , to macierz tę nazywa się macierzą formy kwadratowej $f$ przy bazie $e_1,...,e_n$ . Macierz formy kwadratowej jest symetryczna. Rząd tej macierzy jest rzędem odwzorowania liniowego $\tilde\phi$ i nazywa się rzędem formy kwadratowej $f$ .

Mając bazę $e_1,...,e_n$ przestrzeni $V$ i macierz formy kwadratowej $f$ możemy znaleźć wartość $f$ na dowolnym wektorze $v\in V$ . Mianowicie, jeśli $\phi$ jest odwzorowaniem dwuliniowym skojarzonym z $f$ , $a_{ij}=\phi(e_i,e_j)$ oraz $v=v_1e_1+...+e_ne_n$ , to

$\displaystyle f(v)=\sum _{i,j=1}^n v_iv_ja_{ij}.$ (0.2)

Zobaczmy jeszcze, jak zmienia się macierz odwzorowania dwuliniowego, jeśli zmienimy bazę. Niech więc dane będą dwie bazy przestrzeni wektorowej $V$ : $e_1,...,e_n$ , $e'_1,...e'_n$ . Niech $P$ będzie macierzą przejścia od bazy $e_1,...,e_n$ do bazy $e'_1,...,e'_n$ , tzn.

$\displaystyle e'_j=\sum _{i=1}^k p_{ij} e_i,$

dla $j=1,...,n$ (porównaj rozdział 4. Wykładu VI). Jeśli $\Phi :V\times V\longrightarrow {\mathbb K}$ jest odwzorowaniem dwuliniowym, to zachodzą następujące równości

$\displaystyle \Phi (e'_i, e'_j)= \Phi \left (\sum _{k=1}^n p_{ki}e_k, \sum _{l=1}^n p_{lj}e_l\right )= \sum _{k,l=1}^n p_{ki}\Phi (e_k,e_l) p_{lj}.$

A zatem przy zmianie bazy macierz odwzorowania dwuliniowego zmienia się według wzoru

$A'= P^* A P,$ (0.3)

gdzie $A$ jest macierzą $\Phi$ przy bazie $e_1,...,e_n$ , zaś $A'$ jest macierzą $\Phi$ przy bazie $e'_1,...,e'_n$ .

Co prawda udowodniliśmy już, że rząd macierzy $\Phi$ nie zależy od wyboru bazy, ale warto zauważyć, że wynika to również z powyższego wzoru, bo $P$ jest macierzą nieosobliwą.

Formy kwadratowe w przestrzeni nad ciałem ${\mathbb R}$

Celem tego rozdziału jest pokazanie, że w przestrzeni wektorowej nad ciałem ${\mathbb R}$ , każda forma kwadratowa ma macierz szczególnie prostej postaci.

Rozważymy najpierw formy kwadratowe w przestrzeniach euklidesowych. Udowodnimy teraz twierdzenie Lagrange'a

Twierdzenie 1.1

Niech $f$ będzie formą kwadratową na skończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej $V$ . Istnieje baza ortonormalna $e_1,...,e_n$ przestrzeni $V$ , przy której macierz $A$ formy kwadratowej $f$ jest diagonalna i $a_{11}\ge...\ge a_{nn}$ , gdzie $a_{11},...,a_{nn}$ są wyrazami głównej przekątnej macierzy $A$ .

Dowód

Dowód twierdzenia jest indukcyjny ze względu na wymiar przestrzeni $V$ .

Dla $n=1$ twierdzenie jest trywialne. Załóżmy, że jest prawdziwe dla $(n-1)$ .

Niech $f$ będzie formą kwadratową na $n$ -wymiarowej przestrzeni euklidesowej $V$ . W przestrzeni $V$ mamy naturalną topologię. Albo wprowadzimy ją przez normę (którą mamy, bo iloczyn skalarny definiuje normę), albo bierzemy dowolny izomorfizm liniowy $h: V\longrightarrow {\mathbb R} ^n$ i mówimy, że podzbiór $C$ przestrzeni $V$ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $h(C)$ jest otwarty w ${\mathbb R} ^n$ . Ponieważ każde odwzorowanie liniowe przestrzeni ${\mathbb R} ^n$ jest ciągłe, więc tak zdefiniowana topologia nie zależy od wyboru izomorfizmu $h$ . Tak czy inaczej, sfera jednostkowa

$S^{n-1}= \{ v\in V |\ \ \Vert v\Vert =1\}$

jest zbiorem zwartym a forma kwadratowa jest odwzorowaniem ciągłym na $V$ (porównaj wzór (0.2)).

A zatem istnieje wektor $e_1\in S ^{n-1}$ , w którym funkcja $f$ osiąga swoje maksimum. Niech $W$ będzie dopełnieniem ortogonalnym do podprzestrzeni ${\rm lin} \{e_1\}$ . Podprzestrzeń $W$ jest $(n-1)$ -wymiarowa.

Na podstawie założenia indukcyjnego wiemy, że dla $\tilde f=f_{|W}$ istnieje baza ortonormalna $e_2,...,e_n$ przestrzeni $W$ , przy której macierz $\tilde f$ jest diagonalna i wyrazy na głównej przekątnej tworzą ciąg niemalejący. Twierdzimy, że $e_1,...,e_n$ jest bazą $V$ spełniającą żądane warunki.

Po pierwsze $e_1,...e_n$ jest oczywiście bazą ortonormalną $V$ i $\phi (e_1,e_1)=f(e_1) \ge f(e_i)= \phi (e_i,e_i)$ dla każdego $i=2,...n$ , bo wszystkie $e_2,...,e_n$ należą do $S ^{n-1}$ . Wystarczy teraz pokazać, że $\phi (e_1,e_i)=0$ dla każdego $i=2,...n$ . W tym celu, dla ustalonego wskaźnika $i=2,...,n$ , rozważmy funkcję

$F:{\mathbb R}\ni \tau \longrightarrow f((\cos \tau )\, e_1 +(\sin\tau )\, e_i)\in {\mathbb R} .$

Wektor $(\cos \tau )\, e_1 +(\sin\tau )\, e_i$ należy do $S ^{n-1}$ dla każdego $\tau$ . Ponieważ $f$ osiąga w $e_1$ maksimum, więc funkcja $F$ osiąga maksimum w $\tau =0$ . Zatem $F'(0)=0$ . Mamy następujące równości

$F(\tau )=(\cos ^2 \tau ) \phi (e_1,e_1) +(\sin ^2\tau )\phi (e_i,e_i) +{1\over 2} \sin (2\tau )\phi (e_1, e_i).$

Łatwo stad wyliczyć, że

$F'(0) = \phi (e_1, e_i).$

Wobec tego $\phi (e_1, e_i)=0$ , co kończy dowód twierdzenia.

Udowodnimy teraz twierdzenie o bezwładności form kwadratowych, zwane także twierdzeniem Sylvestera.

Twierdzenie 1.2 [Sylvestera]

Niech $V$ będzie $n$ -wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem ${\mathbb R}$ . Dla każdej formy kwadratowej $f$ na $V$ istnieje baza $e_1,...,e_n$ , przy której macierz $f$ jest postaci blokowej

$\left [\begin{array} {lcr} \ {\rm I} _p \ \ 0\ \ \ 0\\ \ 0\ {-{\rm I}} _q \ \ 0\\ \ 0\ \ \ 0\ \ \ 0 \end{array} \right ],$

gdzie ${\rm I} _k$ jest macierzą jednostkową o wymiarach $k$ na $k$ .

Liczby $p$ i $q$ nie zależą od wyboru bazy $e_1,...,e_n$ .

Dowód

Na przestrzeni wektorowej $V$ wprowadzamy dowolny iloczyn skalarny (porównaj Przykład 1.4 z Wykładu X) Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że istnieje baza ortonormalna, przy której macierz formy $f$ jest taka, jak to opisano w poprzednim twierdzeniu. Uporządkujmy tę bazę tak, aby na głównej przekątnej najpierw (tzn. począwszy od lewego górnego rogu) pojawiły się wyrazy dodatnie, potem ujemne i na końcu wyrazy zerowe. Wystarczy teraz pomnożyć wektory bazy odpowiadające niezerowym wyrazom macierzy pomnożyć przez przez odpowiedni skalar. Jeśli $\phi (e_i,e_i) = a_{ii}\ne 0$ , to $e_i$ zastępujemy wektorem ${1\over {\sqrt {|a_{ii}|}}}e_i.$

Udowodnimy teraz druga część twierdzenia. Widać, że $p+q$ jest rzędem formy kwadratowej $f$ , a zatem nie zależy od wyboru bazy. Załóżmy, że dla dwóch baz $e_1,...,e_n$ i $e'_1,...e'_n$ spełniających tezę twierdzenia mamy pary liczb $p, q$ oraz $p',q'$ odpowiednio. Wiemy, że $p+q=p'+q'$ . Wystarczy więc pokazać, że $p=p'$ .

Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że $p'>p$ . Niech $U$ będzie podprzestrzenią wektorową generowaną przez wektory $e_{p+1},...,e_n$ , zaś $W$ - podprzestrzenią generowaną przez wektory $e'_1,...,e'_{p'}$ . Mamy następujący ciąg równości i nierówności

$\begin{aligned} n=dim V&\ge \dim (U+W)\\ &= \dim U +\dim W-\dim (U\cap W)\\ &= (n-p) +p' -\dim (U\cap W). \end{aligned}$

Wobec tego $\dim (U\cap W)\ge p'-p>0$ . Istnieje więc wektor $0\ne v\in (U\cap W)$ . Niech $v=v_1e_1+...+v_ne_n$ i $v=v'_1e'_1+...+v'_ne'_n$ . Ponieważ $v\in U$ , więc

$f(v)=-(v_{p+1})^2-...-(v_{p+q})^2\le 0.$

Ponieważ $v\in W$ , więc

$f(v)=(v'_1)^2+...+(v'_{p'})^2\ge 0.$

Porównując te nierowności widzimy, że $f(v)=0$ . Ponieważ $v\in U$ , więc $v=v_{p+1}e_{p+1}+...+v_{p+q}e_{p+q}$ . Korzystając z tego, że $0=f(v)=-(v_{p+1})^2-...-(v_{p+q})^2$ , otrzymujemy, że $v=0$ , co jest sprzeczne z naszym założeniem. Dowód twierdzenia jest zakończony.

Z twierdzenia Sylvestera wynika, że przy pewnej bazie $e_1,...,e_n$ forma kwadratowa dana jest w postaci kanonicznej, tj. wyraża się wzorem

$f(v)=(v_1)^2+...+(v_p)^2-(v_{p+1})^2-...-(v_{p+q})^2,$ (1.4)

dla $\displaystyle v=\sum _{i=1}^nv_ie_i$ .

Definicja 1.3 [Sygnatura]

Parę liczb $(p,q)$ nazywamy sygnaturą formy kwadratowej.

Mówimy, że forma kwadratowa $f$ jest półokreślona dodatnio, jeśli w powyższym przedstawieniu (1.4) są same plusy. Jeśli są same plusy i $p=n=\dim V$ , to mówimy, że forma kwadratowa jest dodatnio określona. Podobnie definiuje się formy półokreślone ujemnie i określone ujemnie. Forma kwadratowa nazywa się formą określoną, jeśli jest określona dodatnio lub ujemnie.

Niech $f:V\longrightarrow V$ będzie endomorfizmem. Mówimy, że odwzorowanie $f$ jest symetryczne, jeśli

$f(v)\cdot w= f(w)\cdot v$

dla każdych wektorów $v,w\in V$ .

Niech $\phi$ będzie odwzorowaniem dwuliniowym (symetrycznym) zdefiniowanym formułą

$\phi (v,w)=f(v)\cdot w.$

Odwzorowanie to jest odwzorowaniem skojarzonym pewnej formy kwadratowej. Ze wzoru (1.4) z Wykładu XI i z twierdzenia Lagrange'a wynika, że istnieje baza ortonormalna, przy której macierz odwzorowania $f$ jest diagonalna. Jest to bardzo szczególny przypadek endomorfizmu mającego bardzo prostą macierz Jordana.

Informatyka MIMUW

Formy kwadratowe w przestrzeni nad ciałem {\mathbb R}{\mathbb R}

Formy kwadratowe w przestrzeni nad ciałem ${\mathbb R}$